高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念集合（區(qū)一等獎(jiǎng)）

2．集合間的基本關(guān)系張長(zhǎng)印學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解集合之間包含與相等的含義．2．會(huì)求給定集合的子集．3．了解空集的含義．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．子集、集合相等及真子集．（1）子集文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言對(duì)于兩個(gè)集合，，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合為集合的子集．對(duì)任意元素，必有，則__________，讀作“含于”或“包含”．（2）集合相等如果集合是集合的__________（），3一集合是集合的__________，此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與2集合相等，記作__________．（3）真子集文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言如果集合是集合的__________，且在集合中__________存在一個(gè)元素不是集合的元素，我們稱(chēng)集合是集合的真子集．若集合，但存在，且，則（或）（讀作“真包含于”或“真包含”）．2．空集（1）定義：不含任何__________的集合叫做空集，記為．（2）規(guī)定：空集是任何集合的__________，即．3．題型分析（1）集合間關(guān)系的判斷；（2）兩集合相等；（3）集合間的關(guān)系及應(yīng)用．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．以下式子中，正確的個(gè)數(shù)為（）．①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．42．設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（）．A． B． C． D．3．滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)是__________．4．（1）設(shè)，，，，則與的關(guān)系為_(kāi)_________．（2），，則與的關(guān)系為_(kāi)_________．5．設(shè)，，若真包含于，則的取值范圍是__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．根據(jù)子集的定義，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出，，，，的包含關(guān)系，并用圖表示；（2）判斷正誤：①空集沒(méi)有子集． （）②空集是任何一個(gè)集合的真子集． （）③任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集． （） ④若，那么凡不屬于集合的元素，則必不屬于． （）2．符號(hào)“”與“”有何區(qū)別與聯(lián)系？3．（1）“包含于”等價(jià)于“對(duì)于任意，都有”，那么“不包含于”的等價(jià)條件是什么？若，則是由中的部分元素所組成的，這種說(shuō)法對(duì)葉綠素？（2）如果要你證明或證明，你的思路是什么？（3）若，，判斷、是否相等并說(shuō)明理由．4．思維拓展：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）．請(qǐng)分別寫(xiě)出下列集合的所有子集，寫(xiě)出的子集個(gè)數(shù)，并歸納推理出=元集合的子集個(gè)數(shù)．元素個(gè)數(shù)集合的所有子集子集的個(gè)數(shù)123……結(jié)論：的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．你能否說(shuō)出其中的道理？案例分析1．判斷下列關(guān)系是否正確：（1）；（2）；（3）已知，則．【答案】（2）（3）正確，（1）錯(cuò)誤．2．下列四個(gè)集合中，是空集的是（）．A． B．C． D．【答案】D．【解析】選項(xiàng)A的集合；選項(xiàng)B的集合；選項(xiàng)C的集合；選項(xiàng)D集合中的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以為空集．3．已知，，若，求實(shí)數(shù)的值．【解析】當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足．當(dāng)時(shí)，，由得或，即或．綜上所述，或1或．說(shuō)明：對(duì)于，不可忘記可能為空集．4．已知集合，，（1）若不成立，求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)，若集合，且與有公共元素．求實(shí)數(shù)的取值集合．【解析】（1）若成立，則，所以若不成立，則實(shí)數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值集合．（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)榕c有公共元素，所以．故實(shí)數(shù)的取取值集合為，說(shuō)明：可在數(shù)軸上畫(huà)出這些集合并觀察．三、能力提升能力闖關(guān)1．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．2．（1）已知，,，，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的集合．3．集合，，若，討論實(shí)數(shù)取值情況．拓展遷移4．設(shè)，是兩個(gè)集合，定義集合，如果，，那么等于（）．A． B．C． D．5．集合，，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，求的非空真子集個(gè)數(shù)．（3）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有元素使與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．挑戰(zhàn)極限6．已知，，求證：（1）；（2）．課程小結(jié)1．集合分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集．2．子集的概念及有關(guān)符號(hào)和性質(zhì)是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)．3．對(duì)于兩個(gè)集合與，如果集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素，同時(shí)集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素，我們就說(shuō)集合等于集合，記作．4．元集合的子集數(shù)為；非空子集數(shù)為；真子集數(shù)為，非空真子集數(shù)為．想一想1．若，則，反之，成立嗎？若，則，反之成立嗎？2．正整數(shù)集是自然數(shù)集的子集嗎？3．與相同嗎？

2．集合間的基本關(guān)系基礎(chǔ)梳理1．（1）．（2）子集、子集、．（3）子集、至少2．元素、子集基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．【解析】①⑤正確．說(shuō)明：空集是任何非空集合的真子集．是含有一個(gè)元素的集合，是不含任何元素的集合，所以，不能寫(xiě)成．2．．【解析】∵，∴，所以成立．3．．【解析】設(shè)去掉元素后形成的集合為，則問(wèn)題等價(jià)于：求滿(mǎn)足條件的集合的個(gè)數(shù)，即求的非空子集數(shù)，顯然是個(gè)．4．（1）．（2）．【解析】（1）在中，，而，故．（2），所以，故．5．．【解析】將集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，不難知道，這里尤其要注意這種極端情況．自主探究1．（1）（如右圖）；（2）只有④是正確的，其余全錯(cuò)．對(duì)于①、②來(lái)講，由規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，且是任一非空集合的真子集．對(duì)于③來(lái)講，可舉反例，空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集．對(duì)于④來(lái)講，當(dāng)時(shí)必有，則時(shí)也必有．2．元素與集合之間用屬于關(guān)系，用符號(hào)“”表達(dá)；集合與集合之間用包含關(guān)系，用符號(hào)“”表達(dá)．在判斷包含關(guān)系時(shí)，要考察其中一個(gè)集合的元素與另一個(gè)集合的屬于關(guān)系．3．【解析】（1）“不包含于”等價(jià)于“存在，但”．“若，則是由中的部分元素所組成的”這種說(shuō)法是不正確的，因?yàn)榭赡苁强占部赡苁牵?）證明，就是證明且．要證明“”，就是證明“，且存在，但”（3），下面證明．任取，則，當(dāng)時(shí)．；當(dāng)時(shí)，．∴．任取，則或，均有∴．綜上可知，．4．思維拓展：【答案】．【解析】共有個(gè)子集：；共有個(gè)子集：；共有個(gè)子集：．猜想：的子集個(gè)數(shù)為．理由：集合中每增加一個(gè)元素，其子集數(shù)恰好增加一倍，這是因?yàn)閷⒃械拿恳粋€(gè)子集添加新元素，恰好得到所有新增加的子集，子集數(shù)正好增加一倍．結(jié)論：元集合的子集個(gè)數(shù)為．能力闖關(guān)1．．【解析】設(shè)，則∴∴．2．【解析】（1）由題，．由知集合為非空集合，且其元素全屬于，即有滿(mǎn)足條件的集合為：．（2）因?yàn)?，，且，所以，即滿(mǎn)足條件的集合為：．說(shuō)明：將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求的公共元素組成集合的子集．3．【解析】，∵，∴或或或．①若，則；②若，則有兩個(gè)相等的根，∴；③若，則有等根，∴；④若，則有兩個(gè)根，∴；綜上：或．拓展遷移4．．【解析】在數(shù)軸上畫(huà)出集合所表示的數(shù)集范圍和集合表示的數(shù)集范圍，由定義，容易知道．5．【解析】（1）當(dāng)即時(shí)，，滿(mǎn)足．當(dāng)即時(shí)，要使成立，需，所以．綜上可得時(shí)，有．（2）當(dāng)時(shí)，所以，的非空真子集個(gè)數(shù)為：．（3）①