2021-2022學(xué)年山東省泰安市水河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題

2021-2022學(xué)年山東省泰安市水河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)是的任一點,且,設(shè)的面積分別為,且,則在平面直角坐標(biāo)系中,以為坐標(biāo)的點的軌跡圖形是(

)參考答案：A2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos|x|參考答案：C略3.（09年湖北重點中學(xué)4月月考理）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是（

）參考答案：D4.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜邊長為，那么這個幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個三棱錐，如果直角三角形的斜邊長為，則直角三角形的直角邊長均為1，故幾何體的體積V=×1×1×1=，故選：C5.雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點，△F2AB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，根據(jù)是以為直角頂點的直角三角形，且，以及雙曲線的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，如圖所示，因為是以為直角頂點的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．.6.一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．9 B．10 C．11 D．參考答案：C考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)得出該幾何體是在底面為邊長是2的正方形、高是3的直四棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個底面積為×2×1=1、高為3的三棱錐形成的，運用直棱柱減去三棱錐即可得出答案．解答：解：．由三視圖可知該幾何體是在底面為邊長是2的正方形、高是3的直四棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個底面積為×2×1=1、高為3的三棱錐形成的，V三棱錐==1，所以V=4×3﹣1=11．故選：C點評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，求解體積，屬于計算題，關(guān)鍵是求解底面積，高，運用體積公式．7.不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集為（）A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）參考答案：B【考點】絕對值不等式的解法．【分析】由條件利用絕對值的意義，求得絕對值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到5、﹣1對應(yīng)點的距離之和，而數(shù)軸上的﹣2和6對應(yīng)點到5、﹣1對應(yīng)點的距離之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集為（﹣2，6），故選：B．8.已知x，y滿足約束條件則z=2x+3y的最大值為（）A．8 B．9 C．10 D．11參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，3），化目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y為y=，由圖可知，當(dāng)直線y=過點A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為11．故選：D．9.如下圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為．則該幾何體的俯視圖可以是（

）參考答案：C略10.已知函數(shù)f（x）=x2+cosx，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函數(shù)的定義得函數(shù)f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除BD，又當(dāng)x=時，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個總體分為甲、乙兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為20的樣本．已知乙層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為

．參考答案：18012.設(shè)p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是遞增的，q：m≥﹣4，則p是q的條件．參考答案：充要【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵當(dāng)x＞0時，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要條件．故答案為：充要條件13.函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)

。參考答案：-1試題分析：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即考點：函數(shù)的奇偶性.14.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是

cm3，表面積是

cm2．參考答案：40，32+16

【分析】由幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與兩個相同的四棱錐的組合體，畫出圖形結(jié)合圖形求出它的體積與表面積．【解答】解：由該幾何體的三視圖，知該幾何體是三棱柱與兩個相同的四棱錐的組合體，如圖所示；該組合體的體積為V=+V三棱柱DEG﹣CFH+=×（2×4）×3+（×4×3）×4+×（2×4）×3=8+24+8=40（cm3）；它的表面積為S=+2S梯形ABCD+2=8×4+2××（4+8）×+2××4×=32+16cm2．故答案為：40，32+16．【點評】本題考查利用幾何體的三視圖求體積與表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．15.對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：

根據(jù)上述分解規(guī)律，的分解式為________________________.參考答案：31+33+35+37+39+4116.已知等差數(shù)列滿足，則，則最大值為

參考答案：

17.（5分）橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若｜PF1｜=4，則∠F1PF2的大小為

，△F1PF2的面積為．參考答案：，2【考點】：橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：根據(jù)橢圓的方程，可得a=3，b=，c==．由橢圓的定義，得｜PF2｜=2a﹣｜PF1｜=2，在△PF1F2中利用余弦定理，可算出∠F1PF2=，最后由正弦定理的面積公式，可得△F1PF2的面積．解：∵橢圓的方程為，∴a2=9，b2=2，可得a=3，b=，c==∵｜PF1｜=4，｜PF1｜+｜PF2｜=2a=6，∴｜PF2｜=6﹣｜PF1｜=2△PF1F2中，｜F1F2｜=2c=2，∴cos∠F1PF2==﹣∵∠F1PF2∈（0，π），∴∠F1PF2=由正弦定理的面積公式，得△F1PF2的面積為S=｜PF1｜?｜PF2｜sin=2故答案為：，2【點評】：本題給出橢圓的焦點三角形△PF1F2，求∠F1PF2的大小并求面積，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、利用正余弦定理解三角形等知識點，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，且不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）若bn=3an+an﹣1，求數(shù)列{bn}前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）根據(jù)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a，d，代入等差數(shù)列的通項公式即可；（2）使用分組法把Tn轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和計算．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣3x+2＜0的解集為（1，d）．∴，解得a=1，d=2．∴an=2n﹣1；（2）由（I）知bn=32n﹣1+2n﹣2，∴Tn=（3+33+35+…+32n﹣1）+（2+4+6+8+…+2n）﹣2n=+﹣2n=+n2﹣n．19.已知函數(shù)R.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)的定義域為，.………1分(i)當(dāng)時，恒成立，時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減；……2分(ii)當(dāng)時，由得，（舍去），①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；……3分②當(dāng)，即時，或時，恒成立，在，單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減；……………4分③當(dāng)即時，或時，恒成立，在單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減；……………5分綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．…………………6分(2)由(1)知，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又因為，

…………………7分取，令，，則在成立，故單調(diào)遞增，，，（注：此處若寫“當(dāng)時，”也給分）所以有兩個零點等價于，得，所以．……………8分當(dāng)時，，只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意；………9分當(dāng)且時，有兩個極值，，，記，

…………………10分，令，則.當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減．故，在單調(diào)遞增．時，，故．……11分又，由(1)知，至多只有一個零點，不符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍為.

……12分20.（本小題滿分13分）

、如圖所示，在正方體ABCD—A’B’C’D’'中，棱AB，BB’，B'C’，C'D’的中點分別是E，F(xiàn)，G，H．（1）求證：AD’//平面EFG；（2）求證：A’C⊥平面EFG：（3）判斷點A，D’，H，F(xiàn)是否共面？并說明理由參考答案：【知識點】線面平行的判定線面垂直的判定平面的基本性質(zhì)G3G4G5(1)略；(2)略；(3)不共面解析：（1）證明：連接BC'，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'．

所以，四邊形ABC'D'是平行四邊形，所以，AD'∥BC'．因為F，G分別是BB'，B'C'的中點，所以FG∥BC'，所以，F(xiàn)G∥AD'．因為EF，AD'是異面直線，所以AD'?平面EFG．

因為FG?平面EFG，所以AD'∥平面EFG．

（2）證明：連接B'C，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'?平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，因為A'B'?平面A'B'C，B'C?平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．因為A'C?平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C．

因為FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可證：A'C⊥EF．因為EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG．

（3）點A，D'，H，F(xiàn)不共面．理由如下：假設(shè)A，D'，H，F(xiàn)共面．連接C'F，AF，HF．

由（Ⅰ）知，AD'∥BC'，因為BC'?平面BCC'B'，AD'?平面BCC'B'，所以，AD'∥平面BCC'B'．

因為C'∈D'H，所以，平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F．因為AD'?平面AD'HF，所以AD'∥C'F．

所以C'F∥BC'，而C'F與BC'相交，矛盾．所以點A，D'，H，F(xiàn)不共面．【思路點撥】證明線面垂直與平行，通常結(jié)合其判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直與線面平行問題進(jìn)行證明.21.設(shè)直線l：y=kx+1與曲線f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于點P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．參考答案：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h(yuǎn)（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，則h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，在（0，x2）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；③若a＞，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上還有一解，則h（x）=0解不唯一；綜上，當(dāng)切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與的大小，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切線y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切點P（0，1），切線l的斜率為k=﹣1；（2）切線l：y=﹣x+1與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+