2021-2022學(xué)年福建省龍巖市連城縣廟前中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年福建省龍巖市連城縣廟前中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．3.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足,且的導(dǎo)函數(shù)在上恒有的解集為(

)A．

B．

C.

D.參考答案：A4.函數(shù)則的值為

(

)A．

B．C．D．18

參考答案：C略5.已知集合,，則為A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.已知全集，集合，集合，則集合為（）A．[－1,1]

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[－1,0)參考答案：C7.設(shè)雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B、C兩點(diǎn)，過B作AC的垂線交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)D到直線BC的距離小于a+，則的取值范圍為（）A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，） D．（，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得?=﹣1，求出c﹣x，利用D到直線BC的距離小于a+，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得?=﹣1，∴c﹣x=，∵D到直線BC的距離小于a+，∴c﹣x=||＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定D到直線BC的距離是關(guān)鍵．8.對函數(shù)，若存在區(qū)間

,使得,則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”，給出下列四個(gè)函數(shù)：(1),

(2),

(3),

(4),其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

A．(1)(2)

B．(2)(3)

C．(3)(4)

D．(1)(4)參考答案：B略9.已知拋物線的焦點(diǎn)也是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率A．

B．C．

D．參考答案：C略10.復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案．【解答】解：z==，復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為：﹣3．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列說法中，正確的有（把所有正確的序號都填上）．①“?x∈R，使2x＞3”的否定是“?x∈R，使2x≤3”；②函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f′（x）=0”的否命題是真命題；④函數(shù)f（x）=2x﹣x2的零點(diǎn)有2個(gè)．參考答案：①【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】寫出原命題的否定，可判斷①；利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出周期可判斷②；寫出原命題的否命題，可判斷③；確定函數(shù)f（x）=2x﹣x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷④．【解答】解：對于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，滿足特稱命題的否定是全稱命題的形式，所以①正確；對于②，函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函數(shù)的最小正周期T==，所以②不正確；對于③，命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f'（x0）=0”的否命題是：若函數(shù)f（x）在x=x0處沒極值，f'（x0）≠0，則顯然不正確．例如f（x）=x3，x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)，但x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0，所以③不正確；對于④，由題意可知：要研究函數(shù)f（x）=x2﹣2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需研究函數(shù)y=2x，y=x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．畫出函數(shù)y=2x，y=x2的圖象，由圖象可得有3個(gè)交點(diǎn)．所以④不正確；故正確的命題只有：①，故答案為：①【點(diǎn)評】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了特稱命題的否定，函數(shù)的周期性，取最值的條件，函數(shù)零點(diǎn)等知識點(diǎn)，難度中檔．12.已知O為△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，則3x+6y的最小值為． 參考答案：【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義． 【分析】根據(jù)幾何圖形求解出O點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出，的坐標(biāo)，再由=x+y，運(yùn)用向量的坐標(biāo)相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，運(yùn)用基本不等式求解即可得出最小值． 【解答】解：根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系如圖，過O作AB的垂直平分線，垂足為E， 則A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m）， ∵∠BAC=120°，∴， 化簡得，∴O（，）， ∴，，， ∵=x+y， ∴ 解得，， ∴3x+6y=3（） = ≥+6 =6+， 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解向量的坐標(biāo)． 13.某雷達(dá)測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70m/h視為“超速”，同時(shí)汽車將受到處罰.如圖是某路段的一個(gè)檢測點(diǎn)對200輛汽車的車速進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以得出將被處罰的汽車約有___________輛. 參考答案：40略14.運(yùn)行右邊的程序框圖，輸出的是數(shù)列{2n-1}的前7項(xiàng)。若要使輸出的結(jié)果是數(shù)列{3n-1}的前7項(xiàng)，則須將處理框A內(nèi)的關(guān)系式變更為

。參考答案：a＝a×3略15.有4個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為

．參考答案：甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組共有16種，其中兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組有4種，所以兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為。16.在等比數(shù)列中，若，則

．參考答案：3略17.某學(xué)校要安排2位數(shù)學(xué)老師、2位英語老師和1位化學(xué)老師分別擔(dān)任高三年級中5個(gè)不同班級的班主任，每個(gè)班級安排1個(gè)班主任．由于某種原因，數(shù)學(xué)老師不擔(dān)任A班的班主任，英語老師不擔(dān)任B班的班主任，化學(xué)老師不擔(dān)C班和D班的班主任，則共有

種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）．參考答案：32三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）設(shè)a1，b1（k=1，2…，n）均為正數(shù)，證明：（1）若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，則…≤1；（2）若b1+b2+…bn=1，則≤…≤b12+b22+…+bn2．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；不等式的證明．【專題】計(jì)算題；證明題；綜合題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，分析該零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最終求得函數(shù)的最值；（Ⅱ）（1）要證…≤1，只需證ln≤0，根據(jù)（I）和∵ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)nak≤ak﹣1，即可證明結(jié)論；（2）要證≤…，根據(jù)（1），令ak=（k=1，2…，n），再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可證得結(jié)論；要證…≤b12+b22+…+bn2，記s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），同理可證．【解答】解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；故函數(shù)f（x）在x=1處取得最大值f（1）=0；

（II）（1）由（I）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，從而有l(wèi)nak≤ak﹣1，得bklnak≤akbk﹣bk（k=1，2…，n），求和得≤a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn）∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，∴≤0，即ln≤0，∴…≤1；

（2）先證≤…，令ak=（k=1，2…，n），則a1b1+a2b2+…+anbn≥1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即≤nb1+b2+…bn=n，∴≤…，②再證…≤b12+b22+…+bn2，記s=b12+b22+…+bn2．令ak=（k=1，2…，n），則a1b1+a2b2+…+anbn=（b12+b22+…+bn2）=1=b1+b2+…bn，于是由（1）得≤1，即…≤sb1+b2+…bn=s，∴…≤b12+b22+…+bn2，綜合①②，（2）得證．【點(diǎn)評】此題是個(gè)難題．本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．19.

已知函數(shù)（a∈R）（1）若a=0,講座函數(shù)的單調(diào)性（2）函數(shù)滿足，且在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小。參考答案：（Ⅰ），···········1分···········4分（Ⅱ）由原式令，可得在上遞減，在上遞增∴·········7分即·································8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,1)上單調(diào)遞減

∴時(shí)，即·································10分而時(shí)，··················11分

································12分略20.如圖是三棱柱的三視圖，正（主）視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)（左）視圖為等邊三角形，為的中點(diǎn). (1)求證：∥平面；(2)設(shè)垂直于，且，求三棱柱的表面積和體積.參考答案：(1)由三視圖畫出直觀圖，如圖，這是一個(gè)正三棱柱，連接和，交點(diǎn)為,則為的中點(diǎn)，連接,因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,……6分(2)過作,垂足為,連接，因?yàn)閭?cè)面垂直于底面，所以，所以在內(nèi)的射影為，由，故，表面積為；體積為?！?2分

略21.已知函數(shù).（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）若，，且的值等于函數(shù)的最小值，求的最小值.參考答案：（Ⅰ）由得或或

即或或

解得或

∴解集為

…………4分（Ⅱ）∵

∴的最小值為2∴∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立∴的最小值為

……………10分22.已知點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l：x=﹣1的垂線，垂足為H，且?=?．（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡C與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)A，B是軌跡C上異于點(diǎn)M的不同D的兩點(diǎn)，且滿足?=0，在A，B處分別作軌跡C的切線交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的軌跡E的方程；（3）在（2）的條件下，求證：kMN?kAB為定值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．專題：向量與圓錐曲線；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由，展開數(shù)量積公式可得，可知點(diǎn)P為線段HF中垂線上的點(diǎn)，由拋物線定義可得動點(diǎn)P的軌跡C為以F為焦點(diǎn)的拋物線，其方程為y2=4x；（2）設(shè)直線MA的斜率為k（k≠0），寫出直線MA的方程，和拋物線聯(lián)立求得，進(jìn)一步求得切線NA的方程，同理求出切線NB的方程，聯(lián)立即可求得交點(diǎn)N的軌跡方程；（3）由（2）求出N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率公式求得kMN、kAB得答案．解答： （1）解：由可得：，即，可知點(diǎn)P為線段HF中垂線上的點(diǎn)，故動點(diǎn)P的軌跡C為以F為焦點(diǎn)的拋物線，其方程為y2=4x；（2）解：設(shè)直線MA的斜率為k（k