工程水文水文第四章統(tǒng)計(jì)

工程水文水文第四章統(tǒng)計(jì)第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、枯水問題設(shè)計(jì)頻率P>50%(水庫興利調(diào)節(jié)）T=（年）例：P=80%T=1/0.2=5年含義：小于等于這樣的枯水平均5年遇到一次。例：某水庫設(shè)計(jì)洪水的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為百年一遇，在連續(xù)

5年內(nèi)不發(fā)生超標(biāo)準(zhǔn)洪水的可能性為多少？=0.95第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

第五節(jié)水文頻率計(jì)算適線法適線法（配線法）是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定適線原則下，給這些經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)選配一條擬合最好的理論頻率曲線。并優(yōu)選參數(shù)。其實(shí)質(zhì)是通過樣本的經(jīng)驗(yàn)分布去探討總體的分布。采用理論頻率曲線的原因：經(jīng)驗(yàn)頻率曲線計(jì)算量小，繪制簡單查用方便。但受實(shí)測資料限制，往往難以滿足工程設(shè)計(jì)要求因?yàn)樵谒挠?jì)算中，常需推求p=1%或p=0.1%,甚至更稀遇的設(shè)計(jì)值，而實(shí)測值只有幾十年。必須將經(jīng)驗(yàn)頻率曲線外延。為避免外延的任意性，常借助于理論頻率曲線。適線法主要有兩大類：目估適線法優(yōu)化適線法第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日一、目估適線法用目估方法選配一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合良好的理論頻率曲線具體步驟：1、將實(shí)測資料由大到小排序，計(jì)算各項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率2、選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜三型）3、假定一組參數(shù)（可用矩法或其他方法求出三個(gè)參數(shù)值作為第一次假定值）第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日4、由計(jì)算不同的P對應(yīng)的值5、點(diǎn)繪點(diǎn)據(jù)，分析人員憑經(jīng)驗(yàn)判斷調(diào)整參數(shù)，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況若不理想，則修改參數(shù)再次計(jì)算。由于頻率曲線含有三個(gè)參數(shù)，無法同時(shí)判斷哪種組合最優(yōu)修改參數(shù)時(shí)，先考慮改變其次考慮改變必要時(shí)調(diào)整6、根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，選出一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。為避免修改參數(shù)的盲目性，需了解對頻率曲線的影響第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日二、統(tǒng)計(jì)參數(shù)對頻率曲線的影響1、均值若不變（1）均值大的頻率曲線位于均值小的頻率曲線之上（2）均值大的頻率曲線比頻率小的曲線陡第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、變差系數(shù)為消除均值的影響，以模比系數(shù)k為變量越大，說明隨機(jī)變量相對于均值越離散增大，有使整個(gè)頻率曲線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的作用第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日3、變陡，下段邊平，中段變低。若不變，則當(dāng)增大，將使頻率曲線上段第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日某站有實(shí)測洪峰資料21年，總體分布選定為型根據(jù)該資料用矩法初選參數(shù)配線，并推求百年一遇的洪峰流量第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日假定=2由=0.5,第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日

在通常情況下，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)分布較有規(guī)律時(shí)，均值的調(diào)整一般在5%以下，不宜超過10%，變差系數(shù)的調(diào)整幅度約為15%--30%。

適線時(shí)要注意：（1）盡可能照顧全部點(diǎn)據(jù)分布趨勢，照顧多數(shù)點(diǎn)據(jù)，使頻率曲線通過點(diǎn)據(jù)中心。當(dāng)點(diǎn)據(jù)較散亂時(shí)，對洪水可適當(dāng)照顧上部和中部點(diǎn)據(jù)。（2）分析經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的精度（包括它們的橫、縱坐標(biāo)），使曲線盡量接近或通過比較可靠的點(diǎn)據(jù)。(3)歷史洪水，特別是為首的少數(shù)幾個(gè)歷史洪水，一般精度較差，適線時(shí)，不宜機(jī)械地通過這些點(diǎn)據(jù)，而使頻率曲線脫離點(diǎn)據(jù)群，但也不能不照顧點(diǎn)據(jù)，使曲線離這些特大值過遠(yuǎn)。第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日目估適線法的缺點(diǎn)：(1)適線成果往往因人而異，難以避免主觀任意性(2)在一張頻率格紙上要求同時(shí)優(yōu)選三個(gè)參數(shù)較困難，采用經(jīng)驗(yàn)比值，有時(shí)很難從水文現(xiàn)象本身去解釋。第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日二、優(yōu)化適線法優(yōu)化適線是在一定的適線原則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的參數(shù)的方法優(yōu)化適線擬合最優(yōu)的準(zhǔn)則：離差平方和最小（一）、離差平方和最小準(zhǔn)則第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日根據(jù)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)極值原理，這樣的參數(shù)必滿足方程組如果它存在的話，則最小二乘最優(yōu)解一般是存在的。函數(shù)。第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日由于目標(biāo)函數(shù)對參數(shù)的非線性，方程組對參數(shù)也是非線性的，不可能直接求出顯式參數(shù)解，一般采用迭代法，求近似數(shù)值解。（二）、離差絕對值最小準(zhǔn)則這時(shí)要估計(jì)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值。由于上述目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，無法對它求導(dǎo)數(shù)，以至無法采用分析方法構(gòu)造一個(gè)合理的迭代程序來求解參數(shù)，常用搜索法。（三）、相對離差平方和最小準(zhǔn)則這時(shí)適線的目標(biāo)函數(shù)為：第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日尋優(yōu)過程可采用迭代法。

上述三種適線準(zhǔn)則，主要的差別在于對誤差規(guī)律的不同考慮。離差平方和最小法的基本假定是誤差方差是均勻的，假定誤差方差不隨觀測值而變化。

但是，系列誤差隨其量值而變化，并不符合上述假定，而且在頻率計(jì)算中，大洪水，尤其是少數(shù)歷史洪水點(diǎn)據(jù)誤差最大，與頻率曲線的偏離最大，再經(jīng)平方，這些點(diǎn)據(jù)的離差在整個(gè)目標(biāo)函數(shù)中起的作用也大，影響設(shè)計(jì)洪水的計(jì)算精度。

絕對值和最小準(zhǔn)則的基本假定是，絕對值誤差不隨系列而變，也遷就了大洪水，但其影響不及上法。

相對離差平方和最小準(zhǔn)則的基本假定是系列相對誤差不變。這個(gè)假定較前兩假定更符合實(shí)際資料條件?？色@得較好的精度。第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日第六節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)分析的概念

前面分析的只是一種隨機(jī)變量的變化規(guī)律。自然界中常遇到兩種或兩種以上的隨機(jī)變量，這些變量之間存在一定的聯(lián)系。相關(guān)分析：研究兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系1、水文相關(guān)分析的目的和任務(wù)

建立二隨機(jī)變量X，Y或多個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)線（圖形）或相關(guān)方程，利用所建立的關(guān)系進(jìn)行資料插補(bǔ)或展延，提高資料的代表性，增加水文計(jì)算成果的可靠性。2、相關(guān)的種類

根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量間的關(guān)系有3種情況（1）完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）：兩變量X、Y一一對應(yīng)，給定一個(gè)X值，有一個(gè)完全確定的Y值與之對應(yīng)例：Y=AX第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日（2）零相關(guān)2變量之間互不影響，相關(guān)點(diǎn)據(jù)雜亂無章或完全獨(dú)立（成水平線）第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日（3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)若變量之間的關(guān)系既不屬于完全相關(guān)，也不是零相關(guān)，介于完全相關(guān)和零相關(guān)之間。水文上比較常見的是統(tǒng)計(jì)相關(guān)。第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日

統(tǒng)計(jì)關(guān)系的點(diǎn)據(jù)繪在坐標(biāo)紙，能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)據(jù)有些散亂，但有明顯的趨勢?？捎脠D或數(shù)學(xué)方程近似表示?？梢允侵本€，也可以是曲線。研究2個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，稱為簡相關(guān)，在水文中常見研究3個(gè)或3個(gè)以上變量的相關(guān)關(guān)系------復(fù)相關(guān)按相關(guān)圖形可分為：直線相關(guān)非直線相關(guān)第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日3．相關(guān)分析的內(nèi)容

（1）判斷變量之間是否存在相關(guān)（2）確定相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和相關(guān)的密切程度（3）插補(bǔ)延長倚變量，并作誤差分析。二、簡單直線相關(guān)1、相關(guān)圖解法第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日由圖，二者之間有直線變化趨勢。通過點(diǎn)群中部畫一直線，這條直線有一重要特點(diǎn)：通過

圖解法直觀簡便，但缺乏相關(guān)程度的判斷，此外，目估定線存在一定的任意性，為精確起見，最好采用計(jì)算方法。2、相關(guān)計(jì)算法（分析法）用回歸方程求解，結(jié)果比較統(tǒng)一。第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日建立回歸方程第一步：確定線型——直線，

x1，x2，…，xny1，y2，…，ynxi，yi——表示相關(guān)變量x（自變量）、y（倚變量）的實(shí)測值第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日y=a+bx,a,b為待定參數(shù)。任取一點(diǎn)，觀測點(diǎn)與回歸方程在縱坐標(biāo)上的離差為第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日根據(jù)最小二乘原理，求出一條與所有點(diǎn)據(jù)的縱離差的平方和最小欲使上式取得極小值,可分別對a,b求一階導(dǎo)數(shù)第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2相關(guān)系數(shù)第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)r,表示2變量間關(guān)系的密切程度。

y倚x的回歸方程若由y求x，則用x倚y的回歸方程第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日注意：由回歸方程所定的回歸線，只是觀測資料平均關(guān)系的配合線，觀測點(diǎn)不會完全落在回歸線上。第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日三、相關(guān)分析的誤差1、回歸線的誤差回歸線僅是觀測點(diǎn)據(jù)的最佳配合線，回歸線只反映2變量間的平均關(guān)系，利用回歸線插補(bǔ)展延系列時(shí)，總有一定的誤差，為衡量回歸線與觀測點(diǎn)之間的誤差大小，一般采用均方誤表示。同理，x倚y回歸線的均方誤注意：Sy與Y的均方差在性質(zhì)上是不同的Sy是觀測點(diǎn)與回歸線之間的離差求得的觀測點(diǎn)與它的均值之間的離差求得的n:系列項(xiàng)數(shù)n-2:自由度第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日

按照誤差原理，可能取值Yi落在回歸線兩側(cè)一個(gè)均方誤范圍內(nèi)的概率為68.27%，落在三個(gè)均方誤范圍內(nèi)的概率為99.7%第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗(yàn)（1）相關(guān)系數(shù)r：表示2變量間相關(guān)密切程度的一個(gè)指標(biāo)a.若表示（Xi，Yi）均落在回歸線上X，Y為函數(shù)關(guān)系。完全相關(guān)。b.

達(dá)到最大，Y與X毫無直線關(guān)系，為零相關(guān)c.

越接近1，Sy越小，點(diǎn)據(jù)越接近回歸直線，r為正，為正相關(guān)，r為負(fù)表負(fù)相關(guān)第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日

樣本的相關(guān)系數(shù)存在抽樣誤差，因此，即使總體不相關(guān)，樣本的相關(guān)系數(shù)并不都為0，而是一個(gè)以0為中心的正態(tài)分布。第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日

相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)是由有限的實(shí)測樣本資料計(jì)算出來的，當(dāng)抽樣誤差很大時(shí)，可能把總體不相關(guān)的2變量，錯(cuò)誤地認(rèn)為是相關(guān)的，為推斷2變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，需對樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。r的檢驗(yàn)是在一定信度水平下進(jìn)行的，信度以概率形式給出對于給定的樣本容量n值，可算出臨界的相關(guān)系數(shù)則有很大的把握認(rèn)為總體是相關(guān)的，犯錯(cuò)誤的可能性為信度水平的選定，一般隨所研究的問題而異，多采用5%，有時(shí)用1%。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，已制成不同n和所對應(yīng)的值供查用。第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日例：某站有1932年至1965年的年降雨資料，及該站1954年至1965年年徑流資料，試作相關(guān)分析。步驟：1、分析2者之間在成因上是否有聯(lián)系2、判斷相關(guān)形式3、建立相關(guān)方程4、根據(jù)公式計(jì)算方程參數(shù)及相關(guān)系數(shù)5、計(jì)算回歸線的均方誤6、對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行可靠性檢驗(yàn)7、利用建立的方程進(jìn)行年徑流資料的展延第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日四、直線回歸的擴(kuò)充

有些水文現(xiàn)象間的關(guān)系，并不表現(xiàn)為直線關(guān)系。而具有曲線相關(guān)的形式。如：Z-Q，A-Qm.有些簡單的曲線形式，可通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，仍能用直線相關(guān)法進(jìn)行計(jì)算。對于冪函數(shù)：等式兩邊取對數(shù)可得：lgy=lga+blgx令Y=lgy和X=lgx，則Y=c+bX,式中c=lga對于指數(shù)函數(shù)：等式兩邊取對數(shù)：lgy=lga+bxlge令lgy=Y,lga=c,blge=d,X=x,Y=c+dX這樣就可對新變量作直線回歸分析了。五、復(fù)相關(guān)

以上討論的只是2個(gè)變量間的相關(guān)，其中倚變量只