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IntroductiontoFourier講解人E-mail:j 理工大學光電學 第二章光的衍射及光 主要內(nèi)§2.1衍射問題概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角譜理 變換性 變換運算的光學模 x2y2 E(x,y)
expjkd
A,exp[
(22)]exp[
(xy)]d E20(x,
A,exp[j
2 卷積E(x,y)
exp(jkd)A(,)exp
xy
2 exp(jkd)A(x,y)exp k(x2y2
Ex,yA,hx,yd=A(x,y)衍射的脈沖響應(yīng)函hx,y j
x2y2 yx衍射的傳遞函數(shù)yx
2d Hfx,f
expjkzexpjzf
f2和費衍E(x,y)
expjkd
y2
d
(x
E20(x, A,1
1
Ix,y
f ,ff ,f
x y
d
d 脈沖響應(yīng)函1e
hx,y
expjkdexp x2y2expj x 把該脈沖響應(yīng)代入衍射公
Ex,yA,hx,yd 平面波照明情 B,1S平面波照明的衍射裝衍射 于透鏡之 衍射 于透鏡之
Lz
(x,F(x,F A'(,)B(,)T(,)T,A(,)Eexp[
(
2 l 2E(x,y)
exp[jk(z
x2
A'(,)exp[jk(
2)]exp[jz
(x
l0exp[jk(z )]A(,)exp[
2)]exp[ (x
當zf時,上式簡化為 x2 E(x,y) l0exp[jk(f )]A(,)exp[ (xj 2 在照明(無窮遠點)光源的共軛像面上,可觀察物體透射光波 (x,和菲衍射
LSS
Lz
F(x,F 斜入射照明的情B(,)exp(j2sin斜入射平面波照A'(,)B(,)T(,)Tl,A(,)Tl,B(,)exp(j2sinE(,)El0exp[jk(fj
x22
)]A(,)exp[j2
x y A(,)B(,)T 球面波照明的情A'(,)B(,)T(,)Tl
,)B0exp[
k(222BEexp[j
(
2)]exp[
2)]T l
2 2
LL(OpqS 代 衍射公式,可求得上的復(fù)振幅為E(x,y)
exp[jk(q
k
(x, (xy)]d q B0El0exp[jk(q
x2
)]T(,) exp[jk(111)(
2)]exp[
q
y)]d令B0El
E 111,上式簡化為:
E(x,y)E0exp[jk(q
x2
)]T(,)exp[jk(xqq結(jié)論:單色球面波照明時,在點光源S的共軛像面上 和費衍第二章光的衍射及光 主要內(nèi)§2.1衍射問題概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角譜理 變換性 變換運算的光學模 主要內(nèi)衍射問題分FresnelFraunholerFresnelFraunholer內(nèi)(Babinet)互補平面 平面波也是光波最簡單的一種形沿k方 的單色平面波,在光場中P(x,y,z)點產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為Ux,y,zaexpjkxcosycoszcos其中(1)a是常量振幅(2)cos、cos、cos為 cos2cos2cos2在xy平面上的復(fù)振幅 1cos2cos2 cosxycos exp cosA(z)expj2
x
§2.3
xE(x, a(f,f e(f,f 衍射問題的角譜分析關(guān)鍵是確定在自由空間 因 A(,的空間頻譜為af,fA(,)a(f,f)exp[j2(ff)]dfaffA(,中空頻為ff該平面 的方向余弦為(cos,cos,cos),則有fcos/;fcos/;fcos/
12
22f
A(,的空間頻譜af,f又可表示為acos 稱為復(fù)雜波A(,)的角譜 角譜z=0面的復(fù)雜波A(xy在空頻ff的成分為aa(f,f)dfdfexp[j2(fxf當它到達zz平面時,復(fù)振幅表示為a(f,f)dfdfexp[j2(fxfyf利用 12f22f2, aa(f,f)exp[ 12f22f2]dfdfexp[j2(fxfe(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 e(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 對e(f,f)作 E(x,y)e(f,f)expj2(fxfy)dfa(f,f)exp 1
f
expj2(fxfy)df 線性不變系統(tǒng)與角線性不變系統(tǒng)的傳遞函gx,yfx,yhx,卷積Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,輸出
Hfx,fy=Fhx,傳遞
Ffx,fyFfx,輸入從空間域入手計算系統(tǒng)的輸 從頻率域入手計算系統(tǒng)的輸*傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng) 變換角 與線性不變系線性不變系統(tǒng)的傳遞函
gx,Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,輸出
Hf,f=expjk 12
22f2 y
Ffx,fyFfx,輸入空間域獲得系統(tǒng)的輸 從頻域入手計算系統(tǒng)的輸*角 的空間分E(x,y)
a(f,f)exp 1
f
將角譜在自由空 作為線性不變系統(tǒng),其I/O關(guān)系為 H(f,f)
e(f,f
expjk 12
22f2a(f,f
Hff 就是該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 角 的條12f22f2f2
2 2fcos/;fcos/coscos2cos2cos2cos2 方向余弦cos2cos2 只是改變了各個角譜分量的相對位相,引入了一個位相遲因 exp(j2 1cos2cos2
,振幅不變由于每個平面波分量在不同方向 ,它們到達給定的點所經(jīng)過的距離不同cos2cos2cos2cos2e(cos,cos,z)a(cos,cos,0)expz 其中 coscos是個正數(shù),因此說明一切滿足coscos的波動分z的增大而按指數(shù)expz衰減。在幾個波長的距離內(nèi)很快衰減到零。稱為倏逝波cos2cos2cos2cos2 Hf,
A(fx,fy
exp f
A(fx,fy
f
Hf,f
λ 光波的現(xiàn)象看作一個傳遞函數(shù)的模為1,對各頻率分量的振幅沒有影響,引入頻率的 E(x,y)
a(f,f)exp
a(f,f)A(,)exp[j2(f12f22f12f22fE(x,y)A(,)ddexp exp[j2(f12f22f12f22f 12f22f令h(xy1{H12f22f
expj2(fxfy)dfh(x,y)exp
12f22fexpj2[f(x)12f22f rZ遠大于波 z遠大于孔徑和觀察區(qū)域的最大線度,系統(tǒng)的脈沖r z2(x)2 z2(x)2(y)2 z2(x)2(y系統(tǒng)輸入輸出E(x,y)A(,)h(x,y t(x,y)rect(x0)rect(y0 衍射孔徑對角譜的作Utx,yUix,ytx,假定入射光場的角譜和透射光場的角譜分Acoscos
Acos,cosi
t 變換的卷積定理可確定兩者的關(guān)系A(chǔ)cos,cosAcos,cosTcos,cost
i
其中,T()是孔徑透過率函數(shù) 變換衍射孔徑對角譜的作A(cos,cos)A(cos,cos)T(cos,cos
角譜的展寬就是在出射波中除了包含與入射光波相同方 衍射孔徑對角譜的作例:如果采用單位振幅平面波垂直照明矩形孔徑,入射光場Uix,y入射光場的角譜
Acos,cosFUx,ycos,cosi Acos,coscos,cosTcos,cos則 t 透射光場等于孔徑透過率 變Tcos,cos Tcos,cos{t(x,y)}{rect(x0
y0 absinc(acos)sinc(acos 總結(jié):1)空間域:孔徑限制了入射波面的范2)頻率域:孔徑展寬了入射光場的角譜:孔徑愈小,展寬愈大FresnelFraunholer角譜理論 近 H(f,f)
expjkz12( f)8( f) 近似條件下的角譜傳遞函數(shù)HH(f,f)exp(jkz)expjz(f2f2得E(x,y)exp(jkz)a(f,f)expjz(f2f2)expj2fxfyexp(jk 角譜理論 近又因 1a(f,f)A(x, expjk
y2j
E(x,y)
exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j
1exp(jkz)A(,)exp
j
K
y2
2 Ex,y
dexpjkd A(,)expj2d expjkxy S(,)A(,)expjk(22ds(f,fs(f,f)
A(,)exp[jk(d
2)]exp[j2(f
f)]d E(x, g(x,sy)(f1
x2y2其 g(x,y)
jd
exp[jk(d E(x,y)
exp(jkd)A(,)exp
xy
2 exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j
ExyA,hx,yd=A(x,y)hx,y
expjkdexpj
x2y2
2d Hf,fexpjkzexpjzf2f2 12f22e(f,f)a(12f22 12f22fa(f,f)exp expj2(fx12f22f E(x,y)
exp
jkd
y2
xy a(f,f)A(,)exp[
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