2021-2022學(xué)年云南省大理市老君山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年云南省大理市老君山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）對任意的x＞1恒成立，則k的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】將問題轉(zhuǎn)化為k＜在x＞1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可．【解答】解：由k（x﹣1）＜f（x）對任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）=，（x＞1），則h′（x）=，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，畫出函數(shù)y=x﹣2，y=lnx的圖象，如圖示：∴g（x）存在唯一的零點，又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零點屬于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的零點問題，考查了函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．2.若(a－2i)i=b－i，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則a2+b2等于（

）

(A)0

(B)2

(C)

(D)5

參考答案：答案：D3.已知tanθ=，則tan（﹣θ）=（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣參考答案：C【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】利用兩角和的正切公式，求得tan（﹣θ）的值．【解答】解：∵tanθ=，則tan（﹣θ）===，故選：C．【點評】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，則的最小值是（

）A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：A5.的展開式中常數(shù)項是（

）A．-15

B．5

C.10

D．15參考答案：B6.直線的傾斜角的取值范圍是（

）A.

B.C.

D.

參考答案：B7.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，則x1+x2=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】正弦函數(shù)的對稱性．【分析】由題意可得2x+∈[，]，根據(jù)題意可得=，由此求得x1+x2值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，∴=，則x1+x2=，故選：C．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．8.已知則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.函數(shù)的定義域為（

）A． B．

C．

D．參考答案：D略10.已知中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a,b,c,若，則的面積等于

（A）

(B)

(C)

(D)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖象過點，且圖象上與點P最近的一個最高點是，把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________；參考答案：【分析】先利用給出的特殊點求出圖像，再根據(jù)函數(shù)伸縮變換規(guī)律求出，進而求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因為函數(shù)的圖像過，又因為圖象上與點最近的一個最高點是，所以并且的橫坐標(biāo)差個周期，所以，故，將代入得，又因為，故，故.現(xiàn)將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的=2倍得到函數(shù)的圖象，那么，故它的單調(diào)遞增區(qū)間是【點睛】此題靈活的考查了正弦曲線各種性質(zhì)和函數(shù)圖像的伸縮變換，是一道好的三角函數(shù)綜合題.12.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則=

參考答案：313.已知=(x,2),=(2,)，若(－)⊥，則|+2|=___________.參考答案：由得，由=（5,5）得.14.已知函數(shù)，若，則_________.參考答案：215.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：316.若函數(shù)f（x）滿足，當(dāng)x∈[﹣1，0]時，f（x）=x，若在區(qū)間[﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍為．參考答案：（0，]【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】根據(jù)，當(dāng)x∈[﹣1，0]時，f（x）=x，求出x∈（0，1）時，f（x）的解析式，由在區(qū)間（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有兩個零點，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點，利用圖象直接的結(jié)論．【解答】解：∵x∈（﹣1，0）時，f（x）=x，∴當(dāng)x∈（0，1]時，x﹣1∈（﹣1，0），，可得x﹣1=，所以f（x）=，作出f（x）在[﹣1，1）上的圖象，如圖：因為g（x）=f（x）﹣mx﹣m有兩個零點，所以y=f（x）的圖象與直線y=mx﹣m有兩個交點，由圖象可知m∈（0，]．故答案為：（0，]．【點評】此題是個中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力．17.集合，，若“”是“”的充分條件，則實數(shù)取值范圍是

.參考答案： 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，且1-a2是a1與1+a3的等比中項，前n項和為Sn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=8，其前n項和Tn滿足Tn=nλ?bn+1（λ為常數(shù)，且λ≠1）．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值；

（Ⅱ）比較與Sn的大?。畢⒖即鸢福骸局R點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．D2D3【答案解析】（Ⅰ），（Ⅱ）<Sn解析：（Ⅰ）

----------------2分

----------------5分（Ⅱ）令----------9分

--------10分

---------13分【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)1-a2是a1與1+a3的等比中項，建立關(guān)于a1的方程，解出a1=，從而得出數(shù)列{an}的通項公式．再由Tn=nλ?bn+1分別取n=1、2，建立關(guān)于{bn}的公差d與λ的方程組，解之即可得到實數(shù)λ的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的求和公式算出Sn的表達式以及由等差數(shù)列的通項與求和公式算出{bn}的前n項和Tn=4n2+4n，利用裂項求和的方法即可得到所求的大小關(guān)系．19.已知函數(shù)（1）設(shè)a＞1，試討論f（x）單調(diào)性；（2）設(shè)g（x）=x2﹣2bx+4，當(dāng)時，任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x1）≥f（1）=﹣，問題轉(zhuǎn)化為存在x2∈，使得，分離參數(shù)即得到在x∈時有解，求出b的范圍即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），=，令f'（x）=0，則x1=1，（a＞1，x2＜0）舍去．令f'（x）＞0，則x＞1，令f'（x）＜0，則0＜x＜1，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，由（1）可知f'（x）=0的兩根分別為x1=1，令f'（x）＞0，則0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，則1＜x＜3可知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，所以對任意的x1∈（0，2），有，由條件知存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），所以即存在x2∈，使得，分離參數(shù)即得到在x∈時有解，由于（x∈）為減函數(shù)，故其最小值為，從而，所以實數(shù)b的取值范圍是．20.如圖，CD為△ABC外接圓的切線，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，AB的延長線交直線CD于點D，且BC?AE=DC?AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．參考答案：考點：與圓有關(guān)的比例線段；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．專題：選作題；推理和證明．分析：（Ⅰ）由已知條件得△AFE∽△CBD，從而∠AFE=∠CBD，又B，E，F(xiàn)，C四點共圓，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能證明CA是△ABC外接圓的直徑．（Ⅱ）連結(jié)CE，由CE為B，E，F(xiàn)，C所共圓的直徑，得CD=CE，由切線性質(zhì)得AC⊥DC，由此能求出過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．解答： （1）證明：∵BC?AE=DC?AF，∴…又DC為圓的切線∴∠DCB=∠EAF…∴△AFE∽△CBD…∴∠AFE=∠CBD…又B，E，F(xiàn)，C四點共圓∴∠AFE=∠CBE…∴∠CBD=∠CBE=90°∴CA是△ABC外接圓的直徑…（Ⅱ）解：連結(jié)CE，∵∠CBE=90°∴CE為B，E，F(xiàn)，C所共圓的直徑…∵DB=BE，且BC⊥DE∴CD=CE…∵DC為圓的切線，AC為該圓的直徑∴AC⊥DC…設(shè)DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，CD2=BD?DA=3a2，AC2=AB?AD=6a2，∴=，∴=，∴過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為．點評：本題考查三角形外接圓直徑的證明，考查兩圓半徑比值的求法，四點共圓的性質(zhì)的靈活運用是關(guān)鍵．21.設(shè)m＝(sint＋cost)dt，求二項式(m－)6展開式中含x2項的系數(shù)及各項系數(shù)之和．參考答案：解析∵m＝(sint＋cost)dt＝(sint－cost)＝2.∴(m－)6＝(2－)6，又Tr＋1＝C26－r(－1)rx3－r，令3－r＝2，∴r＝1，∴x2項的系數(shù)為－192.令x＝1知各項系數(shù)之和為1.略22.（14分）如圖3所示，在四面體中，已知，．是線段上一點，，點在線段上，且．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的大?。畢⒖即鸢福?/p>

解析:(Ⅰ)證明：在中，∵

∴

∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證，△PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形．在中，∵

∴

∴