北京北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

北京北大附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C2.已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－1,0)

B．(－1,+∞)

C．(－2,0)

D．(－2,－1)

參考答案：A3.已知，則函數(shù)在區(qū)間(1，2)上存在一個(gè)零點(diǎn)的概率為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.函數(shù)f（x）=lnx+ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C．（1，e） D．（e，+∞）參考答案：A考點(diǎn)： 二分法求方程的近似解．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 函數(shù)f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f（x）最多只有一個(gè)零點(diǎn)．再利用函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理即可判斷出．解答： 解：函數(shù)f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f（x）最多只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x→0+時(shí)，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函數(shù)f（x）=lnx+ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的實(shí)部為（

）A.3 B.-3 C.2 D.-2參考答案：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部為3，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.7.函數(shù)，在區(qū)間上任取一點(diǎn)，則的概率為（）．A.

B.C.

D.參考答案：A8.已知向量滿足（

）參考答案：C略9.現(xiàn)有4張卡片，正面分別標(biāo)有1，2，3，4，背面完全相同．將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽取一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標(biāo)有偶數(shù)的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】甲獲勝是指甲第一次抽取偶數(shù)或甲第一次抽到奇數(shù)，同時(shí)乙第一次也抽到奇數(shù)，由此能求出甲獲勝的概率．【解答】解：甲獲勝是指甲第一次抽取偶數(shù)或甲第一次抽到奇數(shù)，同時(shí)乙第一次也抽到奇數(shù)，∴甲獲勝的概率是P==．故選：D．10.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求得當(dāng)時(shí)，的解析式，然后求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，從而求得切線方程.【詳解】因?yàn)?，，，，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為．參考答案：3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x﹣y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可轉(zhuǎn)換成y=2x﹣z，z最大時(shí)，y值最小，即：當(dāng)直線z=2x﹣y過(guò)點(diǎn)A（3，3）時(shí)，在y軸上截距最小，此時(shí)z取得最大值3．故答案為：3．12.已知直線（為常數(shù)）與函數(shù)及函數(shù)的圖象分別相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)________。參考答案：13.（幾何證明選做題）如圖所示，圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn)，BC=3,過(guò)C作圓的切線，則點(diǎn)A到直線的距離AD=

.參考答案：略14.已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.參考答案：略15.已知正數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，令t=2x+y，化為y=﹣2x+t，數(shù)形結(jié)合求得t的最大值，進(jìn)一步求得的最小值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，2）．令t=2x+y，化為y=﹣2x+t，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣2x+t過(guò)A時(shí)，t有最大值為4．∴的最小值為．故答案為：．16.執(zhí)行圖2的程序框圖，若p＝0.8，則輸出的n＝＿＿＿參考答案：417.已知正的邊長(zhǎng)為，那么的平面直觀圖的面積為_(kāi)____

.參考答案：.解析：

的面積三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝＋6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．

(1)求m、n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；（6分）(2)若a>0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．（6分）參考答案：21.(1)由函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分則g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分當(dāng)x變化時(shí)，，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由此可得：當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無(wú)極小值；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無(wú)極值；當(dāng)1<a<3時(shí)，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無(wú)極大值；

略19.（12分）在平行四邊形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P．（1）若=（2，5），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)||=||時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡．參考答案：考點(diǎn)： 軌跡方程；平行向量與共線向量．專題： 綜合題；平面向量及應(yīng)用．分析： （1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量相等即可得出；（2）利用三點(diǎn)共線可得斜率關(guān)系，再利用模相等即可得出．解答： 解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），D（a，b），則C（a+b，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共線，得①，由C，P，M共線，得②由①②化簡(jiǎn)得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化簡(jiǎn)得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量相等、三點(diǎn)共線可得斜率關(guān)系、模相等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足,數(shù)列中，,.（Ⅰ）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求證：.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列求和D4（1）（2）（1）由，得當(dāng)時(shí)，即（由題意可知）是公比為的等比數(shù)列，而，由，得（2），設(shè)，則由錯(cuò)位相減，化簡(jiǎn)得：（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）由，得可求；（2））數(shù)列為差比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求解即可.21.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若g（x）≤|x﹣2|+b對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求g（x）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若g（x）≤|x﹣2|+b對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，…（6分）可知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減…（8分）∴g（x）max=g（1）=1．…（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．22.已知橢圓的離心率為，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解（1）由已知，所以，所以所以

……1分

又由過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為