高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式 省一等獎(jiǎng)

利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一、課前準(zhǔn)備1、課時(shí)目標(biāo)：（1）知識(shí)與技能：了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域或最優(yōu)解等概念；（2）理解線性規(guī)劃的圖解法；（3）會(huì)利用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.2、基礎(chǔ)預(yù)探：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)范圍受到一定限制，則稱變量受到約束（2）目標(biāo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，將其變化為，說明直線在軸上的截距為，若，直線越往上移，截距，目標(biāo)函數(shù)為的值就越大.（3）直線把直角坐標(biāo)平面劃分為兩部分，其中一部分（半個(gè)平面）對(duì)應(yīng)二元一次不等式，另一部分對(duì)應(yīng)二元一次不等式二、基本知識(shí)習(xí)題化1、若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、約束條件為則目標(biāo)函數(shù)（）A．無最大值有最小值B．無最小值有最大值C．無最大值和最小值D．有最大值和最小值3、有5輛6噸汽車，4輛4噸的汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為___________________4、若滿足的約束條件為要使達(dá)到最大值，則=，=___________三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1、設(shè)目標(biāo)函數(shù)為；當(dāng)時(shí)，把直線向上平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的隨之增大；把向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的隨之減少.2.、在約束條件下，當(dāng)時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)的最小值或最大值的步驟如下：=1\*GB3①作出可行域；=2\*GB3②作出直線=3\*GB3③確定的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn)；=4\*GB3④解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而取得目標(biāo)函數(shù)的最小值或最大值.四、典例導(dǎo)析：例1、給定下列命題：在線性規(guī)劃中最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的變量或的值；最優(yōu)解指的是目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值；最優(yōu)解指的是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行域；最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.其中正確命題的序號(hào)是_______________解析：因?yàn)樽顑?yōu)解是使目標(biāo)是取得最大值（或最小值）的可行解，即滿足相信約束條件的解，它是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，所以1,2,3均錯(cuò)，4正確，故選4.規(guī)律總結(jié)：解答這類有關(guān)線性規(guī)劃概念的真假判定問題，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握線性規(guī)劃的有關(guān)概念，要注意的是：線性規(guī)劃是指線性目標(biāo)函數(shù)（關(guān)于變量一次函數(shù)）在線性約束條件（關(guān)于變量的一次不等式組）下的最值問題.變式練習(xí)1、在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（包括邊界的陰影部分），目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則的一個(gè)可能值為（）A.-3B.3C.-1D.1例2、圖中陰影部分滿足不等式組求使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)的坐標(biāo).思路導(dǎo)析：畫圖將所求問題分成小區(qū)間，進(jìn)而比較得出結(jié)果.解：依題作圖，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)一定在邊界或上取得.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由1、2可知當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，所以所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為.規(guī)律總結(jié)：本解法是將二元一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性得解.變式練習(xí)2、已知變量滿足不等式組求的最大值和最小值.例3、醫(yī)院用甲、乙兩張?jiān)蠟槭中g(shù)后的病人配營(yíng)養(yǎng)餐.甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元，若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì).試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營(yíng)養(yǎng)，又使用費(fèi)最??？思路導(dǎo)析：將已知數(shù)據(jù)列成下表原料/10g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位甲510乙74費(fèi)用32設(shè)甲、乙兩種原料分別用10g和10g，則需要的費(fèi)用為；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)可表示為；同理，對(duì)鐵質(zhì)的要求可表示為，這樣，問題成為在約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最小值.解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10g和10g，總費(fèi)用為，那么目標(biāo)函數(shù)為，作出可行域如右圖.把變形為，得到斜率為，在軸上的截距為隨變化的一組平行直線.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)時(shí)，截距最小，即最小.由得，所以所以甲種原料使用，乙種原料使用時(shí)，費(fèi)用最省.規(guī)律總結(jié)：解決此問題的關(guān)鍵是將問題的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，此題通過表格將數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使問題難度大大降低..變式練習(xí)3、某工廠有一批長(zhǎng)為的長(zhǎng)形鋼材，要截成60cm和42cm兩種規(guī)格的零件毛坯，找出下料的最佳方案，并計(jì)算材料的利用率.五、隨堂練習(xí)：1、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．142、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）B.3D.53、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A．-2B．-4C．-6D．-84、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為5、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為6、設(shè)變量滿足約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最大值. 六、課后作業(yè)：1、設(shè)變量滿足約束條件則的取值范圍為（）ABCD2、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．3、設(shè)是不等式組所表示的平面區(qū)域，則中的點(diǎn)到直線距離的最大值為4、變量滿足約束條件則的取值范圍為__________5、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為？6、設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為？答案：一．（1）條件（2），越大（3），二．1C解析：依題意作圖，找到可行域，所求即為過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍。2．A解析：根據(jù)題意作出可行域，可行域無上界，即可得到答案.3.4．4,2解析：依題意作圖，找到可行域，由得作出與平行的，可得到當(dāng)直線過點(diǎn)（4,2）是，最大，所以.四．變式訓(xùn)練1：目標(biāo)函數(shù)取最小值即取最小值，目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)?，取最小值由的符?hào)決定.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得最小值，與最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)矛盾，當(dāng)時(shí)，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的斜率與的斜率相等，取最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，即，故選變式訓(xùn)練2：由題意作出可行域如圖，，可知，當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且直線往右平移時(shí)，隨之增大，在經(jīng)過不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的最大，以經(jīng)過點(diǎn)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，所以.變式訓(xùn)練3：設(shè)鋼材可截成60cm的毛坯根，42cm的毛坯根，截得毛坯的總長(zhǎng)度為，根據(jù)題意可得且，作出可行域如圖因?yàn)橐氐玫膬煞N毛坯數(shù)必須是整數(shù)，所以以的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是第一象限內(nèi)可行域與網(wǎng)格的交點(diǎn).如果直線與網(wǎng)格有交點(diǎn)，那么按交點(diǎn)坐標(biāo)的值作為下料方案，這時(shí)材料全被利用，因此這個(gè)方案是最佳方案.但由圖象可知，直線不能過網(wǎng)格的交點(diǎn)，在這種情況下，應(yīng)該找靠近直線的網(wǎng)格的交點(diǎn).當(dāng)直線的右上方的半平面內(nèi)找網(wǎng)格交點(diǎn)時(shí)，網(wǎng)格交點(diǎn)坐標(biāo)都使，這時(shí)兩種零件毛坯長(zhǎng)度的和超過了原鋼材的長(zhǎng)度，問題的最優(yōu)解不可能在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，所以下料范圍只能限制在表示的可行域內(nèi)，在直線的左半平面上找靠近直線的網(wǎng)格交點(diǎn)，得，所以鋼材截成60cm的毛坯2根，42cm的毛坯3根，材料盡管沒有完全被利用，但廢料最少，此時(shí)材料的利用率為%.所以鋼材截成60cm的毛坯2根，42cm的毛坯3根是下料的最佳方案，并且材料的利用率為%.五．解析：只需畫出線性規(guī)劃區(qū)域如圖，可知，在處取得最大值11.2.D解析：如圖，由得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即。3.D解析：作出可行域如圖，令=0，則，平移在點(diǎn)處取到最小值-8.4.解析：如圖，在處取得最小值，解得，代入得5.解析：如圖，在處取得最小值，解得，代入得6.依題意作出可行域，做直線，，即，將此直線向右上方平移，當(dāng)恰好與直線BC重合時(shí)，與原點(diǎn)的距離最大，從而，此時(shí)BC邊上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是最優(yōu)解，因此最優(yōu)解的個(gè)數(shù)有無窮多個(gè)，而它們對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的值都是135.六．1．D解析：依題意作圖，找到可行域，所求即為過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍。2.D解析：依題意作出可行域，即點(diǎn)與可行域上點(diǎn)間距離的平方，顯然長(zhǎng)度最小，所以