高中數(shù)學(xué)人教B版3第二章概率隨機(jī)變量的數(shù)字特征第2章

離散型隨機(jī)變量的方差1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題.(重點(diǎn))3.掌握方差的性質(zhì)以及二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1離散型隨機(jī)變量的方差的概念閱讀教材P62例1以上部分，完成下列問題.離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差名稱定義意義方差一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，叫做這個離散型隨機(jī)變量X的方差.離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的平均波動大小(或說離散程度).標(biāo)準(zhǔn)差D(X)的算術(shù)平方根eq\r(DX)叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.1.下列說法正確的有________(填序號).①離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的波動水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的波動水平.【解析】①錯誤.因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.②錯誤.因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.③錯誤.因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的波動水平，而隨機(jī)變量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正確.由方差的意義可知.【答案】④2.已知隨機(jī)變量X，D(X)＝eq\f(1,9)，則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為________.【解析】X的標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(DX)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)教材整理2二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差閱讀教材P63例2以下部分，完成下列問題.服從二點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從二點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p).若隨機(jī)變量X服從二點(diǎn)分布，且成功概率P＝，則D(X)＝________，E(X)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：62980055】【解析】E(X)＝，D(X)＝(1－＝.【答案】[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)及應(yīng)用設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽到一個，并且取出后不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù).(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩點(diǎn)撥】(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性質(zhì)求解.【自主解答】(1)X的可能取值為0,1,2.若X＝0，表示沒有取出次品，其概率為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).∴X的分布列為X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,22)＝eq\f(3,22)＋eq\f(9,88)＋eq\f(9,88)＝eq\f(15,44).(2)Y的可能取值為1,2,3，顯然X＋Y＝3.法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq\f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq\f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq\f(6,11)，∴Y的分布列為Y123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)E(Y)＝1×eq\f(1,22)＋2×eq\f(9,22)＋3×eq\f(6,11)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2×eq\f(1,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2×eq\f(6,11)＝eq\f(15,44).法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝eq\f(15,44).1.由本例可知，利用公式D(aX＋b)＝a2D(X)及E(aX＋b)＝aE(X)＋b來求E(Y)及D(Y)，既避免了求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程.2.若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，若X服從二點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)，其中p為成功概率，應(yīng)用上述性質(zhì)可大大簡化解題過程.[再練一題]1.為防止風(fēng)沙危害，某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝3，D(X)＝eq\f(3,2)，求n，p的值.【解】由題意知，X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，∴p＝eq\f(1,2)，n＝6.求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求E(ξ)和D(ξ).【精彩點(diǎn)撥】首先確定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，進(jìn)而求出E(ξ)和D(ξ)的值.【自主解答】ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了.則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對了，即對號入座，則P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以，ξ的分布列為ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1；D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法1.已知分布列型(非二點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布)：直接利用定義求解，具體如下，(1)求均值；(2)求方差.2.已知分布列是二點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，具體如下，(1)若X服從二點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p).3.未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況.4.對于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解.[再練一題]2.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ).【解】這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.D(ξ)＝(6－2×eq\f(7,15)＋(9－2×eq\f(7,15)＋(12－2×eq\f(1,15)＝.[探究共研型]期望、方差的綜合應(yīng)用探究1A，B兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123PB機(jī)床次品數(shù)X20123P試求E(X1)，E(X2).【提示】E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？【提示】不能.因?yàn)镋(X1)＝E(X2).探究3在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A、B兩臺機(jī)床加工質(zhì)量？【提示】利用樣本的方差.方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為,3a，a,，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為,,.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).【精彩點(diǎn)撥】(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列.(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值.【自主解答】(1)由題意得：＋3a＋a＋＝1，解得a＝.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為,,.所以乙射中7環(huán)的概率為1－＋＋＝.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987Pη10987P(2)由(1)得：E(ξ)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；E(η)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；D(ξ)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝；D(η)＝(10－2×＋(9－2×＋(8－2×＋(7－2×＝.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高.2.在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論.[再練一題]3.甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等.兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P乙保護(hù)區(qū)：Y012P試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.【解】甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝；D(X)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＋(3－2×＝.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(Y)＝0×＋1×＋2×＝；D(Y)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＝.因?yàn)镋(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高.[構(gòu)建·體系]1.設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則ξ的方差D(ξ)等于() (1－m)(m－1) (1－m)【解析】隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m).【答案】D2.已知X的分布列為X－101P則D(X)等于() 【解析】E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝×(－1＋2＋×(0＋2＋×(1＋2＝.【答案】B3.有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，則自動包裝機(jī)________的質(zhì)量較好.【導(dǎo)學(xué)號：62980056】【解析】因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包裝機(jī)的質(zhì)量穩(wěn)定.【答案】乙4.一批產(chǎn)品中，次品率為eq\f(1,3)，現(xiàn)連續(xù)抽取4次，其次品數(shù)記為X，則D(X)的值為________