金屬塑性成形基本工序的力學分析及主應力法演示

金屬塑性成形基本工序的力學分析及主應力法第一頁，共二十四頁。

由于接觸面上摩擦力的存在，正應力的分布是不均勻的，需要利用應力平衡微分方程、應力應變關系式、變形連續(xù)方程和塑性條件等聯立求解。但是，這種數學解析法計算十分復雜，用一般的解析方法求解是非常困難的，甚至是不可能的。只有在某些特殊情況下或將實際問題進行一些簡化后，對于平面問題和軸對稱問題才能求解。因此，為解決變形力的實際問題，需要引進各種假設以簡化聯立方程，主應力法（也稱工程法或切塊法）就是在此基礎上建立起來的一種近似求解方法。第二頁，共二十四頁。§3、1主應力法的基本原理

為了使問題得以簡化，主應力法主要采用以下基本假設：1、屈服準則的簡化假設工具與坯料的接觸表面為主平面或者為最大剪應力平面。以鐓粗為例，即是接觸面上的摩擦剪應力或者視為零，或者視為最大值，這樣平面變形問題的Mises屈服準則就簡化為：或則：第三頁，共二十四頁。

2、力平衡微分方程的簡化力平衡微分方程簡化，將變形過程近似地視為平面問題或軸對稱問題，并假設法向應力與一個坐標軸無關，因此微分平衡方程不僅可以減少，而且可將偏微分該為常微分。以平面變形條件下的矩形件壓縮為例，其Z軸方向不變形，則變形力的平衡微分方程為：第四頁，共二十四頁。由于Z軸方向不變形，所以有：故：如假設剪應力在y方向上呈線性分布，則：第五頁，共二十四頁。并且設與y軸無關（即在坯料厚度上，是均勻分布的），則：這樣，力平衡方程簡化為：第六頁，共二十四頁?；蛘呖梢詮淖冃误w上截取微元體，進行受力分析建立力平衡方程，有：金屬流動方向鐓粗方向xσyexexdxτσyσyτσxσx+dσxσyeh則：（顯然，上式也是假設在y方向均勻分布。）第七頁，共二十四頁。3、接觸表面摩擦規(guī)律的簡化

接觸表面的摩擦多采用近似關系：其中為屈服剪應力。第八頁，共二十四頁。4、變形區(qū)幾何形狀的簡化

根據所取坐標系以及變形特點，把變形區(qū)的幾何形狀作簡化處理。

如平錘下鐓粗時，側表面始終保持與接觸面垂直關系等。

5、其他假設

如將變形區(qū)材料視為均勻、各向同性，變形均勻，剪應力在坯料厚度或半徑方向線性分布，某些數學近似處理等。

第九頁，共二十四頁。（1）平衡方程

（2）幾何方程

（3）物理方程

彈性：塑性：

1）增量理論

3）全量理論

2）應力應變速率方程

求解問題所應用的方程：第十頁，共二十四頁。（4）邊界條件

物體外表面為S，Sd和St分別表示位移和外力

位移給定值外力給定值（5）補充方程

1）屈服準則

2）連續(xù)方程

3）塑性變形體積不變

（有3+3個方程）同一平面內不同平面內第十一頁，共二十四頁。一、主應力法的基本原理

1、根據實際變形區(qū)的情況，將問題簡化為軸對稱問題或平面問題，這樣聯立方程中的塑性條件就比較簡單。對于形狀復雜的變形體，可以根據金屬流動情況，將它劃分為若干形狀簡單的部分，每一部分分別按照軸對稱問題或平面問題求解。第十二頁，共二十四頁。2、切取基元體。根據金屬流動方向，沿變形體整個截面切取一個包含接觸面的基元體，或沿變形體部分截面切取含有邊界條件已知的表面在內的基元體。假設在接觸面上有正應力和切應力（摩擦力），設在切面上有與一個坐標軸無關且為均勻分布的正應力為主應力，在研究基元體平衡方程時，方程數目減少的同時，得到的還是常微分方程，大大降低了計算難度。第十三頁，共二十四頁。3、假定工具與金屬接觸面上的邊界條件為：正應力為主應力，切應力（摩擦力）服從庫侖摩擦條件或常摩擦條件。4、忽略各坐標平面上的切應力和摩擦切應力對塑性條件的影響，列出基元體的塑性條件，然后與簡化的平衡微分方程聯立求解，利用邊界條件確定積分常數，得出接觸面上的應力分布，進而求得變形力。第十四頁，共二十四頁?！?、2鐓粗變形

例題1:

在水平模具間鐓粗長矩形截面的鋼坯，寬度為、高度為、長度為，且長度遠遠大于寬度。若接觸面上摩擦為常摩擦，即（為材料屈服應力）。試用主應力法推導接觸面上的單位壓力和成形力。第十五頁，共二十四頁。解：1、切取基元體，受力分析，如右圖所示。2、列向受力平衡方程：

化簡得：………（１）

3、由Tresca屈服準則（忽略），

其中：；第十六頁，共二十四頁。所以：…………（２）

將式（２）代入式（１）中，得：

…………（３）４、將摩擦條件代入式（３），并積分，得：…………（４）當時，，。所以，積分常數得：…………（5）第十七頁，共二十四頁。5、求接觸面上的正應力

將（5）代入（4）中，得接觸面上的正應力：6、求總變形力和單位壓力第十八頁，共二十四頁。鐓粗一圓柱體，側面作用有均布壓應力，如圖所示。設摩擦切應力滿足常摩擦條件，即（為材料屈服應力）。試用主應力法推導接觸面上的成形力和單位流動壓力。例題2:第十九頁，共二十四頁。解：1、切取基元體，受力分析，如右圖所示。2、建立沿徑向受力平衡方程，并化簡得：………（１）3、因為：，

所以：

將式（1）改寫為：

…………（2）

第二十頁，共二十四頁。４、忽略摩擦，又由；由應力應變順序關系，有：由Tresca屈服準則，有：

所以：，

則：…………（3）5、將條件代入式（３），并積分，

得：…………（４）第二十一頁，共二十四頁。6、求接觸面上的正應力由邊界條件，知當時，，所以：。積分常數得：……（5）

將（5）代入（4）中，得接觸面上的正應力：7、求總變形力和單位壓力第二十二頁，共二十四頁。拉深——凸緣變形區(qū)的應力分布應用主應力法可以求解凸緣區(qū)的