隨機(jī)變量及其分布(,)課件

第二章隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征§2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念在許多隨機(jī)試驗(yàn)中,擲一顆骰子,任選一個(gè)人,記錄某交叉路口在一批燈泡中任取一個(gè),發(fā)射炮彈,試驗(yàn)的基本結(jié)果例如:觀察其點(diǎn)數(shù).測(cè)量其身高.在任意一個(gè)小時(shí)內(nèi)通過的車輛數(shù).測(cè)其使用壽命.記錄彈著點(diǎn)與目標(biāo)的距離.可以用一個(gè)數(shù)表示.有些隨機(jī)試驗(yàn)，例如,Ω={正面,反面}于是事件

“硬幣出現(xiàn)反面”就表示為雖然其結(jié)果但通過適當(dāng)?shù)囊?guī)定，令ω=“反面”ω=“正面”就表示為沒有直接表現(xiàn)為數(shù)量,拋擲一枚硬幣一次,“硬幣出現(xiàn)正面”也可以用數(shù)量表示.拋擲一枚硬幣,反正,事件“反反反正”直到首次出現(xiàn)正面為止.正,反反正,反反反正,反反反反正,令X為則的取值范圍為就表示為樣本空間為拋擲的次數(shù),取的是二等品;事件“取出合格品”在26個(gè)英文字母中,事件“取到B”,任取一件.一批產(chǎn)品,其中有優(yōu)質(zhì)品,二等品,廢品,取的是廢品取的是優(yōu)質(zhì)品;令ω=“取出優(yōu)質(zhì)品”ω=“取出二等品”ω=“取出廢品”就表示為或任取一個(gè).將26個(gè)英文字母編成號(hào).用表示.即定義2.1某一隨機(jī)試驗(yàn)的如果對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)樣本空間,這樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)棣傅姆Q之為隨機(jī)變量.有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),例如,令ω=“反面”ω=“正面”Ω={正面,反面}，為隨機(jī)變量.實(shí)值函數(shù)拋擲一枚硬幣,設(shè)Ω為金融為隨機(jī)變量.擲一顆骰子,令“擲出1點(diǎn)”“擲出2點(diǎn)”“擲出6點(diǎn)”金融隨機(jī)變量通常用大寫英文字母小寫英文字母在一天中任選一個(gè)時(shí)刻,記錄下當(dāng)時(shí)的氣溫.任一時(shí)刻的氣溫為隨機(jī)變量.有時(shí)也用小寫希臘字母等表示,表示具體的實(shí)數(shù)值.隨機(jī)變量也記為某氣象站用X表示,ξ,η等表示.隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量后，任選一個(gè)同學(xué),是一個(gè)定義在樣本空間上的函數(shù).它與微積分中所討論的函數(shù)試驗(yàn)中的各種事件就可以用隨機(jī)變量的取值來表達(dá).例如:“身高不超過1.7米”

測(cè)量其身高則

有所不同.“身高1.75米”

“沒有收到呼叫”又如,一個(gè)公共汽車站，表示在單位時(shí)間內(nèi)收到的此時(shí),“收到不少于一次呼叫”用表示,表示某元件的壽命,則“壽命在200小時(shí)和1000小時(shí)之間”每隔5分鐘有一輛車通過,乘客在一個(gè)隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)該站,是一個(gè)隨機(jī)變量.該乘客的侯車時(shí)間“等車時(shí)間不超過2分鐘.”呼叫次數(shù),某電話交換臺(tái)隨機(jī)變量的分類:隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量非離散非連續(xù)型隨機(jī)變量例可以統(tǒng)一表示為有3個(gè)次品,從中任取2個(gè),其中的次品數(shù)為是隨機(jī)變量.的取值范圍是10個(gè)產(chǎn)品中二、離散型隨機(jī)變量的概率分布定義2.2離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是如“取到次品的個(gè)數(shù)”、“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”、

“某電話交換臺(tái)其取值在數(shù)軸上只可能取有限個(gè)如果隨機(jī)變量或可數(shù)無窮多個(gè)值,離散型隨機(jī)變量.則稱是它的所有取值可以逐個(gè)一一列舉出來.是有限個(gè)點(diǎn)或一列離散的點(diǎn).任一小時(shí)內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”.定義2.3稱(2.1)式它的一切可能設(shè)X取值為且取各個(gè)值的概率為的概率分布,的分布.有時(shí)也寫成X的概率分布為簡(jiǎn)稱記也可以用列表法表示：是離散型隨機(jī)變量,證(1)概率分布的性質(zhì)：1.非負(fù)性2.歸一性例已知求c.解隨機(jī)變量X的取值范圍為且求p.解其中例已知隨機(jī)變量X的取值范圍為所有正偶數(shù)，且例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，例相互獨(dú)立.規(guī)則是：投中后命中率為就停止投籃，“此人投籃設(shè)表示求的概率分布.設(shè)表示“第

次投中籃框”，解的次數(shù)”，或投了4次后某人投籃，或?yàn)榕紨?shù)若離散型的概率分布為則對(duì)于集合的任一子集事件

“在中取值”,即“”的概率為定義只有兩種對(duì)立結(jié)果如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)這樣的試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn).如：從中隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),抽取的結(jié)果只有兩個(gè):一批產(chǎn)品的次品率為正品或次品抽到次品抽到正品拋擲一枚硬幣一次,出正面結(jié)果只有兩個(gè):或出反面.出正面出反面一射手的命中率為他射擊一次,結(jié)果只有兩個(gè):擊中或沒擊中.擊中沒擊中相應(yīng)的概率模型稱為貝努利概型.從而可以把試驗(yàn)歸結(jié)為雖然不只兩種，有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果但如果我們僅關(guān)心事件A是否發(fā)生，則可以把A作為一個(gè)結(jié)果，把

作為對(duì)立的結(jié)果.貝努利試驗(yàn).設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件發(fā)生的概率為令X表示只有兩種對(duì)立結(jié)果：“A發(fā)生”對(duì)于貝努利試驗(yàn)，與“A不發(fā)生”一次貝努利試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)事件A發(fā)生的概率為則事件發(fā)生的概率為則即A不發(fā)生A發(fā)生稱X服從0—1分布.例從中隨機(jī)抽取一個(gè)抽到正品抽到次品用X表示即X服從0—1分布.抽到的次品的個(gè)數(shù)，一批產(chǎn)品，抽取一次，次品率為拋擲一枚硬幣一次,出正面出反面出正面X服從0—1分布.一射手的命中率為他射擊一次,擊中沒擊中他射擊一次，擊中的次數(shù).用X表示的次數(shù),用X表示X服從0—1分布.拋硬幣一次,即即例一般地,即具有離散均勻分布.編號(hào)為隨機(jī)取一個(gè)設(shè)對(duì)應(yīng)的號(hào)碼為則的概率分布為若的概率分布是則稱將26個(gè)英文字母字母,如擲一顆骰子五支簽中有一支“好簽”,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)具有離散均勻分布.五個(gè)人依次抽取,不放回,表示第

個(gè)人抽到“好簽”設(shè)服從離散均勻分布.三、分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)是：其取值范圍是有限集但有些隨機(jī)變量是非離散的,列集.其概率分布可用列表法表示:它的取值可能是或可區(qū)間內(nèi)的一切值.某一定義2.4例如,設(shè)

是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則任意一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)是記為定義2.4設(shè)

是稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).任意一個(gè)隨機(jī)變量,又如,電臺(tái)每到整點(diǎn)報(bào)時(shí),某人午覺醒來,X為他打開收音機(jī),他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間.[)[)記為解設(shè)服從0-1分布例求的分布函數(shù).例求的分布函數(shù).解已知隨機(jī)變量X的概率分布為證（1）隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是

的即時(shí),（2）即單調(diào)不減函數(shù).時(shí),隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有如下性質(zhì):是

的即時(shí),單調(diào)不減函數(shù).至多有可數(shù)多個(gè)間斷點(diǎn),且在其間斷點(diǎn)處,即對(duì)任何實(shí)數(shù)有是右連續(xù)的,任一隨機(jī)變量都滿足以上性質(zhì),反之,任一滿足以上性質(zhì)的函數(shù),都可作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).的分布函數(shù)是

的