高中數(shù)學(xué)北師大版第三章三角恒等變形 校賽得獎(jiǎng)

26二倍角的三角函數(shù)1時(shí)間：45分鐘滿分：80分班級(jí)________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．計(jì)算1－°的結(jié)果等于()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),3)\f(\r(3),2)答案：B解析：1－°＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).2．設(shè)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，則sin2θ＝()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(1,9)\f(1,9)\f(7,9)答案：A解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，∴sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),3)，兩邊平方得1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，∴sin2θ＝－eq\f(7,9).3．當(dāng)cos2α＝eq\f(\r(2),3)時(shí)，sin4α＋cos4α的值為()\f(13,18)\f(11,18)\f(7,9)D．1答案：B解析：由cos2α＝eq\f(\r(2),3)?(cos2α－sin2α)2＝eq\f(2,9)?sin4α＋cos4α＝eq\f(2,9)＋2sin2αcos2α＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,2)sin22α＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))2))＝eq\f(11,18).4．函數(shù)f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分別為()A．－3,1B．－2,2C．－3，eq\f(3,2)D．－2，eq\f(3,2)答案：C解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，∴sinx＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝eq\f(3,2)，sinx＝－1時(shí)，f(x)min＝－3，故選C.5．已知α為銳角，且滿足cos2α＝sinα，則α等于()A．30°或270°B．45°C．60°D．30°答案：D解析：因?yàn)閏os2α＝1－2sin2α，故由題意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因?yàn)棣翞殇J角，所以sinα＝eq\f(1,2)，所以α＝30°.故選D.6．銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足tanA－eq\f(1,sin2A)＝tanB，則有()A．sin2A－cosB＝B．sin2A＋cosB＝C．sin2A－sinB＝D．sin2A＋sinB＝答案：A解析：∵△ABC為銳角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴又A＋B＞eq\f(π,2)，A＞eq\f(π,2)－B，∴cosA＜sinB.∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．°°＝________.答案：－eq\f(\r(2),4)解析：°°＝°·(－°)＝－eq\f(1,2)sin45°＝－eq\f(\r(2),4).8．coseq\f(π,5)coseq\f(2,5)π的值是__________．答案：eq\f(1,4)解析：原式＝eq\f(1,2sin\f(π,5))·2sineq\f(π,5)coseq\f(π,5)coseq\f(2π,5)＝eq\f(1,4sin\f(π,5))·2sineq\f(2π,5)coseq\f(2,5)π＝eq\f(1,4sin\f(π,5))sineq\f(4,5)π＝eq\f(1,4).\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是__________．答案：eq\r(3)解析：原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．解析：(1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0，?taneq\f(x,2)＝2，∴tanx＝eq\f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)原式＝eq\f(cos2x－sin2x,\r(2)\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinxsinx)＝eq\f(cosx－sinxcosx＋sinx,cosx－sinxsinx)，由(1)知cosx－sinx≠0，所以上式＝eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝cotx＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋1＝eq\f(1,4).11．設(shè)T＝eq\r(1＋sin2θ).(1)已知sin(π－θ)＝eq\f(3,5)，θ為鈍角，求T的值；(2)已知cos(π－θ)＝m，且eq\f(π,2)<θ≤eq\f(3π,4)，求T的值.解析：(1)由sin(π－θ)＝eq\f(3,5)，得sinθ＝eq\f(3,5)，∵θ為鈍角，∴cosθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，T＝eq\r(1－\f(24,25))＝eq\f(1,5).(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ為鈍角，∴cosθ＝－eq\r(1－m2)，T＝eq\r(1＋2sinθcosθ)＝|sinθ＋cosθ|，∵eq\f(π,2)<θ≤eq\f(3π,4)時(shí)，sinθ＋cosθ>0，∴T＝sinθ＋cosθ＝m－eq\r(1－m2).12．若eq\f(3π,2)＜α＜2π(α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π)))且cosα＝eq\f(1,4).求eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α))的值．解析：∵eq\f(3π,2)＜α＜2π，∴eq\f(3π,4)＜eq\f(α,2)＜π.又∵cosα＝eq\f(1,4)，∴coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\f(\r(10)