高中數(shù)學(xué)人教A版第三章概率章末綜合測評3

章末綜合測評(三)概率(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列事件中，隨機(jī)事件的個數(shù)為()①在學(xué)校明年召開的田徑運(yùn)動會上，學(xué)生張濤獲得100米短跑冠軍；②在體育課上，體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材，抽到李凱；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號簽；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰．A．1 B．2C．3 D．4【解析】①在明年運(yùn)動會上，可能獲冠軍，也可能不獲冠軍．②李凱不一定被抽到．③任取一張不一定為1號簽．④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水在4℃時不可能結(jié)冰，故①②③是隨機(jī)事件，④是不可能事件．【答案】C2．下列說法正確的是()A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為eq\f(3,5)，則比賽5場，甲勝3場B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈C．隨機(jī)試驗的頻率與概率相等D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%【解析】概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性．故選D.【答案】D3．(2023·開封高一檢測)給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是()\f(1,6) B．eq\f(1,3)\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.【答案】B4．在區(qū)間[－2，1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則x∈[0，1]的概率為()\f(1,3) B．eq\f(1,4)\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】由幾何概型的概率計算公式可知x∈[0，1]的概率P＝eq\f(1－0,1－（－2）)＝eq\f(1,3).故選A.【答案】A5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化驗，A． B．C． D．【解析】本題考查的是體積型幾何概型．【答案】A6．(2023·天水高一檢測)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個均互斥 D．任何兩個均不互斥【解析】互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，所以B與C互斥．【答案】B7．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為()A．100m B．80mC．50m D．40m【解析】設(shè)河寬為xm，則1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，所以x＝100.【答案】A8．從一批羽毛球中任取一個，如果其質(zhì)量小于4.8g的概率是，質(zhì)量不小于4.85g的概率是，那么質(zhì)量在[A． B．C． D．【解析】記“取到質(zhì)量小于g”為事件A，“取到質(zhì)量不小于g”為事件B，“取到質(zhì)量在[，范圍內(nèi)”為事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C為必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋P(C)＝1，即P(C)＝1－－＝.【答案】B9．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()【導(dǎo)學(xué)號：28750071】圖1\f(1,4) B．eq\f(1,3)\f(1,2) D．eq\f(2,3)【解析】點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).【答案】C10．將區(qū)間[0，1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x1轉(zhuǎn)化為區(qū)間[－2，2]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)x，需要實施的變換為()A．x＝x1*2 B．x＝x1*4C．x＝x1*2－2 D．x＝x1*4－2【解析】由題意可知x＝x1*(2＋2)－2＝4x1－2.【答案】D11．先后拋擲兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，則()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1【解析】先后拋擲兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)共有36個基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每個基本事件都是等可能發(fā)生的．而點(diǎn)數(shù)之和為12的只有1個：(6，6)；點(diǎn)數(shù)之和為11的有2個：(5，6)，(6，5)；點(diǎn)數(shù)之和為10的有3個：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.【答案】B12．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，則下列選項中以eq\f(7,10)為概率的事件是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【解析】將3件一等品編號為1，2，3，2件二等品編號為4，5，從中任取2件有10種取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(6,10)，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對立事件是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)．13．一個袋子中有5個紅球，3個白球，4個綠球，8個黑球，如果隨機(jī)地摸出一個球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出綠球}，D＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________．【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(4,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(9,20).【答案】eq\f(2,5)eq\f(3,20)eq\f(9,20)14．在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取一個數(shù)a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有兩個相異實根的概率為________．【解析】方程有兩個相異實根的條件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0，1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的長度為1－eq\f(\r(2),2)，而區(qū)間(0，1)的長度為1，所以方程有兩個相異實根的概率為eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).【答案】eq\f(2－\r(2),2)15．甲、乙兩組各有三名同學(xué)，他們在一次測驗中的成績的莖葉圖如圖2所示，如果分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的成績相同的概率是________．圖2【解析】由題意可知從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有9種選法，其中這兩名同學(xué)的成績相同的選法只有1種，故所求概率P＝eq\f(1,9).【答案】eq\f(1,9)16．(2023·合肥高一檢測)甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且a、b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則二人“心有靈犀”的概率為________．【解析】此題可化為任意從0～9中取兩數(shù)(可重復(fù))共有10×10＝100種取法．若|a－b|≤1分兩類，當(dāng)甲取0或9時，乙只能猜0、1或8、9共4種，當(dāng)甲取2～8中的任一數(shù)字時，分別有3種選擇，共3×8＝24種，所以P＝eq\f(24＋4,10×10)＝eq\f(7,25).【答案】eq\f(7,25)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2023·陜西高考)隨機(jī)抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計運(yùn)動會期間不下雨的概率．【解】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計概率，運(yùn)動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)對某班一次測驗成績進(jìn)行統(tǒng)計，如下表所示：分?jǐn)?shù)段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]概率(1)求該班成績在[80，100]內(nèi)的概率；(2)求該班成績在[60，100]內(nèi)的概率．【解】記該班的測試成績在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]內(nèi)依次為事件A，B，C，D，由題意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．(1)該班成績在[80，100]內(nèi)的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(2)該班成績在[60，100]內(nèi)的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.19．(本小題滿分12分)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y.(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個？(2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏；若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：28750072】【解】(1)由于x，y取值為1，2，3，4，5，6，則以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36個，即以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個．(2)滿足x＋y≥10的點(diǎn)有：(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6個，所以小王贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，滿足x＋y≤4的點(diǎn)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6個，所以小李贏的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，則小王贏的概率等于小李贏的概率，所以這個游戲規(guī)則公平．20．(本小題滿分12分)(2023·天津高考)某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率．【解】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).21．(本小題滿分12分)(2023·四川高考)一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．【解】(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27種．設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3種．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3種．所以P(B)＝1－P(B)＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取