2021-2022學(xué)年湖南省常德市夏家巷中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省常德市夏家巷中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1..已知的值為A. B. C. D.2參考答案：C，選C.2.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

（1）對(duì)成立；

（2）當(dāng)

則下列不等式關(guān)系中正確的是

（

）

A．B．

C．

D．參考答案：B略3.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.定義在上的函數(shù),是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則（）A．B．

C．D．參考答案：D5.已知,,那么的值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.在中，“”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：8.對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的個(gè)數(shù)是（

）①在上是遞增的

②的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱③的最小正周期為

④的最大值為3A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A試題分析：考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).本題以三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為背景設(shè)置了一道求函數(shù)解析表達(dá)式為的函數(shù),要求判定和推斷所給出的四個(gè)與其有關(guān)的命題的真假問題選擇填空,體現(xiàn)了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用價(jià)值.解答過程中先將函數(shù)化簡(jiǎn)為,然后充分利用題設(shè)中提供的圖形信息和數(shù)據(jù)等有關(guān)信息,逐一進(jìn)行推理和判斷,從而選出正確的答案為④,進(jìn)而使得問題獲解.9.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．17

B．33

C．-31

D．-3參考答案：B10.下圖為國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年上半年全國居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）數(shù)據(jù)折線圖，（注：同比是今年第n個(gè)月與去年第n個(gè)月之比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期之比）

下列說法錯(cuò)誤的是（

）A

2018年6月CPI環(huán)比下降0.1%，同比上漲1.9%B

2018年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲2.1%C

2018年2月CPI環(huán)比上漲0.6%，同比上漲1.4%D

2018年6月CPI同比漲幅比上月略微擴(kuò)大0.1個(gè)百分點(diǎn)參考答案：C觀察表中數(shù)據(jù)知A,B,D正確，對(duì)選項(xiàng)C，2018年2月CPI環(huán)比上漲2.9%，同比上漲1.2%，故C錯(cuò)誤

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）（2015?上海模擬）已知，||=||=2，與的夾角為，則在上的投影為．參考答案：3【考點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【專題】：平面向量及應(yīng)用．【分析】：根據(jù)兩個(gè)向量的模長和夾角做出兩個(gè)向量的和的模長，看出兩個(gè)向量的和與的夾角，有向量的夾角和模長用向量的投影公式得到結(jié)果．解：∵||=||=2，與的夾角為，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵與的夾角為，∴在上的投影為|+|cos=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】：本題考查向量的投影，在計(jì)算投影的時(shí)注意看清楚是哪一個(gè)向量在哪一個(gè)向量上的投影，再用模長乘以夾角的余弦．12.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為______.參考答案：略13.如圖所示，在長方體ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內(nèi)的一點(diǎn)，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到平面EFGH的距離是

▲

．參考答案：14.在△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，則△ABC的面積是

．參考答案：2【考點(diǎn)】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解得sinB，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵c2sinA=5sinC，∴ac2=5c，可得：ac=5，∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16，∴cosB=，解得sinB==，∴S△ABC=acsinB==2．故答案為：2．15.某校高三數(shù)學(xué)測(cè)試中，對(duì)90分以上（含90分）的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示。若130—140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為90，則90—100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為

參考答案：答案：81016.（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形中，，，垂足為，則

．參考答案：本題對(duì)數(shù)值要敏感，由，可知從而，.17.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖．L4

【答案解析】60

解析：設(shè)第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率分別為2x，3x，4x，6x，4x，x，則2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三組數(shù)據(jù)的頻率分別是，故前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于=27，解得n=60．故答案為60．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例關(guān)系設(shè)出各組的頻率，在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，求出前三組的頻率，再頻數(shù)和建立等量關(guān)系即可．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍．參考答案：（1）單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；（2）a∈（e，+∞）【分析】（1）首先求得定義域?yàn)椋髮?dǎo)后，通過證明恒成立可知導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由的符號(hào)決定，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將在內(nèi)有極值轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有零點(diǎn)，即有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而可驗(yàn)證出時(shí)在內(nèi)有零點(diǎn)，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，定義域?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，則：令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

即：對(duì)任意的，恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：（2）若在內(nèi)有極值，則在內(nèi)有零點(diǎn)由，得：，則設(shè)，，則恒成立在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有解設(shè)，則當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減又，

在上有唯一解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有唯一極值當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在極值綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、根據(jù)極值所在區(qū)間求解參數(shù)取值范圍.根據(jù)極值所在區(qū)間求解參數(shù)的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)類問題來進(jìn)行求解.19.已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=loga，記F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；（2）若關(guān)于x的方程F（x）﹣m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定義域，令F（x）=0，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解得x的值，注意驗(yàn)證即可；（2）方程可化為，設(shè)1﹣x=t∈（0，1]，構(gòu)造函數(shù)，可得單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得嗎的范圍．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）令F（x）=0，則…（*）

方程變?yōu)?，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0即函數(shù)F（x）的零點(diǎn)為0．（2）方程可化為=，故，設(shè)1﹣x=t∈（0，1]函數(shù)在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)x=0，ymin=5，所以am≥1①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，故當(dāng)a＞1時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≥0，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≤020.已知某圓的極坐標(biāo)方程是，求（Ⅰ）求圓的普通方程和一個(gè)參數(shù)方程；（Ⅱ）圓上所有點(diǎn)中的最大值和最小值.參考答案：略21.（本題滿分12分）命題甲:R,關(guān)于x的方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)解;命題乙:R,關(guān)于x的不等式的解集為空集;當(dāng)甲、乙中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：當(dāng)甲真時(shí)，設(shè)，即兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).則當(dāng)乙真時(shí)，時(shí)

滿足

或也滿足則

∴當(dāng)甲乙有但僅有一個(gè)為真命題時(shí)，即或∴

22.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（﹣2，﹣4）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用關(guān)系式把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程．（2）利用參數(shù)方程和拋物線方程建立成關(guān)于t的一元二次方程組，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出兩根和