高中數(shù)學(xué)北師大版2第三章推理與證明歸納與類(lèi)比 第3章1類(lèi)比推理

類(lèi)比推理1．通過(guò)具體實(shí)例理解類(lèi)比推理的意義．(重點(diǎn))2．會(huì)用類(lèi)比推理對(duì)具體問(wèn)題作出判斷．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1類(lèi)比推理閱讀教材P56內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．由于兩類(lèi)不同對(duì)象具有某些類(lèi)似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類(lèi)對(duì)象的其他特征，推斷另一類(lèi)對(duì)象也具有類(lèi)似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱(chēng)為類(lèi)比推理．類(lèi)比推理是兩類(lèi)事物特征之間的推理．類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______(填序號(hào))．①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．【解析】正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類(lèi)比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類(lèi)比，故①②③都對(duì)．【答案】①②③教材整理2合情推理閱讀教材P57內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式．合情推理的結(jié)果不一定正確．下列說(shuō)法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論．【答案】B[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問(wèn)2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小組合作型]類(lèi)比推理在數(shù)列中的應(yīng)用在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100；類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和．(1)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫(xiě)出一個(gè)更為一般的結(jié)論(不必證明)．【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類(lèi)比等差數(shù)列每隔10項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．【自主解答】(1)數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的．證明如下：∵等差數(shù)列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10eq\o(d,\s\do4(10個(gè)))＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.(2)對(duì)于任意k∈N＋，都有數(shù)列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1．本題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類(lèi)比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類(lèi)比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類(lèi)比特點(diǎn)．2．類(lèi)比推理的思維過(guò)程觀察、比較→聯(lián)想、類(lèi)推→猜測(cè)新的結(jié)論．即在兩類(lèi)不同事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似之處后，推測(cè)這兩類(lèi)事物在其他方面的相同或相似之處．[再練一題]1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．【解析】等差數(shù)列類(lèi)比于等比數(shù)列時(shí)，和類(lèi)比于積，減法類(lèi)比于除法，可得類(lèi)比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．【答案】eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)類(lèi)比推理在幾何中的應(yīng)用如圖3-1-10所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720233】圖3-1-10證明此結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論，并加以證明．【精彩點(diǎn)撥】三角形類(lèi)比四面體，三角形的邊類(lèi)比四面體的面，三角形邊上的高類(lèi)比四面體以某一面為底面的高．【自主解答】eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1.類(lèi)比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在四面體ABCD中，設(shè)ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的距離，P為該四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1.證明如下：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP-BCD,VA-BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP-ACD,VA-BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP-ABD,VA-BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-ABC,VA-BCD).∵VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC＝VA-BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC,VA-BCD)＝1.1．一般地，平面圖形與空間圖形類(lèi)比如下：平面圖形點(diǎn)線邊長(zhǎng)面積線線角三角形空間圖形線面面積體積二面角四面體2.類(lèi)比推理的一般步驟：(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論．[再練一題]2．在上例中，若△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其對(duì)角分別為A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可類(lèi)比四面體的什么性質(zhì)？【解】在如圖所示的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。孪隨＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[探究共研型]類(lèi)比推理在其他問(wèn)題中的應(yīng)用探究1魯班發(fā)明鋸子的思維過(guò)程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的．因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類(lèi)似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．你認(rèn)為該過(guò)程為歸納推理還是類(lèi)比推理？【提示】類(lèi)比推理．探究2已知以下過(guò)程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因?yàn)?n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，…22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).類(lèi)比以上過(guò)程試求12＋22＋32＋…＋n2的和．【提示】因?yàn)?n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，…23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(nn＋12n＋1,6).已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值，試寫(xiě)出雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有類(lèi)似特征的性質(zhì)，并加以證明．【精彩點(diǎn)撥】eq\x(雙曲線與橢圓類(lèi)比)→eq\x(橢圓中的結(jié)論)→eq\x(雙曲線中的相應(yīng)結(jié)論)→eq\x(理論證明)【自主解答】類(lèi)似性質(zhì)：若M，N為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n)．因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)是雙曲線上的點(diǎn)，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．1．兩類(lèi)事物能進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是兩類(lèi)對(duì)象在某些方面具備相似特征．2．進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表達(dá)的相似特征．然后，用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得到一個(gè)猜想．[再練一題]3．如圖3-1-11所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”．類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于________．圖3-1-11【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)．又因?yàn)閑q\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】eq\f(1＋\r(5),2)[構(gòu)建·體系]1．下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類(lèi)比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類(lèi)比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類(lèi)比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確．【答案】C2．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面積公式為()\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)\f(lr,2) D．無(wú)法確定【解析】扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝eq\f(lr,2).【答案】C3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______．【解析】由平面和空間的知識(shí)，可知面積之比與邊長(zhǎng)之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長(zhǎng)之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.【答案】1∶84．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類(lèi)似結(jié)論為_(kāi)_______．【解析】結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)，類(lèi)比等比數(shù)列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，則有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×95．如圖3-1-12①，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC.若類(lèi)比該命題，如圖3-1-12②，三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則可以得到什么命題？命題是否是真命題，并加以證明．①