數(shù)列通項公式 前n項和求法總結(jié) 全

nn一.列通項公式求法結(jié)：定義——直利用等差或等比數(shù)列的定義求通項。特征：適應(yīng)于已知數(shù)列類型（等差或者等比例1等差數(shù)列列前n和為n

且a13

9

成等比數(shù)列，Sa5

2求5數(shù)列式n變式練習(xí)：1.等差數(shù)列

a4,a,求式72.等比數(shù)列{}n

中

a21

,且

2

為1

和a3

的等差中項求數(shù)列{}n

的首項比及前公式

項和.求數(shù)列n

n

可用公式an

1nn

求解。特征：已知數(shù)列的前項和S

與a

的關(guān)系例2.已知下列兩數(shù)列{}

的前n項和的公式，求{}

的通項公式。（1）

n

。（2）snn

2

變式練習(xí)：21n21n1.知數(shù)列{}n

的前n項和為

n

S

n

=2n﹡{}n

滿足a

n

=4log

2

bn

+3，n∈N﹡.求

n

，bn

。2.知數(shù)列{}n

的前n項和n2

2

（kN

*

且S最大值為，試定常n數(shù)k并求n

。3.知數(shù)列

項和n

n

2

2

，nN

求數(shù)列式。由遞式數(shù)列通項法類型1

特征：遞推公式為

af()nn對策：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

n

(nn

，利用累加法求解。例3.已數(shù)n

，

n

1

，求

n

。變式練習(xí)：1.知數(shù)列{}n

滿足

n

ann

，求數(shù)列{}n

的通項公式。2.已知數(shù)列：

求通項公式類型2

特征：遞推公式為a

n

f()a

n對策：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為nn

f(

，利用累乘法求解。例4.已數(shù)n1

，a

，求

n

。變式練習(xí)：aa1.已知數(shù)列，n1

n

n，求項公式。nn2.設(shè)1正項數(shù)列，且n

2

a

（n

=13，…求數(shù)列的通項公式是an類型3特：推公式為

n

pan

（其中均為常數(shù)）對策造法消去把原遞推公式轉(zhuǎn)化為由

n

pan

得n

n

n2)兩式相減并整理得np,an

構(gòu)成數(shù)列n2

為首項，以p為公比的等比數(shù)列出

n

n

再轉(zhuǎn)化為類型（累加法）便可求出a.例5.已數(shù)n1

，a

n

2an

，求a

n

.變式練習(xí)：1.列}滿a=1，a1

n

n

,求數(shù)列{}通項公式。2.已知數(shù)列

a

=1，a

n

an

.明

公式。類型4特征：遞推公式為a

n

pa(nn

（其中p為常數(shù)）對策用構(gòu)造法消去p）兩同時除以pn可得到

af(n)pnnpn

，令n，n則b

f()pn

，再轉(zhuǎn)化為類型1（累加法出b

之后得pn

n

bn例6已知數(shù)列{}滿足an

n

2an

，求數(shù)列{}n

的通項公式。，11bn，11bn變式練習(xí)：知數(shù)列n1

，an

n

a

n

(n2)

求a

n

．二.列的前n項和的求法總結(jié)公式（1）等差數(shù)列n和：Sn（2）等比數(shù)列n和：

na)nnad22q=1時，Sna1例1.已x3

2

，求x

2

3

n

的前項和變式練習(xí)：1.設(shè)等比數(shù)列項和為.已知6,6a求a和S.232.設(shè){}n

是等差數(shù)列，n

是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，a211

，a135

。（1）求

n

，n

；（2）求數(shù)列{}的前和S。an錯位減①若數(shù)列列列列nn

就要采用此法.②將數(shù)列n

項分別乘以然在錯位相減，進(jìn)可得到數(shù)列nn

n

項和.例2.求3

2

4

3

……nx

n

的和變式練習(xí)：1.已知數(shù)列n

的前n項和為

n

,且S

n

=

,n﹡,數(shù)列

滿足4logbnn(1)求,b;nn

n∈N﹡.(2)求數(shù)列n

項和T.n2.若公比為c的等比數(shù)列n

，且滿足n

an

n(n3,4,...)2

。（1）求的值）求數(shù)列{}n倒序加

的前n項和

n如果一個數(shù)列兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把n正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：a1n

n

...把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。例3.

已f(x)

x1

，f(1)(2)

111()21111()21變式練習(xí)：1.求

231022223102

的和．2.21223值裂項消一般地數(shù)列的通項

a

c()(an)2

,為常往往可將a變1n成兩項的差，采用裂項相消法求和可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項：設(shè)a

an

an

，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得

cb

，從而可得=().()()()an12212常用裂項形式有：①

；②nnnn

1(nn

；③

11()k22

，

111kk2(kkk

；④

11[n(nnn(n(2)

]

；⑤nn)

nnn111nb11111nb11例4.求數(shù)列變式練習(xí)：

，，，…，…前項和1n(n1.數(shù)列a}中，a

12n

又

n

n

n

求數(shù)列的前n項的n和2.比數(shù)列為正，且2aa232(I)求數(shù)列式(II)設(shè)blogan32n分組和

求數(shù)列的項和.有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可一般兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.例5.求數(shù)列24816

n

，

的前

項和

．變式練習(xí)：1.求數(shù)列

1,L27

的前n

項和2.若數(shù)列式a2n