數(shù)學(xué)建模-微分方程模型

微分方程模型5.1微分方程模型及幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例

5.2

傳染病模型5.3

經(jīng)濟(jì)增長模型5.4

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.5

藥物在體內(nèi)的分布與排除5.6

香煙過濾嘴的作用5.7人口的預(yù)測(cè)和控制動(dòng)態(tài)模型

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程.

分析對(duì)象特征的變化規(guī)律.

預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài).

研究控制對(duì)象特征的手段.

根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù).微分方程建模

根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè).

按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.在研究實(shí)際問題時(shí),我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系,但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式,這就是微分方程.

不管是微分方程還是差分方程模型，有時(shí)無法得到其解析解(必要時(shí),可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解),既使得到其解析解,尚有未知參數(shù)需要估計(jì)，可利用參數(shù)估計(jì)方法.

而在實(shí)際問題中,討論問題的解的變化趨勢(shì)很重要，因此，以下知識(shí)只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論.5.1微分方程模型及幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例如果則稱平衡點(diǎn)x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實(shí)根x=x0為方程(3-1)的平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn)).它也是方程(3-1)的解.設(shè)5.1.1微分方程模型穩(wěn)定性判別方法由于在討論方程(3-1)的來代替.穩(wěn)定性時(shí)，可用易知

x0也是方程(3-2)的平衡點(diǎn).(3-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個(gè)結(jié)論對(duì)于(4-1)也是成立的.關(guān)于常微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,設(shè)代數(shù)方程組的實(shí)根x=x0,y=y0稱為方程(3-3)的平衡點(diǎn),記作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.如果則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的.下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則.設(shè)

則當(dāng)p＞0且q＞0時(shí),平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的；當(dāng)p＜0或q＜0時(shí),平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.5.1.2

幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例

實(shí)例1冷卻問題將溫度為T。=150℃的物體放在溫度為24℃的空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100℃，問t=20分鐘時(shí)，物體的溫度是多少？解：設(shè)物體的溫度T隨時(shí)間t的變化規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K>0為比例常數(shù)，負(fù)號(hào)表示溫度是下降的，這就是所要建立的數(shù)學(xué)模型。由于這個(gè)模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為由T(10)=100,可定出K≈0.05當(dāng)t=20時(shí)

思考題：估計(jì)兇殺的作案時(shí)間某天晚上11:00時(shí)，在一住宅內(nèi)發(fā)現(xiàn)一受害者的尸體，法醫(yī)于11:35分趕到現(xiàn)場(chǎng)，立刻測(cè)量死者的體溫為30.8℃，一小時(shí)后再次測(cè)量體溫為29.1℃，法醫(yī)還注意到當(dāng)時(shí)室溫為28℃，試估計(jì)受害者的死亡時(shí)間。

考古、地質(zhì)學(xué)等方面的專家常用14C測(cè)定法（通常稱碳定年代法）來估計(jì)文物或化石的年代。實(shí)例2碳定年代法14C的蛻變規(guī)律14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮?dú)庾饔蒙傻木哂蟹派湫缘奈镔|(zhì)。這種放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動(dòng)物的食物，于是放射性碳被帶到各種動(dòng)植物體內(nèi)。14C是放射性的，無論在空氣中還是在生物體內(nèi)他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來。通常假定其蛻變速度與該時(shí)刻的存余量成正比。

設(shè)在時(shí)刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時(shí)間記為t0=0,此時(shí)14C含量為x0,由假設(shè)，初值問題

（1.1）的解為（1.2）其中，為常數(shù)，k前面的符號(hào)表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數(shù)遞減的，而常數(shù)k可由半衰期確定，若14C的半衰期為T,則有

(1.3)將（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）碳定年代法的根據(jù)活著的生物通過新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內(nèi)的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內(nèi)的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據(jù)生物體死亡之后體內(nèi)14C蛻變減少量的變化情況來判斷生物的死亡時(shí)間的。碳定年代法的計(jì)算由（1.4）解得

(1.5)由于x(0),x(t)不便于測(cè)量，我們可把(1.5)作如下修改.對(duì)(1.2)式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得

(1.6)而(1.7)(1.6)和(1.7)兩式相除，得將上式代入(1.5)，得

(1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時(shí)體內(nèi)14C的蛻變速度和現(xiàn)在時(shí)刻t的蛻變速度,就可以求得生物體的死亡時(shí)間了，在實(shí)際計(jì)算上，都假定現(xiàn)代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時(shí)代生物體中14C的蛻變速度相同。馬王堆一號(hào)墓年代的確定馬王堆一號(hào)墓于1972年8月出土，其時(shí)測(cè)得出土的木炭標(biāo)本的14C平均原子蛻變數(shù)為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中14C平均原子蛻變數(shù)為38.37/s,又知14C的半衰期為5568年，這樣，我們可以把,，T=5568年代入(1.8)，得這樣就估算出馬王堆一號(hào)墓大約是在2000多年前。兩個(gè)注記（1）馬王堆中的古代科技之謎素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國家科技攻關(guān)，用了二十年時(shí)間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復(fù)制品，但該復(fù)制品比漢代的還重50克，已不可能再輕。女尸千年不腐：病理知識(shí)：女尸解剖顯示患有非常嚴(yán)重的冠心病；肺部有肺結(jié)核的鈣化，肺部鈣化是肺結(jié)核痊愈后的表現(xiàn)。2000年后的今天，要想控制肺結(jié)核，除自身的抵抗力要強(qiáng)外，還要有好的營養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結(jié)石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲，其中竟有血吸蟲，其癥狀應(yīng)為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現(xiàn)長期臥床養(yǎng)病的跡象。一個(gè)同時(shí)患有這么多疾病的人，能夠長期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個(gè)奇跡，說明漢代醫(yī)術(shù)已達(dá)到相當(dāng)高的水平。2）碳定年代法的不足現(xiàn)在，14C年代測(cè)定法已受到懷疑，在2500----10000年前這段時(shí)間中與其他斷代法的結(jié)果有差異。1966年，耶魯實(shí)驗(yàn)室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報(bào)告中指出了這一時(shí)期使14C年代測(cè)定產(chǎn)生誤差的根本原因。在那個(gè)年代，宇宙射線的放射強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。這兩位研究人員的結(jié)論出自對(duì)Brist/econe松樹所作的14C年代測(cè)定的結(jié)果，因?yàn)檫@種松樹同時(shí)還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)14C斷代定出的2300----6000年前這期間的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。實(shí)例3范.梅格倫偽造名畫案第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動(dòng)用了X-光線透視等，對(duì)顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)椋?/p>

Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問題。原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時(shí)刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測(cè)出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）假設(shè)（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)的油畫感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。（2）釙的半衰期為138天容易測(cè)定，鉛210的半衰期為22年，對(duì)要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。建模設(shè)時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為，為制造時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量。為鉛210的衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量求解均可測(cè)出?？伤愠霭足U中鉛的衰變率，再于當(dāng)時(shí)的礦物比較，以鑒別真?zhèn)?。礦石中鈾的最大含量可能2~3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超過3萬個(gè)原子，則礦石中含鈾量超過4%。測(cè)定結(jié)果與分析畫名釙210衰變?cè)訑?shù)鐳226衰變?cè)訑?shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0若第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品。同理可檢驗(yàn)第2，3，4幅畫亦為贗品，而后兩幅畫為真品。在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。實(shí)例4觀眾廳地面設(shè)計(jì)1問題的提出建立坐標(biāo)系oo—處在臺(tái)上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)bb—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離xyadda—第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題2問題的假設(shè)觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個(gè)坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過即可。3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D再計(jì)算相似于4模型求解微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)定義在某個(gè)區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法5總結(jié)與討論有時(shí)只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點(diǎn)移動(dòng)時(shí)升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。5.2傳染病模型

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻.

預(yù)防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本方法

已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病.建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1>1Oti>11-1/iOt1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲線增長接觸數(shù)

(感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計(jì)算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長到最大;t,i0.s(t)單調(diào)減;t,s0.04.設(shè)=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計(jì)算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11siOD在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si1O1D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫忽略i0模型4預(yù)防傳染病蔓延的手段

降低日接觸率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最終未感染比例s和病人比例最大值im為度量指標(biāo).1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0

)s

,ims

,im模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0iOP1i00,s01小,s0

1提高閾值1/s0-1/=降低被傳染人數(shù)比例x傳染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型3,4:描述傳播過程,分析變化規(guī)律,

預(yù)報(bào)高潮時(shí)刻,預(yù)防蔓延手段.模型4:數(shù)值計(jì)算與理論分析相結(jié)合.5.3

經(jīng)濟(jì)增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資增加勞動(dòng)力提高技術(shù)

建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系.

研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大.

調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長.1）道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0(常數(shù))模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)O1）

Douglas生產(chǎn)函數(shù)解釋含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q,資金K,勞動(dòng)力L,技術(shù)f0~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1）

Douglas生產(chǎn)函數(shù)~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值w,r,K/L求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大.資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn))

勞動(dòng)力相對(duì)增長率為常數(shù)Bernoulli方程3)經(jīng)濟(jì)增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件~勞動(dòng)力相對(duì)增長率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率5.4正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng).只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱.兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加.戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān).建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例.第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型.一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力.

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t).f,g

取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率O正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系.平方律模型乙方勝游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個(gè)士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積O游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型線性律模型O混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力!設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)5.5

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量).

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì).

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動(dòng)力學(xué).

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟.

房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移.

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等).模型假設(shè)

中心室(1)和周邊室(2),容積不變.

藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率與該室血藥濃度成正比.

藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外.模型建立

中心室周邊室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉(zhuǎn)移線性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零0tT

藥物以速率k0進(jìn)入中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室.吸收室藥量x0(t)吸收室中心室D0參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,,n)測(cè)得c1(ti)由較大的用最小二乘法確定A,由較小的用最小二乘法確定B,參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除

建立房室模型,研究體內(nèi)血藥濃度變化過程,確定轉(zhuǎn)移速率、排除速率等參數(shù),為制訂給藥方案提供依據(jù).

機(jī)理分析確定模型形式，測(cè)試分析估計(jì)模型參數(shù).藥物在體內(nèi)的分布與排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非線性(一室)模型c1較小時(shí)近似于線性~一級(jí)排除過程如c1較大時(shí)近似于常數(shù)~零級(jí)排除過程

過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系?

人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中什么因素影響大，什么因素影響小?模型分析

分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型.

設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境在整個(gè)過程中不變.問題5.6

香煙過濾嘴的作用模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l1.2）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=1.3）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和.4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>u.Q~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量模型建立Ot=0,x=0，點(diǎn)燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒t時(shí)刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)考察t內(nèi)毒物密度的增量(單位長度煙霧毒物被吸收部分)4)計(jì)算QQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提高-b與加長l2，效果相同.香煙過濾嘴的作用

在基本合理的簡(jiǎn)化假設(shè)下，用精確的數(shù)學(xué)工具解決一個(gè)看來不易下手的實(shí)際問題.

引入兩個(gè)基本函數(shù)：流量q(x,t)和密度w(x,t)，運(yùn)用物理學(xué)的守恒定律建立微分方程，構(gòu)造動(dòng)態(tài)模型.

對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行定性和定量分析，得到合乎實(shí)際的結(jié)論.背景

年份1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年份19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長5.7人口的預(yù)測(cè)和控制做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)建立人口數(shù)學(xué)模型指數(shù)增長模型——馬爾薩斯1798年提出常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.與常用公式的一致rtextx0)(=?指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預(yù)測(cè).

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預(yù)測(cè)較長期的人口增長過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx