2021-2022學(xué)年遼寧省丹東市東港第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省丹東市東港第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平面上直線l的方向向量=，點(diǎn)O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分別是O1和A1，若，則λ=

（

）

A．

B．－

C．2

D．－2參考答案：D2.過雙曲線x2﹣y2=8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是（）A．28 B．14﹣8 C．14+8 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線方程得a=b=2，c=4．由雙曲線的定義，證出|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8=PQ|+8，結(jié)合|PQ|=7即可算出△PF2Q的周長(zhǎng)．【解答】解：∵雙曲線方程為x2﹣y2=8，∴a=b=2，c=4，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|﹣|PF1|=4，|QF2|﹣|QF1|=4，∴|PF2|=|PF1|+4，|QF2|=（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+8，∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7，∴|PF2|+|QF2|=7+8，因此△PF2Q的周長(zhǎng)=|PF2|+|QF2|+|PQ|=7+8+7=14+8，故選：C3.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為A. B.C. D.參考答案：C四棱錐的表面積為4.對(duì)任意（

）；

A.；

B.；

C.（-1,5）；

D.（-5,1）參考答案：B5.若函數(shù)y＝log2(x2－2x－3)的定義域、值域分別是M、N，則（

）A．[－1,3]

B．(－1,3)

C．(0,3]

D．[3,＋∞)參考答案：A略6.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則=(

)A.

8

B.

4

C.

2

D.

1參考答案：C略7.已知全集，A={3,4,5}，，則A.{5,6} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,3,4,5}參考答案：B8.已知,，，若，則的值為

（

）A．

B．4C．

D．2參考答案：D9.若命題p:?x0>0,|x0|≤1,則命題p的否定是 A.?x>0,|x|>1 B.?x>0,|x|≥1C.?x≤0,|x|<1 D.?x≤0,|x|≤1參考答案：A 本題主要考查特稱命題的否定.對(duì)全稱命題與特稱命題進(jìn)行否定時(shí),要從兩個(gè)方面進(jìn)行:一是對(duì)量詞進(jìn)行改寫,二是對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定,二者缺一不可. 根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題,易得?p:?x>0,|x|>1.故選A. 10.如果，那么的值是 A．—1 B．0 C．3 D．1參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為

參考答案：或略12.已知圓和兩點(diǎn)，若點(diǎn)在圓上且，則滿足條件的點(diǎn)有

個(gè).參考答案：13.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)___;參考答案：14.如圖：兩圓相交于點(diǎn)、，直線與分別與兩圓交于點(diǎn)、和、，，則

.參考答案：3由題設(shè)得，，，.15.等差數(shù)列{an}中，a2=3，S5=25則公差d=

▲

．參考答案：2

略16.公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為

．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）參考答案：24【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不滿足條件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不滿足條件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24．故答案為：24．17.已知單位向量的夾角為30°，則

．參考答案：1

16.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知F（1，0），過點(diǎn)A（﹣1，t）作y軸的垂線，與線段AF的垂直平方分線交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．（Ⅰ）求曲線E的方程；（Ⅱ）自直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)N作曲線E的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】（I）由中垂線的性質(zhì)可知MF=MA，故而E為以F為焦點(diǎn)的拋物線；（II）設(shè)N（x0，y0），過N點(diǎn)的直線方程為x=m（y﹣y0）+x0，聯(lián)立拋物線方程，令△=0得出切點(diǎn)P，Q坐標(biāo)及m1，m2的關(guān)系，代入兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)即可得出直線PQ的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（I）∵M(jìn)在AF的中垂線上，∴|MA|=|MF|，∵M(jìn)在直線y=t上，∴|MA|等于M到直線x=﹣1的距離．∴M的軌跡為以點(diǎn)F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線．∴曲線E的方程為y2=4x．（II）設(shè)N（x0，y0），過N的切線方程為x=m（y﹣y0）+x0，聯(lián)立方程組，得y2﹣4my+4my0﹣4x0=0．∵直線與拋物線相切，∴△=16m2﹣16my0+16x0=0，即m2﹣my0+x0=0．∴m1+m2=y0，m1?m2=x0．∴方程組的解為y=2m，x=m2．設(shè)P（m12，2m1），Q（m22，2m2）．則直線PQ的方程為：=，∴（m1+m2）（y﹣2m1）﹣2（x﹣m12）=0．即（m1+m2）y﹣2m1m2﹣2x=0．∴y0y﹣2x0﹣2x=0．∵N（x0，y0）在直線y=2x+3上，∴y0=2x0+3．∴直線PQ方程為2x0y+3y﹣2x0﹣2x=0．∴當(dāng)y=1時(shí)，x=．∴直線PQ過定點(diǎn)（，1）．19.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex+ax．（1）若a＜0．（i）試探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（ii）若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2﹣f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈（0，），求證：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）（i）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；（ii）根據(jù)f（x）的單調(diào)性求出g（x）的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，求出a的范圍即可；（2）由h（x）=x2﹣ax+lnx，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)（x＞0），故x1x2=，由x1∈（0，），知x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，由此能夠證明h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2【解答】解：（1）（i）a＜0時(shí)，f′（x）=a﹣＜0，故f（x）在（0，+∞）遞減；（ii）由（i）f（x）在（0，ln3）遞減，故g（x）在（0，ln3）遞減，故g′（x）=ex+a＜0在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣3；（2）h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0）∴x1x2=，∵x1∈（0，），∴x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，（i=1，2），∴h（x1）﹣h（x2）=（x12﹣ax1+lnx1）﹣（x22﹣ax2+lnx2）=（﹣x12﹣1+lnx1）﹣（﹣x22﹣1+lnx2）=x22﹣x12+ln=x22﹣﹣ln2x22，（x2＞1），設(shè)u（x）=x2﹣﹣ln2x2，x≥1，則u′（x）=≥0，∴u（x）＞u（1）=﹣ln2．即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．20.設(shè)函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是直線。（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）證明：直線與函數(shù)的圖像不相切。參考答案：（1）

（2）（3）利用導(dǎo)函數(shù)值小于等于2證明。21.已知在遞增等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值.參考答案：（Ⅰ）由為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則.∵是和的等比中項(xiàng)，∴，即，解之，得（舍），或.∴.（Ⅱ）..22.（本小題滿分14分）已知平行四邊形，，，，為的中點(diǎn)，把三角形沿折起至位置，使得，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：面面；（3）求二面角的正切值．參考答案：（1）見解析；(2)見解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)證明：取的中點(diǎn)，連接,為中點(diǎn)，且,為平行四邊形邊的中點(diǎn)，且，且四邊形是平行四邊形,平面，平面平面………4分（3）

取的中點(diǎn)，連接，，，為的中點(diǎn)為等邊三角形，即折疊后也為等邊三角形，且在中，，，根據(jù)余弦定理，可得在中，，，，，即又，所以又面面………