2021-2022學(xué)年湖南省婁底市增橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省婁底市增橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.交通管理部門(mén)為了解機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員（簡(jiǎn)稱(chēng)駕駛員）對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）A．101 B．808 C．1212 D．2012參考答案：B【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)甲社區(qū)有駕駛員96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，然后求出樣本容量，從而求出總?cè)藬?shù)．【解答】解：∵甲社區(qū)有駕駛員96人，在甲社區(qū)中抽取駕駛員的人數(shù)為12∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=樣本容量為12+21+25+43=101∴這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為=808故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分層抽樣，分層抽樣是最經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)抽樣問(wèn)題，這種題目一般出現(xiàn)在選擇或填空中，屬于基礎(chǔ)題．2.已知直線l：y=kx與橢圓C：交于A、B兩點(diǎn)，其中右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，再由橢圓的性質(zhì)可得c＞b，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到所求范圍．【解答】解：由AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運(yùn)用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及離心率公式和弦長(zhǎng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)參考答案：D略4.設(shè){是小于的正整數(shù)}，，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D5.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（其中i為虛數(shù)單位，a∈R），則z的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式，求出復(fù)數(shù)的虛部．【解答】解：==，∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，∴6﹣a=0，∴z=2i，∴z的虛部為2，故選：A6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的N=4，那么輸出的S=（）A．1+B．1+C．1+D．1+參考答案：B考點(diǎn)：程序框圖．專(zhuān)題：圖表型．分析：由程序中的變量、各語(yǔ)句的作用，結(jié)合流程圖所給的順序可知當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到條件不能滿(mǎn)足時(shí)輸出最后算出的S值，由此即可得到本題答案．解答：解：根據(jù)題意，可知該按以下步驟運(yùn)行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此時(shí)k=5時(shí)，符合k＞N=4，輸出S的值．∴S=1+++故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及表格法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．8.下列四個(gè)關(guān)系：①0∈{0}；②??{0}；③{0，1}?{（0，1）}；④{（a，b）}={（b，a）}．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B考點(diǎn)： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；元素與集合關(guān)系的判斷．分析： 利用元素與集合的關(guān)系要用∈或?，集合與集合的關(guān)系要用?、?等可逐一判斷得到答案．解答： 解：∵0是{0}中的元素，∴0∈{0}，即①正確．∵?是任何集合的子集，即??{0}，∴②正確．∵{0，1}含有兩個(gè)元素是數(shù)0和1，而{（0，1）}只含有一個(gè)元素是點(diǎn)（0，1），即{0，1}和{（0，1）}含有的元素屬性不一樣，∴③不正確．∵{（a，b）}含有一個(gè)元素為點(diǎn)（a，b），而{（b，a）}含有一個(gè)元素為點(diǎn)（b，a），（a，b）與（b，a）是不相同的點(diǎn)，∴{（a，b）}≠{（b，a）}，即④不正確．故選B．點(diǎn)評(píng)： 采用逐一判斷的方法是解決這類(lèi)問(wèn)題的通法．9.已知cos（θ+π）=﹣，則sin（2θ+）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】二倍角的余弦．【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知可得cosθ=，由誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值．【解答】解：∵cos（θ+π）=﹣，∴可得cosθ=，∴sin（2θ+）=cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故選：B．10.（文科）有5名班委進(jìn)行分工，其中A不適合做班長(zhǎng)，B只適合作學(xué)習(xí)委員，則不同的分工方案種數(shù)為A．18

B．24

C．60

D．48參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（，1]【考點(diǎn)】特稱(chēng)命題．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由x＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉(zhuǎn)化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），求出切點(diǎn)和斜率，設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，當(dāng)x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù)；畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0時(shí)，使得f（t）＜kt恒成立；作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），則由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）的圖象相切于點(diǎn)（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），則有k=1，由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，以及與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切時(shí)，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范圍是（，1]．故答案為：（，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了存在性命題與全稱(chēng)性命題的互相轉(zhuǎn)化問(wèn)題以及不等式恒成立的問(wèn)題，是較難的題目．12.函數(shù)f(x)=sin(x+)的最小正周期為．參考答案：6【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】直接利用周期公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為T(mén)==6，故答案為6．13.

若，且，則參考答案：答案：714.高三（2）班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，63，依編號(hào)順序平均分成8組，組號(hào)依次為1，2，3，…，8．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為8的樣本，若在第一組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，則在第6組中抽取的號(hào)碼為

．參考答案：45【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】先求出分組間隔為，再由在第一組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，能求出在第6組中抽取的號(hào)碼．【解答】解：高三（2）班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，63，依編號(hào)順序平均分成8組，組號(hào)依次為1，2，3，…，8．分組間隔為，∵在第一組中隨機(jī)抽取的號(hào)碼為5，∴在第6組中抽取的號(hào)碼為：5+5×8=45．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本號(hào)碼的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.若函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從1減少到﹣1，則=

．參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】由題意可得，函數(shù)的周期為2×（﹣）=π，求出ω=2．再由sin（2?+φ）=1，可得φ=，從而得到函數(shù)的解析式，從而求得的值．【解答】解：由題意可得，函數(shù)的周期為2×（﹣）=π，即=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再由sin（2?+φ）=1，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴=sin（+）=cos=，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．16.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)楣仕栽谏系耐队盀?17.已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且，若和的面積分別為，則的最小值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知.(1) 求角B的大小;（2）若,求b的取值范圍參考答案：解:(1)由已知得

即有

因?yàn)?所以,又,所以,又,所以.(2)由余弦定理,有.因?yàn)?有.又,于是有,即有.略19.已知函數(shù)f（x）=（其中a≤2且a≠0），函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過(guò)點(diǎn)（3，0）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=a+2﹣x﹣的圖象在（0，2]有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，對(duì)a分類(lèi)討論、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）等價(jià)方程在（0，2]只有一個(gè)根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個(gè)根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)．由，對(duì)a分類(lèi)討論、結(jié)合圖象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切線過(guò)點(diǎn)（3，0），∴b=2a，∴，①當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，②當(dāng)a∈（﹣∞，0）時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．（2）等價(jià)方程在（0，2]只有一個(gè)根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個(gè)根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價(jià)函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，∴①當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）在x∈（0，1）遞減，x∈（1，2]的遞增，當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→+∞，要函數(shù)h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，h（x）在遞增，的遞減，x∈（1，2]遞增，∵，當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→﹣∞，∵h(yuǎn)（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在與x軸只有唯一的交點(diǎn)，③當(dāng)a=2，h（x）在x∈（0，2]的遞增，∵h(yuǎn)（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]與x軸只有唯一的交點(diǎn)，故a的取值范圍是a=﹣1或或0＜a≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，

AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系空間中的垂直關(guān)系G4G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD，由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PC