回歸分析的基本思想及應(yīng)用

精品資料精品資料●課程目標1．雙基目標(1)通過典型(diǎnxíng)案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．(2)通過典型(diǎnxíng)案例的探究，了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用．2．情感目標本章提供了數(shù)據(jù)處理的方法，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析，使學生認識統(tǒng)計方法的直觀特點、增強學生的社會實踐能力，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成科學嚴謹?shù)牧己闷焚|(zhì)．精品資料●重點難點本章重點：回歸分析、殘差分析、相關(guān)指數(shù)的意義以及獨立性檢驗中K2的有關(guān)計算．本章難點：借助于回歸分析的思想選擇恰當?shù)哪Ｐ蛿M合變量間的相關(guān)關(guān)系(尤其是非線性的)，由于該部分內(nèi)容的數(shù)據(jù)相對較復雜，故在高考(ɡāokǎo)中出現(xiàn)大題的可能性不是很大，應(yīng)以選擇、填空題為主，旨在考察對回歸方程的求解及預測，K2的計算等．精品資料●學法探究本章內(nèi)容是統(tǒng)計案例中常見方法中的兩種：回歸分析和獨立性的檢驗．通過對典型案例的學習，理解問題和方法的實質(zhì)，進一步體會統(tǒng)計方法在解決實際問題中的基本(jīběn)思想．在學習過程中多與社會實踐相結(jié)合，親自動手實踐，加深對知識的認識，鞏固知識，不斷創(chuàng)新，多尋找規(guī)律，形成方法．精品資料1．1回歸分析的基本(jīběn)思想及其初步應(yīng)用精品資料精品資料1．知識與技能通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．過程與方法通過求線性回歸方程，探究(tànjiū)相關(guān)性檢驗的基本思想．通過對典型案例的探究(tànjiū)，體會回歸分析在生產(chǎn)實際和日常生活中的廣泛應(yīng)用．精品資料精品資料本節(jié)重點：了解(liǎojiě)線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，了解(liǎojiě)判斷刻畫模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析．本節(jié)難點：解釋殘差變量的含義，了解(liǎojiě)偏差平方和分解的思想．精品資料精品資料1．通過復習線性回歸方程，探究相關(guān)性檢驗的基本(jīběn)思想．2．培養(yǎng)類比、遷移、化歸的能力．精品資料精品資料一、相關(guān)關(guān)系的概念當一個變量取值一定(yīdìng)時，另一個變量的取值帶有一定(yīdìng)隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．二、回歸分析的相關(guān)概念1．回歸分析是處理兩個變量之間 的一種統(tǒng)計方法．若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為 ．相關(guān)(xiāngguān)關(guān)系線性回歸分析精品資料精品資料3．線性相關(guān)關(guān)系強與弱的判斷：用 來描述線性相關(guān)關(guān)系的強弱．當r>0時，表明兩個變量 ；當r<0時，表明兩個變量 ．r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；r的絕對值接近于0時，表明兩個變量之間 線性相關(guān)關(guān)系．通常當|r|大于 時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系．4．隨機誤差的概念：當樣本點散布在某一條(yītiáo)直線的附近，而不是在一條(yītiáo)直線上時，不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型

來表示，其中 為模型的未知參數(shù)， 稱為隨機誤差．相關(guān)系數(shù)r正相關(guān)(xiāngguān)負相關(guān)幾乎不存在0.75y＝bx＋a＋ea和be精品資料精品資料R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越 ．在線性回歸(huíguī)模型中，R2表示解釋變量對預報變量變化的 ．R2越接近于1，表示回歸(huíguī)的效果越好(因為R2越接近于1，表示解釋變量和預報變量的線性相關(guān)性越強)．好貢獻率精品資料精品資料(2)利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為

，橫坐標可以選為 ，這樣作出的圖形稱為殘差圖．如果圖中有某個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個樣本點的過程中是否有人為的錯誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用(xuǎnyòng)的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高．殘差樣本(yàngběn)編號精品資料回歸分析問題有線性回歸問題和非線性回歸問題，對于非線性回歸問題，往往利用轉(zhuǎn)換變量的方法(fāngfǎ)進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸問題．精品資料精品資料[例1]有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個(yīɡè)線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗．其中正確命題的個數(shù)是 ()精品資料A．1 B．2C．3 D．4[分析]由題目可獲取以下信息：①線性回歸分析；②散點圖；③相關(guān)性檢驗等的相關(guān)概念及意義．解答本題(běntí)可先逐一核對相關(guān)概念及其性質(zhì)，然后再逐一作出判斷，最后得出結(jié)論．精品資料[答案]C[解析]①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程＝x＋的作用，故也正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進行(jìnxíng)相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．[點評]線性回歸分析的過程：(1)隨機抽取樣本，確定數(shù)據(jù)，形成樣本點(2)由樣本點形成散點圖，判定是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(3)由最小二乘法確定線性回歸方程；(4)由回歸方程觀察變量的取值及變化趨勢．精品資料下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是 ()A．變量取值一定(yīdìng)時，因變量的取值帶有一定(yīdìng)隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖C．線性回歸方程最能代表具有線性相關(guān)關(guān)系的x，y之間的關(guān)系D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程精品資料[答案]D[解析]只有對兩個變量具有(jùyǒu)線性相關(guān)性作出判斷時，利用最小乘法求出線性方程才有意義.精品資料[例2]某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)(duìyìng)數(shù)據(jù)：(1)畫出散點圖；(2)求y關(guān)于x的回歸直線方程．精品資料[解析(jiěxī)](1)散點圖如圖所示．精品資料(2)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)(yǒuguān)計算.精品資料[點評]求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出，，由于，的計算量較大，計算時要仔細謹慎、分層進行(jìnxíng)，避免計算失誤．精品資料精品資料精品資料精品資料[例3]一個車間為了規(guī)定工時定額(dìngé)，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得數(shù)據(jù)如下：把零件數(shù)x作為解釋變量，加工時間y作為預報變量．(1)計算總偏差平方和、殘差平方和及相關(guān)指數(shù)；(2)作出殘差圖；(3)進行殘差分析．精品資料[解析(jiěxī)](1)由x，y的數(shù)據(jù)得散點圖如圖．精品資料由散點圖可以認為樣本點大致分布在某條直線的附近，因此可以用線性回歸模型(móxíng)來擬合．設(shè)線性回歸方程為＝＋x，列出下表：續(xù)表精品資料精品資料將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)(xiāngyīng)公式可得如下數(shù)據(jù)表：精品資料續(xù)表精品資料(2)作出殘差圖如圖，橫坐標為零件(línɡjiàn)數(shù)的數(shù)據(jù)，縱坐標為殘差．精品資料(3)由題中數(shù)據(jù)可得樣本相關(guān)系數(shù)r的值為0.9998，再結(jié)合散點圖可以說明x與y有很強的線性相關(guān)關(guān)系．由R2的值可以看出回歸效果很好，也說明用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．由殘差圖也可以觀察到，第4個樣本點和第5個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集在這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤．[點評]本題涉及公式多且復雜，計算量也很大，需首先了解(liǎojiě)公式，明白原理．精品資料(2)在利用殘差圖對數(shù)據(jù)進行殘差分析時，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度(jīnɡdù)越高，回歸方程的預報精度(jīnɡdù)越高．精品資料某運動員訓練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系(guānxì)如下：(1)作出散點圖；(2)求出線性回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計算R2；(5)試預測該運動員訓練47次及55次的成績．精品資料[解析](1)作出該運動員訓練次數(shù)(x)與成績(chéngjì)(y)之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系．精品資料精品資料(3)殘差分析作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用(xuǎnyòng)的模型比較合適．精品資料(4)計算相關(guān)指數(shù)R2計算相關(guān)指數(shù)R2＝0.9855.說明了該運動員的成績的差異(chāyì)有98.55%是由訓練次數(shù)引起的．精品資料精品資料[例4]煉鋼廠出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，在使用過程中，由于鋼液廠爐渣對包襯耐火材料的侵蝕(qīnshí)，使其容積不斷增大，請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出使用次數(shù)x與增大的容積y之間的關(guān)系.精品資料續(xù)表[解析]先根據(jù)試驗(shìyàn)數(shù)據(jù)作散點圖，如圖所示．精品資料精品資料精品資料精品資料[點評]作出散點圖，由散點圖選擇合適(héshì)的回歸方程類型是解決本題的關(guān)鍵，在這里線性回歸模型起了轉(zhuǎn)化的作用．對于非線性回歸問題，并沒有給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與必修模塊《數(shù)學1》中學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)的圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞看鷵Q，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，使其得到解決．精品資料精品資料[例5]在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點數(shù)值如下表：試建立(jiànlì)y與x之間的回歸直線方程．精品資料精品資料[辨析]此題解法是錯誤的，原因是這兩個變量之間不是線性相關(guān)關(guān)系．此類問題的解決，應(yīng)先對兩個變量間的相關(guān)關(guān)系進行相關(guān)性檢驗，然后(ránhòu)結(jié)合作出的散點圖，選擇適宜的回歸方程．精品資料精品資料由置換(zhìhuàn)后的數(shù)值表作散點如圖所示：精品資料由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系(guānxì)．列表如下：精品資料精品資料精品資料一、選擇題1．下列說法中錯誤的是 ()A．如果變量x與y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，則我們根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得到(dédào)的點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)將散布在某一條直線的附近B．如果兩個變量x與y之間不存在線性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個線性方程精品資料[答案]B[解析]兩變量x與y之間不存在(cúnzài)線性關(guān)系，根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…n)可通過已有的函數(shù)知識進行變換，利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程精品資料A．y平均增加(zēngjiā)2.5個單位B．y平均增加(zēngjiā)2個單位C．y平均減少2.5個單位D．y平均減少2個單位[答案]C精品資料精品資料[答案(dáàn)]C精品資料4．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)(hánshù)關(guān)系的是()A．角度和余弦值B．正n邊形的邊數(shù)和一個內(nèi)角的度數(shù)C．棱錐的體積和底面積D．某種物質(zhì)和溶解度和溫度[答案]D精品資料精品資料6．某種產(chǎn)品(chǎnpǐn)的廣告費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下表關(guān)系：已知y與x之間是線性相關(guān)關(guān)系，若實際銷售額不低于82.5萬元，則廣告費支出最少是__________萬元．[答案]10[解析]由本節(jié)例2可知y關(guān)于x