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工程測(cè)量測(cè)量誤差的基本知識(shí)第一頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日第六章測(cè)量誤差的基本知識(shí)6-1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差測(cè)量結(jié)果不可避免地存在誤差!產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因1.測(cè)量?jī)x器2.觀測(cè)者3.外界條件觀測(cè)條件等精度觀測(cè)非等精度觀測(cè)測(cè)量錯(cuò)誤(粗差)步步有檢核按影響性質(zhì)分類1.系統(tǒng)誤差2.偶然誤差第二頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-1測(cè)量誤差概述系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè),若誤差的大小及符號(hào)表現(xiàn)出系統(tǒng)性,或按一定的規(guī)律變化,那么這類誤差稱為系統(tǒng)誤差水準(zhǔn)儀的i角;水準(zhǔn)尺的零點(diǎn)差;水準(zhǔn)尺的傾斜;…水平角觀測(cè)中的2C;豎直角觀測(cè)中的x;…鋼尺量距中的尺長(zhǎng)誤差;溫度影響;垂曲;定線不準(zhǔn);拉力不準(zhǔn);…處理辦法?1.檢校儀器,把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。2.加改正數(shù),在觀測(cè)結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)。3.采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法,使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。第三頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-1測(cè)量誤差概述系統(tǒng)誤差偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè),若誤差的大小及符號(hào)都表現(xiàn)出偶然性,這類誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。就單個(gè)偶然誤差而言,其大小和符號(hào)都沒有規(guī)律性,呈現(xiàn)出隨機(jī)性,但就其總體而言卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,而且,隨著觀測(cè)次數(shù)的增加,偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律愈加明顯。例如:對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角,三角形內(nèi)角和的誤差(=三角形內(nèi)角測(cè)量值-180o
)其結(jié)果如表5-1,圖5-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差i的規(guī)律。第四頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-1測(cè)量誤差概述偶然誤差表6-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)
誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差總數(shù)
Δ" KK/nKK/nKK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 440.12312~1517 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014110.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000第五頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特征1.有限性:在有限次觀測(cè)中,偶然誤差小于一定的限值。2.漸降性:誤差小的出現(xiàn)的概率大
3.對(duì)稱性:絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等4.抵償性:當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí),偶然誤差的平均值趨于零。第六頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差7
-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=
K/n
頻率直方圖第七頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差當(dāng)n∞,Δ0時(shí),頻率直方圖上部的折線變成了一條光滑的曲線,稱為正態(tài)分布密度曲線或高斯曲線高斯根據(jù)偶然誤差的四個(gè)特性推導(dǎo)出該曲線的方程式為:式中σ為與觀測(cè)條件有關(guān)的參數(shù)第八頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)
怎樣來(lái)衡量一組等精度觀測(cè)值的精度?頻率直方圖能否用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字來(lái)反映誤差分布情況?平均誤差方差標(biāo)準(zhǔn)偏差(中誤差)當(dāng)n有限時(shí),所求均為估值,測(cè)量中常用m來(lái)表示σ的估值,并稱之為中誤差第九頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè)觀測(cè)值lΔΔ2觀測(cè)值lΔΔ21180°00ˊ03"+39180°00ˊ00"002180°00ˊ02"+24179°59ˊ59"-113179°59ˊ58"-24180°00ˊ07"+7494179°59ˊ56"-416180°00ˊ02"+245180°00ˊ01"+11180°00ˊ01"+116180°00ˊ00"00179°59ˊ59"-117180°00ˊ04"+416179°59ˊ52"-8648179°59ˊ57"-39180°00ˊ00"009179°59ˊ58"-24179°59ˊ57"-3910180°00ˊ03"+39180°00ˊ01"+11Σ||
2472
24130
第十頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)第十一頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差相對(duì)誤差例:用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離,量距的中誤差都是±2cm,但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的為此,可用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式(稱為“相對(duì)誤差”)來(lái)描述觀測(cè)的質(zhì)量,K=|m|/D=1/(D/|m|)前者的相對(duì)中誤差為K1=0.02/200=1/10000后者則為K2=0.02/40=l/2000
第十二頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差相對(duì)誤差極限誤差在一定的觀測(cè)條件下,偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定限值,這個(gè)限值就是極限誤差Δ限=3σ≈3m偶然誤差的容許值:|Δ容|=2σ≈2m第十三頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理未知量不可能直接觀測(cè),但是一些直接觀測(cè)量的函數(shù),怎樣計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)的中誤差?和差函數(shù)的中誤差設(shè)有:Z=X±Y則有:ΔZ=ΔX±ΔY設(shè)想對(duì)X,Y都進(jìn)行了n次觀測(cè),則有:平方求和得:[ΔZ2]=[ΔX2]±2[ΔXΔY]+[ΔY2]即:mZ2=mX2+mY2=〉若有:Z=X1±X2±…±Xn則:mZ2=mX12+mX22+…+mXn2第十四頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差例1:水準(zhǔn)測(cè)量時(shí),一站的高差為h=a-bmh2=ma2+mb2,設(shè)ma=ma=1mm,則:mh=1.4mm兩次高差之差(變儀器高或雙面尺法)Δ=h1-h2則:mΔ2=mh12+mh22,mΔ=2mm。綜合取mΔ=3mm
Δ限=2mΔ=6mm例2:求閉合水準(zhǔn)測(cè)量路線的閉合差fh容∑h=h1+h2+…+hn則:m∑
h2=mh12+mh22+…+mhn2設(shè)每一測(cè)站的觀測(cè)條件相同,測(cè)站中誤差為m=6mm則:m∑
h2=nm2;
第十五頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有:Z=kX則有:ΔZ=kΔX即:mZ2=k2mX2
mZ=kmXnnXkZXkZXkZD=DD=DD=DL2211第十六頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差設(shè)有:Z=k1X1±k2X2
±…±knXn則有:
mZ2=k12mX12+k22mX22+…+kn2mXn2例3:距離丈量,獨(dú)立的進(jìn)行了n次,一次丈量的中誤差為m,求算術(shù)平均值的中誤差M第十七頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理一般函數(shù)的中誤差設(shè)有:Z=F(x1,x2
,…,xn)第十八頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-3誤差傳播定理一般函數(shù)的中誤差例4:測(cè)距三角高程h=S·sinV,S=1000m±5mm,V=10o±30”,求高差h的中誤差mhSvhD解:h=S·sinV則有dh=sinV·dS+S·cosV·dV=12.0mm第十九頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值
設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè),其真值為X,其觀測(cè)值分別為l1
,l2,…
,ln
,相應(yīng)的真誤差為Δ1
,Δ2,…
,Δn
,則根據(jù)偶然誤差的第四特征,有
當(dāng)n有限時(shí),通常取算術(shù)平均值作為等精度觀測(cè)值的最可靠值第二十頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值算術(shù)平均值
結(jié)論:一組等精度觀測(cè)值的改正數(shù)之和一定為零,即[v]=0觀測(cè)值的改正數(shù)我們把算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差,定義觀測(cè)值的改正數(shù)vi=L-li第二十一頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值算術(shù)平均值觀測(cè)值的改正數(shù)用觀測(cè)值的改正數(shù)來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差Δi=li-Xvi=L-liΔi+vi=L-X=〉Δi=(L-X)-vi平方后求和得:[ΔΔ]=n(L-X)2-2(L-X)[v]+[vv]第二十二頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值次序觀測(cè)值l改正數(shù)vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11L=123.452040第二十三頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念現(xiàn)有三組觀測(cè)值,均為等精度觀測(cè)A組:123.34,123.39,123.35;LA=123.360B組:123.31,123.30,123.39,123.32;LB=123.333
C組:123.34,123.38,123.35,123.39,123.32;LC=123.356第二十四頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念顯然有:觀測(cè)值LA,LB,LC的權(quán)分別為pA,pB,pC權(quán)只有相對(duì)意義第二十五頁(yè),共二十八頁(yè),2022年,8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念權(quán)與中誤差的關(guān)系
設(shè)每次丈量的中誤差為m,則可以用誤差傳播定理求出每組平均值的中誤差同理:權(quán)與中誤差的平方成反比!把權(quán)等于1的中誤差
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