2021-2022學(xué)年湖南省婁底市大江口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省婁底市大江口中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：C略3.在△ABC中，AB=AC=1，，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)余弦定理求出角A的大小，結(jié)合向量投影的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°，∴向量在方向上的投影為==﹣，故選：A．18.記橢圓圍成的區(qū)域（含邊界）為（n=1,2,…）.當(dāng)點(diǎn)（x,y）分別在，，…上時(shí)，x+y的最大值分別是M1,M2,…，則=(

)（A）0

（B）

（C）2

（D）參考答案：D5.已知i為虛數(shù)單位，則=

A.1

B.i

C.－i

D.－1參考答案：C6.函數(shù)y＝(0<a<1)的圖象的大致形狀是()參考答案：D7.設(shè)2a=5b=m，且，則m=（）A． B．10 C．20 D．100參考答案：A【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】直接化簡(jiǎn)，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．8.已知直線與平面，滿足，，，，則必有（

）(A)且

（B）且

（C）且

（D）且參考答案：D9.設(shè)集合等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.設(shè)是方程的解，則屬于區(qū)間（

）

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，4）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其一條漸近線方程為y=2x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．參考答案：﹣x2=1【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程，可以設(shè)其方程為x2﹣=m，又由其過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程計(jì)算可得m的值，即可得其方程，最后將求得的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，則可以設(shè)其方程為x2﹣=m，（m≠0），又由其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有1﹣=m，解可得m=﹣1，則其方程為：x2﹣=﹣1，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：﹣x2=1，故答案為：﹣x2=1．12.已知=，=，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是

．參考答案：且略13.將容量為的樣本中的數(shù)據(jù)分成組，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于，則的值為

.參考答案：根據(jù)已知條件知，所以14.已知函數(shù)f(x)=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，﹣15]

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】由題意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，運(yùn)用基本不等式求得到成立的條件，再由x的范圍，可得最小值，運(yùn)用存在性問(wèn)題的解法，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：f（x）≤2，即為≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2?N，由x=2可得6+12=18；x=3時(shí)，可得9+8=17，可得3x+的最小值為17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故答案為：（﹣∞，﹣15]．15.已知，則=

▲

參考答案：

16.定義“正對(duì)數(shù)”：ln+x=，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，則b④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命題有：．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①③④【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】對(duì)于①，由“正對(duì)數(shù)”的定義分別對(duì)a，b從0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0兩種情況進(jìn)行推理；對(duì)于②，通過(guò)舉反例說(shuō)明錯(cuò)誤；對(duì)于③④，分別從四種情況，即當(dāng)0＜a＜1，b＞0時(shí)；當(dāng)a≥1，0＜b＜1時(shí)；當(dāng)0＜a＜1，b≥1時(shí)；當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)進(jìn)行推理．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)0＜a＜1，b＞0時(shí)，有0＜ab＜1，從而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，∴l(xiāng)n+（ab）=bln+a；當(dāng)a≥1，b＞0時(shí)，有ab＞1，從而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，∴l(xiāng)n+（ab）=bln+a；∴當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，ln+（ab）=bln+a，命題①正確；對(duì)于②，當(dāng)a=時(shí)，滿足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴l(xiāng)n+（ab）≠ln+a+ln+b，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由“正對(duì)數(shù)”的定義知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時(shí)，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．當(dāng)a≥1，0＜b＜1時(shí)，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．當(dāng)0＜a＜1，b≥1時(shí)，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，則b．∴當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，b，命題③正確；對(duì)于④，由“正對(duì)數(shù)”的定義知，當(dāng)x1≤x2時(shí)，有，當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時(shí)，有0＜a+b＜2，從而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當(dāng)a≥1，0＜b＜1時(shí)，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當(dāng)0＜a＜1，b≥1時(shí)，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，從而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命題④正確．∴正確的命題是①③④．故答案為：①③④．17.拋物線的頂點(diǎn)為，，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的面積是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（Ⅰ）令，得，且，解得.當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，19.在△ABC中，，．（1）求；（2）若，求△ABC的周長(zhǎng)．參考答案：（1）；（2）．（1）∵，∴，∴．（2）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．∵，∴，∵，∴，．由余弦定理可得，則，的周長(zhǎng)為．20.（本小題滿分13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：(III)以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),由，建立Q坐標(biāo)的方程.(III)設(shè).若以為直徑的圓恒過(guò)的交點(diǎn),則.由(2)可知:,,即恒成立,∴存在，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線、的交點(diǎn).……………13分考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.21.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|+2|x+1|．（1）解不等式f（x）＞4；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）通過(guò)討論x的范圍，去掉絕對(duì)值，從而解出不等式的解集；（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，通過(guò)圖象讀出即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，﹣3x＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣，當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，x+4＞4，解得x＞0，∴0＜x＜2，當(dāng)x≥2時(shí)，3x＞4，解得x＞，∴x≥2，綜上，原不等式解集為{x|x＜﹣或x＞0}．

（2）由f（x）的圖象和單調(diào)性易得f（x）min=f（﹣1）=3，若?x∈R，f（x）≥m恒成立，則只需f（x）min≥m?m≤3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，3]．22.已知函數(shù)f(x)＝(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝λf(x)＋sinx是區(qū)間[－1,1]上的減函數(shù)．(1)求a的值及的范圍。(2)討論關(guān)于x的方程＝x2－2ex＋m的根的個(gè)數(shù)．參考答案：解：(1)由于f(x)是在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，故a＝0.∵g(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴x∈[－1,1]時(shí)，g′(x)＝λ＋cosx≤0恒成立∴λ≤－1，(2)由(1)知f(x)＝x，∴方程為