2021-2022學(xué)年浙江省杭州市濱江區(qū)職業(yè)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省杭州市濱江區(qū)職業(yè)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在[－1,1]上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)定義域、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，錯誤；的定義域為，錯誤；，則單調(diào)遞減，正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.2.已知則方程所有實根的個數(shù)是（

）A.2

B.3

C.4

D.5參考答案：D略3.下列幾何體中,每個幾何體的三視圖中有且僅有兩個視圖相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.③④

D.②④參考答案：C略4.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的取值范圍是（

）

參考答案：C略5.已知ABC和點M滿足．若存在實數(shù)n使得成立,則n=(

)A．2

B．3

C．4

D.5參考答案：B6.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①BM與ED平行②CN與BE是異面直線③CN與BM成60°角④DM與BN是異面直線以上四個命題中，正確的命題序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④參考答案：C【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)恢復(fù)的正方體可以判斷出答案．【解答】解：根據(jù)展開圖，畫出立體圖形，BM與ED垂直，不平行，CN與BE是平行直線，CN與BM成60°，DM與BN是異面直線，故③④正確．故選：C【點評】本題考查了空間直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．7.下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象是

（

）A

B

C

D參考答案：D略8.奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，5]上是增函數(shù)且最小值為2，那么y=f（x）在區(qū)間[﹣5，﹣3]上是（）A．減函數(shù)且最小值為﹣2 B．減函數(shù)且最大值為﹣2C．增函數(shù)且最小值為﹣2 D．增函數(shù)且最大值為﹣2參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，最值相反，結(jié)合已知可得答案．【解答】解：∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，最值相反，奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，5]上是增函數(shù)且最小值為2，∴y=f（x）在區(qū)間[﹣5，﹣3]上是增函數(shù)且最大值為﹣2，故選：D【點評】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．9.已知函數(shù)，R，則是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù)

B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)

參考答案：C10.若函數(shù)的定義域是

,則函數(shù)的定義域是（

）A．[-1,1]

B.[-1,1）

C.

D.(-1,1)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若(，)是f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為

．參考答案：[，]

【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】令2kπ+≤2x+φ≤2kπ+，k∈z，求得kπ+﹣≤x≤kπ+﹣．再由≤kπ+﹣，且≥kπ+﹣，結(jié)合|φ|＜π求得φ的取值范圍．【解答】解：由題意可得，是函數(shù)y=2sin（2x+φ）的一個單調(diào)遞減區(qū)間，令2kπ+≤2x+φ≤2kπ+，k∈z，求得kπ+﹣≤x≤kπ+﹣，故有≤kπ+﹣，且≥kπ+﹣，結(jié)合|φ|＜π求得≤φ≤，故φ的取值范圍為[，]，故答案為[，]．12.已知數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為

參考答案：13.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的圖象，如圖所示，則f（2016）的值為

．參考答案：

【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出A，ω和φ的值，結(jié)合三角函數(shù)的解析式進(jìn)行求解即可．【解答】解：由圖象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函數(shù)的周期T=8=，即ω=，由五點對應(yīng)法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，則f（x）=3sin（x+），則f（2016）=3sin（×2016+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案為：【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．14.設(shè)集合A={},B={x},且AB，則實數(shù)k的取值范圍是

.參考答案：{}15.設(shè)函數(shù)f（lgx）的定義域為[0.1，100]，則函數(shù)f（）的定義域為．參考答案：[﹣2，4]【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域．【分析】先由函數(shù)f（lgx）的定義域求出函數(shù)f（x）的定義域，然后求得函數(shù)f（）的定義域．【解答】解：因為函數(shù)f（lgx）的定義域為[0.1，100]，由0.1≤x≤100，得：﹣1≤lgx≤2，所以函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，2]，再由，得：﹣2≤x≤4，所以函數(shù)f（）的定義域為[﹣2，4]．故答案為[﹣2，4]．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，考查了復(fù)合函數(shù)定義域的求法，給出了函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，求函數(shù)f[g（x）]的定義域，讓g（x）∈[a，b]，求解x即可，給出了f[g（x）]的定義域，求函數(shù)f（x）的定義域，就是求函數(shù)g（x）的值域，此題是基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)的定義域為實數(shù)集，滿足（是的非空真子集），若在上有兩個非空真子集，且，則的值域為__________．參考答案：試題分析：當(dāng)時，，所以，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故，即值域為，故答案為.考點：函數(shù)的值域及新定義問題.17.若對于正整數(shù)k，表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，例如.設(shè)，則__________．參考答案：【分析】由g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，所以偶數(shù)項的最大奇數(shù)因數(shù)和除2之后的奇數(shù)因數(shù)相同，所以將Sn分組，分成奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，由等差數(shù)列的求和公式，整理即可得到所求．【詳解】解：當(dāng)n≥2時，Sn＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1）+g（2n）＝[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n﹣1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n﹣1）]＝+[g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）]＝4n﹣1+Sn﹣1，于是Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，n≥2，n∈N*．又，所以=故答案為：．【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查分組求和和分類討論思想方法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=log2（4x）?log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范圍；（2）求f（x）的最值，并給出最值時對應(yīng)的x的值．參考答案：【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，我們易確定出t=log2x的最大值和最小值，進(jìn)而得到t取值范圍；（2）由已知中f（x）=log2（4x）?log2（2x），根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可以使用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得答案．【解答】解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，則，∴時，當(dāng)t=2即x=4時，f（x）max=1219.某同學(xué)將“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一個時期內(nèi)的圖象時，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：wx+φ

0π2πx

Asin（wx+φ）05

﹣50（1）請將上述數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】（1）由五點作圖法即可將數(shù)據(jù)補充完整，寫出函數(shù)的解析式；（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x），解得其對稱中心即可得解．【解答】解：（1）數(shù)據(jù)補充完整如下表：wx+φ

0π2πxAsin（wx+φ）050﹣50函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=5sin（2x﹣）．（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=﹣，k∈Z，當(dāng)k=0時，可得：x=﹣．從而可得離原點O最近的對稱中心為：（﹣，0）．20.已知f（x）=x2﹣bx+c且f（1）=0，f（2）=﹣3（1）求f（x）的函數(shù)解析式；（2）求的解析式及其定義域．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；方程思想；待定系數(shù)法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得f（1）=1﹣b+c=0，f（2）=4﹣2b+c=﹣3，解方程組可得；（2）由（1）得f（x）=x2﹣6x+5，整體代入可得函數(shù)解析式，由式子有意義可得定義域．【解答】解：（1）由題意可得f（1）=1﹣b+c=0，f（2）=4﹣2b+c=﹣3，聯(lián)立解得：b=6，c=5，∴f（x）=x2﹣6x+5；（2）由（1）得f（x）=x2﹣6x+5，∴=，的定義域為：（﹣1，+∞）【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，屬基礎(chǔ)題．21.（16分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+3（x∈R，a∈R）．（1）若a=1，寫出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log2x，且x∈[，4]，若不等式f（g（x））≥恒成立，求a的取值范圍；（3）已知對任意的x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx≤x﹣1成立，試?yán)眠@個條件證明：當(dāng)a∈[﹣2，]時，不等式f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．參考答案：考點： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）原函數(shù)化簡為f（x）=（x﹣1）2+2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）先求出g（x）的值域，原不等式可化為t2﹣（a+1）t+3≥，構(gòu)造函數(shù)h（t），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，求出函數(shù)h（t）的最小值，再解不等式，即可得到答案；（3）分別根據(jù)當(dāng)x＞1或0＜x＜1，充分利用所給的條件，根據(jù)判別式即可證明．解答： （1）當(dāng)a=1時，f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，1），增區(qū)間為[1，+∞）．）（2）因為x∈[，4]，所以g（x）=log2x∈[﹣1，2]，設(shè)t=g（x）則∈[﹣1，2]，∴f（g（x））≥可化為t2﹣（a+1）t+3≥．令h（t）=t2﹣（a+1）t+3，其對稱軸為t=，①當(dāng)≤﹣1，即a≤﹣3時，h（t）在[﹣1，2]上單調(diào)遞增，所以h（t）min=h（﹣1）=1+a+1+3=a+5，由a+5≥得a≥﹣7，所以﹣7≤a≤﹣3；

②當(dāng)﹣1＜＜2即﹣3＜a＜3時，函數(shù)h（t）在（﹣1，）上遞減，在（，2）上遞增，所以h（t）min=h（）=﹣+3．由﹣+3≥，解得﹣5≤a≤1．所以﹣3＜a≤1．③當(dāng)≥2，即a≥3時，函數(shù)h（t）在﹣1，2]遞減，所以h（t）min=h（2）=5﹣2a，由5﹣2a≥，得a≤，舍去．綜上：a∈[﹣7，1]．（3）?當(dāng)x＞1時，ln（x﹣1）2=2ln（x﹣1），由題意x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx≤x﹣1成立，可得x＞1時，2ln（x﹣1）≤2x﹣4，∴f（x）﹣（2x﹣4）=x2﹣（a+1）x+3﹣2x+4=x2﹣（a+3）x+7，當(dāng)a∈[﹣2，]時，△=（a+3）2﹣28＜0恒成立，所以f（x）﹣（2x﹣4）＞0恒成立，即f（x）＞2x﹣4恒成立，所以f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．?當(dāng)0＜x＜1時，ln（x﹣1）2=2ln（1﹣x），由題意可得2ln（1﹣x）≤﹣2x，f（x）﹣（﹣2x）=x2﹣（a﹣3）x+3，因為，△=（a﹣1）2﹣12，當(dāng)當(dāng)a∈[﹣2，]時，△＜0恒成立，所以f（x）﹣（﹣2x）＞0，即f（x）＞﹣2x恒成立，所以f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立，綜上，f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．點評