統(tǒng)計學基礎知識之數(shù)據(jù)離散程度描述

統(tǒng)計學基礎知識之數(shù)據(jù)離散程度描述統(tǒng)計學基礎知識之數(shù)據(jù)離散程度描述離散程度指標的種類很多，下面介紹的是常用的幾種。全距(Range)又稱極差，是指數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距，用Xmax,Xmin，分別表示數(shù)據(jù)的最大值、最小值,則全距公式為：R二Xmax-Xmin。例如，前面提到的兩組數(shù)據(jù)中，第一組數(shù)據(jù)的全距R=21-19=2，第二組數(shù)據(jù)的全距R=25-15=10。通過全距的數(shù)值我們可以確定第二組數(shù)據(jù)的離散程度更大。由此，我們可以記住一個一般性結論：離散指標的數(shù)據(jù)越小，說明數(shù)據(jù)的變異程度就越小;數(shù)值越大，則說明數(shù)據(jù)的.變異程度越大。當然，這個結論只有在同類離散指標相比較時才會有意義。全距指標的應用問題全距指標的含義容易理解，計算也很簡便。因此，在某些場合具有特殊的用途。例如，要說明一個地區(qū)的溫度情況，沒有比用溫差說明更好的指標了。在描述一種股票的波動情況時，最高價和最低價的差是常使用的特征值。另外，在成品質量控制方法中，R控制圖也是全距的一種應用。但是，全距在計算上只與兩個極端值有關因此它不能反應其他數(shù)據(jù)的分散情況，就這一點來說，全距只是一個比較粗糙的測度指標。如果需要全面、精確地說明數(shù)據(jù)離散程度時，就不宜使用全距。平均差(MeanAbsoluteDeviation)就是各項數(shù)值與其均值之差絕對值之和的平均數(shù)。用MAD表示平均差，其公式為：所謂離散，是個相對概念，需要用一個標準來衡量。因為均值是最重要也是最常用的指標，所以就成為衡量離散程度的一個常用標準。方法就是用各項數(shù)據(jù)與與均值相減，通常將這個差值稱為離差(Deviation)。離差數(shù)值的大小就可以說明數(shù)據(jù)的偏離程度。但是，可以證明因為相對于均值的正、負偏差之和是相等的。為了解決離差正、負值抵消的問題，統(tǒng)計學家使用了絕對值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于數(shù)據(jù)項數(shù)多少給離差值帶來的影響，即從指標的含義來看，平均差的數(shù)值代表了所有數(shù)據(jù)離均值的平均距離，使用該數(shù)據(jù)說明數(shù)據(jù)的離散程度，比較容易理解。平均差的應用問題雖然平均差簡單易懂，但因為使用了絕對值，不便于進一步計算所以在實際應用中不如其他離散指標應用那樣廣泛。但在預測領域還常常使用該指標用于誤差的說明。方差(Variance)就是全部數(shù)據(jù)離差平方的平均數(shù)。總體方差表示,計算公式為：方差克服了平均差絕對值的問題，成為描述離散程度的一個重要指標。但是，在方差數(shù)值含義的解釋上卻遇到困難。因為方差的單位是數(shù)據(jù)單位的平方，夸大了數(shù)據(jù)的離散程度，使人不易直觀理解數(shù)值意義。因此，通常取方差的算數(shù)平方根作為描述離散程度的指標，即標準差(StandardDeviation)?？傮w標準差的公式表示如下：如果用上面的數(shù)據(jù)計算，對于這個數(shù)據(jù)，我們就很容易理解它的含義了。=方差、標準差的應用問題總體方差表示，總體標準差用表示，而樣本方差用S2表示，樣本標準差用S表示，不能混淆樣本方差與標準差的計算公式如下：可以看到，樣本方差及標準差與總體方差和標準差的計算公式略有不同。樣本方差和標準差的分母是n-1而不是n。因為樣本的方差和標準差在使用中，經常作為總體方差和標準差的估計量，分母除以n-1而不是n，可以得到總體方差和標準差的較好的估計量。離散系數(shù)(CoefficientOfVariation)就是標準差與均值的比值。一般用V表示。總體的離散系數(shù)表示：樣本的離散系數(shù)表示為離散系數(shù)的應用問題離散系數(shù)實質上是標準差相對于均值的大小。因此，如果比較均值不相同的兩組數(shù)據(jù)相對離散程度時，使用離散系數(shù)，要比使用標準差更準確。例如，假定有甲、乙兩個工人，甲平均每小時生產40個零件，標準差是5件。乙平均每小時生產80個零件，標準差為6件。那么那個工人的穩(wěn)定性比較好呢?根據(jù)標準差的定義，標準差越小，離散性就越小，所以甲生產要比乙穩(wěn)定。但是，我們看到乙的標準差雖然比甲略高，但其生產的能力確實甲的2倍(80/40)。也就是說，6相對于80的變化要小于5相對于40的變化，這個含義就是離散系數(shù)。計算過程如下：由此可見，乙的離散系數(shù)小于甲，所以乙的生產要比甲相對穩(wěn)定離散系數(shù)是個無名數(shù)，這是它與其他離散指標的最大區(qū)別。全距、平均差還有標準差，它們都是有名數(shù)，其單位與原始數(shù)據(jù)的單位一致。離散系數(shù)的這一特點使其不僅可以說明同類事物的相對離散程度，還可以說明不同類