高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用（省一等獎）

二分法求方程的近似解一、課前準備1．課時目標（1）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解（2）了解二分法的產(chǎn)生過程，掌握二分法求方程近似解得過程和方法。（3）通過對二分法的學(xué)習(xí)，進一步體會算法思想在解決問題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用。2．基礎(chǔ)預(yù)探1、一般地，我們把稱為區(qū)間的中點。2、所謂二分法，就是對于在區(qū)間上且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個斷點逐步逼近，進而得到零點的近似值的方法。3、給定精確度，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟如下：（1）確定，驗證，給定；（2）求區(qū)間；（3）計算；①若，則就是函數(shù)的零點；②若，則令（此時零點）③若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值（或）；否則重復(fù)（2）~（4）。4、求函數(shù)的零點的近似值時，所要求的不同，得到的結(jié)果也不相同，精確度，是指在計算過程中得到某個區(qū)間后，若，即認為達到所要求的精確度，否則應(yīng)繼續(xù)計算，直到為止。二、基本知識習(xí)題化1.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上（）.A.至少有一個零點B.只有一個零點C.沒有零點D.至多有一個零點2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是（）.3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）.A.B.C.D.4.用二分法求方程在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實根，由計算器可算得，，，那么下一個有根區(qū)間為.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1、變號零點與不變號零點的概念（1）變號零點：如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，如果函數(shù)圖象通過零點時穿過軸，則稱這樣的零點為變號零點。（2）不變號零點：如果曲線上存在一點，使，但沒有穿過軸，則稱這樣的零點為不變號零點。2、判斷一個函數(shù)在給定的區(qū)間的零點如果函數(shù)在給定區(qū)間上是連續(xù)不間斷的且在兩個端點處的函數(shù)值滿足那么該函數(shù)在給定區(qū)間上至少存在一個變號零點。若，是否就不存在變號零點呢？例如：在上，，但是與都是函數(shù)的變號零點。3、二分法的基本思想如果將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值，為了方便，通過“取中點”，不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值。4、二分法求零點近似值的步驟已知函數(shù)在定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點的近似值，使它滿足給定的精確度，步驟如下：第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中。第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標為。計算和判斷：（1）如果，則就是函數(shù)的零點，計算終止；（2）如果，則零點位于區(qū)間內(nèi)，令；（3）如果，則零點位于區(qū)間內(nèi)，令；第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標為。計算和判斷：（1）如果，則就是函數(shù)的零點，計算終止；（2）如果，則零點位于區(qū)間內(nèi)，令；（3）如果，則零點位于區(qū)間內(nèi)，令；……繼續(xù)上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止，這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度。四、典例導(dǎo)析1、利用二分法求函數(shù)的近似零點例1、求方程的一個實數(shù)解，精確到。思路導(dǎo)析：考察函數(shù)，從一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間開始，應(yīng)用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間。解析：經(jīng)試算，，，∴函數(shù)在內(nèi)存在零點，即方程在內(nèi)有解。取的中點1，經(jīng)計算，，又，∴方程在內(nèi)有解。如此下去，得到方程的實數(shù)解所在區(qū)間如下表所示，至此可以看出，在區(qū)間內(nèi)所有值，若精確到，都是，故是方程精確到的實數(shù)解。左端點右端點第1次02第2次01第3次1第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次第11次規(guī)律總結(jié)：二分法求方程實數(shù)解的思想是非常簡明的，但是為了提高解的精確度，用二分法求方程實數(shù)解的過程又是比較長的，有些計算不用工具甚至無法實施，這就需要借助科學(xué)計算器等。變式練習(xí)1、求方程在區(qū)間［2，3］內(nèi)的近似解（精確到）.2．二分法的應(yīng)用例2、在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一點要爬一次電線桿子，長，大約有200多根電線桿子呢！想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？分析：可用二分法原理進行查找。解析：如圖所示，他首先從中點查，用隨身帶的話機向兩端測試時，若發(fā)現(xiàn)段正常，斷定故障在段；再到段的中點，這時發(fā)現(xiàn)段正常，可見故障在段；再到中點來查。這樣每查一次，就可以把待查的線路長度縮減一半，故經(jīng)過7次查找，即可將故障發(fā)生的范圍縮小到之間，即一兩根電線桿附近。閘門閘門指揮部待查規(guī)律總結(jié)：這種檢查線路故障的方法，就是二分法的應(yīng)用，二分法不僅可以查找電線線路、水管、氣管故障，還能用于實驗設(shè)計、資料查詢等。變式練習(xí)2、函數(shù)在上存在一個零點，則的取值范圍是（）A、B、C、D、或五、隨堂練習(xí)1、下面關(guān)于二分法的敘述,正確的是A.用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值B.用二分法求方程的近似解時,可以精確到小數(shù)點后的任一位C.二分法無規(guī)律可循,無法在計算機上完成D.只有在求函數(shù)零點時才用二分法2、下列圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求函數(shù)零點的是

3、函數(shù)在上存在一個零點，則的取值范圍是（）A、B、C、D、或4、用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)計算，可得其中一個零點，第二次應(yīng)計算。以上橫線應(yīng)填的內(nèi)容為：5、已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對應(yīng)值表：x123456y123．5621．45-7．8211．45-53．76-128．88則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1，6］上的零點至少有6、用二分法求方程在區(qū)間的一個實數(shù)（精確到）.六、課后作業(yè)1、定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,已知函數(shù)在區(qū)間上有一個零點,且,用二分法求時,當時,則函數(shù)的零點是A.外的點

B.C.區(qū)間或內(nèi)的任意一個實數(shù)

D.或2、若方程在內(nèi)恰有一解，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.3、已知函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,判斷下列結(jié)論,正確的是______.①若,則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)有且僅有一個零點

②若,則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)可能有零點③若在內(nèi)有零點,必有④若,則函數(shù)在內(nèi)有零點

⑤若,則函數(shù)在內(nèi)有零點4、當?shù)姆秶鸀闀r，方程有兩個實根且在區(qū)間上有且只有一個實根.5、作出函數(shù)與的圖象，并寫出方程的近似解.（精確到）.6、求函數(shù)的一個為正數(shù)的零點（精確到）.分析：由于要求的是函數(shù)的一個正數(shù)零點，因此可以考慮首先確定一個包含正數(shù)的閉區(qū)間，而，所以可取區(qū)間作為計算的初始區(qū)間.二分法求方程的近似解答案解析一、課前準備2．基礎(chǔ)預(yù)探1、2、單調(diào)，連續(xù)，，，中點3、（略）4、精確度，區(qū)間左右斷點精確到e索取的近似值相同，達到精確度二、基本知識習(xí)題化1.解析：根據(jù)二分法，可知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上至多有一個零點。2.解析：由二分法求零點的方法，所以B圖不能用二分法求近似解。3.解析：由，，即，故選B。4.解析：根據(jù)二分法的規(guī)則，下一個有根區(qū)間為，即。四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1、解：設(shè)f（x）=x+-3，則f（2）＝－＜0，f（3）＝＞0，取區(qū)間（2，3）的中點，求得f（）=＜0，∴f（）f（3）＜0，∴x0∈（，3）；取區(qū)間（，3）的中點x2=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x3=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x4=，求得f（）≈＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x5=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x6=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x7=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點x8=，求得f（）≈>0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）.此時區(qū)間（，）的兩個端點精確到的近似值都是，∴方程x+-3=0在區(qū)間［2，3］內(nèi)精確到的近似解為.2、分析：判斷函數(shù)在某一區(qū)間上存在一個零點，只需要即可，故本題只要解不等式，故答案：D.五、隨堂練習(xí)1、解析：二分法只能求解變號零點問題，故A不正確；二分法是一種算法問題，可利用計算機操作，故C不正確；二分法可解決一些實際問題，故D不正確；由二分法的可知，B是正確的。2、解析：二分法只能解決變號零點問題，故A不能使用二分法。3、分析：判斷函數(shù)在某一區(qū)間上存在一個零點，只需要即可，故本題只要解不等式，故答案：D.4、答案：解析：在二分法中應(yīng)用進行驗證。5、答案：3個解析：根據(jù)二分法，可知，所以應(yīng)該至少有三個零點。6、解析：設(shè)，∵，∴在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，取為初始運算區(qū)間，用二分法計算列表如下：端點（中點）坐標中點函數(shù)值符號取值區(qū)間∵∴所求根的近似值為六、課后作業(yè)1、解析：由可知，在區(qū)間內(nèi)存在零點，又得。2、解析：由題意，設(shè)，得，解得，故選B3、答案：②⑤解析：根據(jù)二分法解決零點問題時，只有②⑤是正確的。4、解析：根據(jù)函數(shù)的零點的概念及二分法得，設(shè)，∴，即，解得.5、解析