工程測(cè)量測(cè)量誤差的基本知識(shí)

工程測(cè)量測(cè)量誤差的基本知識(shí)第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日第六章測(cè)量誤差的基本知識(shí)6-1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差測(cè)量結(jié)果不可避免地存在誤差！產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因1．測(cè)量?jī)x器2．觀測(cè)者3．外界條件觀測(cè)條件等精度觀測(cè)非等精度觀測(cè)測(cè)量錯(cuò)誤(粗差)步步有檢核按影響性質(zhì)分類1．系統(tǒng)誤差2．偶然誤差第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-1測(cè)量誤差概述系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè)，若誤差的大小及符號(hào)表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定的規(guī)律變化，那么這類誤差稱為系統(tǒng)誤差水準(zhǔn)儀的i角;水準(zhǔn)尺的零點(diǎn)差；水準(zhǔn)尺的傾斜；…水平角觀測(cè)中的2C;豎直角觀測(cè)中的x;…鋼尺量距中的尺長(zhǎng)誤差;溫度影響；垂曲；定線不準(zhǔn)；拉力不準(zhǔn)；…處理辦法?1.檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。2.加改正數(shù)，在觀測(cè)結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)。3.采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-1測(cè)量誤差概述系統(tǒng)誤差偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下作一系列觀測(cè)，若誤差的大小及符號(hào)都表現(xiàn)出偶然性，這類誤差稱為偶然誤差或隨機(jī)誤差。就單個(gè)偶然誤差而言，其大小和符號(hào)都沒有規(guī)律性，呈現(xiàn)出隨機(jī)性，但就其總體而言卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,而且,隨著觀測(cè)次數(shù)的增加,偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律愈加明顯。例如：對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差(=三角形內(nèi)角測(cè)量值-180o

）其結(jié)果如表5-1，圖5-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差i的規(guī)律。第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-1測(cè)量誤差概述偶然誤差表6-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)

誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差總數(shù)

Δ" KK/nKK/nKK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 440.12312~1517 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014110.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特征1.有限性：在有限次觀測(cè)中，偶然誤差小于一定的限值。2.漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大

3.對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等4.抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的平均值趨于零。第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差7

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

K/n

頻率直方圖第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日5-1測(cè)量誤差概述偶然誤差當(dāng)n∞，Δ0時(shí)，頻率直方圖上部的折線變成了一條光滑的曲線，稱為正態(tài)分布密度曲線或高斯曲線高斯根據(jù)偶然誤差的四個(gè)特性推導(dǎo)出該曲線的方程式為：式中σ為與觀測(cè)條件有關(guān)的參數(shù)第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

怎樣來(lái)衡量一組等精度觀測(cè)值的精度？頻率直方圖能否用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字來(lái)反映誤差分布情況？平均誤差方差標(biāo)準(zhǔn)偏差（中誤差）當(dāng)n有限時(shí)，所求均為估值，測(cè)量中常用m來(lái)表示σ的估值，并稱之為中誤差第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè)觀測(cè)值lΔΔ2觀測(cè)值lΔΔ21180°00ˊ03"+39180°00ˊ00"002180°00ˊ02"+24179°59ˊ59"-113179°59ˊ58"-24180°00ˊ07"+7494179°59ˊ56"-416180°00ˊ02"+245180°00ˊ01"+11180°00ˊ01"+116180°00ˊ00"00179°59ˊ59"-117180°00ˊ04"+416179°59ˊ52"-8648179°59ˊ57"-39180°00ˊ00"009179°59ˊ58"-24179°59ˊ57"-3910180°00ˊ03"+39180°00ˊ01"+11Σ||

2472

24130

第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差相對(duì)誤差例：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認(rèn)為兩者的精度是相同的為此，可用觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比的形式（稱為“相對(duì)誤差”）來(lái)描述觀測(cè)的質(zhì)量，K=|m|/D＝1／(D/|m|)前者的相對(duì)中誤差為K1=0.02／200＝1／10000后者則為K2=0.02／40＝l／2000

第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差相對(duì)誤差極限誤差在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定限值，這個(gè)限值就是極限誤差Δ限=3σ≈3m偶然誤差的容許值:|Δ容|=2σ≈2m第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理未知量不可能直接觀測(cè)，但是一些直接觀測(cè)量的函數(shù)，怎樣計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)的中誤差？和差函數(shù)的中誤差設(shè)有：Z=X±Y則有：ΔZ=ΔX±ΔY設(shè)想對(duì)X,Y都進(jìn)行了n次觀測(cè)，則有：平方求和得：[ΔZ2]=[ΔX2]±2[ΔXΔY]+[ΔY2]即：mZ2=mX2+mY2=〉若有：Z=X1±X2±…±Xn則：mZ2=mX12+mX22+…+mXn2第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差例1：水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，一站的高差為h=a-bmh2=ma2+mb2,設(shè)ma=ma=1mm,則:mh=1.4mm兩次高差之差（變儀器高或雙面尺法）Δ=h1-h2則:mΔ2=mh12+mh22,mΔ=2mm。綜合取mΔ=3mm

Δ限=2mΔ=6mm例2：求閉合水準(zhǔn)測(cè)量路線的閉合差fh容∑h=h1+h2+…+hn則：m∑

h2=mh12+mh22+…+mhn2設(shè)每一測(cè)站的觀測(cè)條件相同，測(cè)站中誤差為m=6mm則：m∑

h2=nm2;

第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)有：Z=kX則有：ΔZ=kΔX即：mZ2=k2mX2

mZ=kmXnnXkZXkZXkZD=DD=DD=DL2211第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理和差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差設(shè)有：Z=k1X1±k2X2

±…±knXn則有：

mZ2=k12mX12+k22mX22+…+kn2mXn2例3：距離丈量，獨(dú)立的進(jìn)行了n次，一次丈量的中誤差為m，求算術(shù)平均值的中誤差M第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理一般函數(shù)的中誤差設(shè)有：Z=F(x1，x2

，…，xn）第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-3誤差傳播定理一般函數(shù)的中誤差例4：測(cè)距三角高程h=S·sinV，S=1000m±5mm,V=10o±30”,求高差h的中誤差mhSvhD解：h=S·sinV則有dh=sinV·dS+S·cosV·dV=12.0mm第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值

設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè)，其真值為X，其觀測(cè)值分別為l1

，l2，…

，ln

，相應(yīng)的真誤差為Δ1

，Δ2，…

，Δn

，則根據(jù)偶然誤差的第四特征，有

當(dāng)n有限時(shí)，通常取算術(shù)平均值作為等精度觀測(cè)值的最可靠值第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值算術(shù)平均值

結(jié)論：一組等精度觀測(cè)值的改正數(shù)之和一定為零，即[v]=0觀測(cè)值的改正數(shù)我們把算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，定義觀測(cè)值的改正數(shù)vi=L-li第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值算術(shù)平均值觀測(cè)值的改正數(shù)用觀測(cè)值的改正數(shù)來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差Δi=li-Xvi=L-liΔi+vi=L-X=〉Δi=(L-X)-vi平方后求和得：[ΔΔ]=n(L-X)2-2(L-X)[v]+[vv]第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-4等精度直接觀測(cè)值的最可靠值次序觀測(cè)值l改正數(shù)vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11L=123.452040第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念現(xiàn)有三組觀測(cè)值，均為等精度觀測(cè)A組：123.34,123.39,123.35；LA=123.360B組：123.31,123.30,123.39,123.32;LB=123.333

C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32;LC=123.356第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念顯然有：觀測(cè)值LA,LB,LC的權(quán)分別為pA,pB,pC權(quán)只有相對(duì)意義第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日6-5權(quán)權(quán)的概念權(quán)與中誤差的關(guān)系

設(shè)每次丈量的中誤差為m，則可以用誤差傳播定理求出每組平均值的中誤差同理：權(quán)與中誤差的平方成反比!把權(quán)等于1的中誤差