常微分方程與差分方程

常微分方程與差分方程第一頁，共十四頁，2022年，8月28日1、常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程.一、考試內(nèi)容4、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程.—————————————————————————————————————3、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.5、差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解.2、齊次微分方程，一階線性微分方程.7、微分方程的簡單應(yīng)用.6、一階常系數(shù)線性差分方程.第二頁，共十四頁，2022年，8月28日1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.二、考試要求4、了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解某些簡單的非齊次線性微分方程.—————————————————————————————————————3、會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.5、了解差分與差分方程的概念及其通解與特解等概念.7、會(huì)用微分方程求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題.6、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法.第三頁，共十四頁，2022年，8月28日—————————————————————————————————————三、真題選講例1：已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為（）.

(B)

(C)(D)例2：設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，，且其反函數(shù)為.若求第四頁，共十四頁，2022年，8月28日例3:設(shè)位于第一象限的曲線過點(diǎn),其上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線在上的弧長為，試用表示曲線的弧長.第五頁，共十四頁，2022年，8月28日例4：在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.（1）求的方程;（2）當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值.第六頁，共十四頁，2022年，8月28日例5：設(shè)函數(shù)在上連續(xù).若由曲線，直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為，試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.第七頁，共十四頁，2022年，8月28日例6：設(shè)是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點(diǎn)，（1）試求曲線的方程;（2）求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小.第八頁，共十四頁，2022年，8月28日例7：設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.例8：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足方程求.第九頁，共十四頁，2022年，8月28日例9：設(shè)（是任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為——————.例10：設(shè)是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的特解，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限（）.（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于3第十頁，共十四頁，2022年，8月28日例11：設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足方程，求例12（1）驗(yàn)證函數(shù)

滿足微分方程；（2）利用（1）的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)

.第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日例13：差分方程的通解為————.例14：已知某商品的需求量和供給量都是價(jià)格的函數(shù)：其中和為常數(shù)；價(jià)格是時(shí)間的函數(shù)且滿足方程（為正的常數(shù)）假設(shè)當(dāng)時(shí)價(jià)格為1，試求（1）需求量等于供給量時(shí)的均衡價(jià)格；（2）價(jià)格函數(shù)；（3）極限第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日—————————————————————————————————————四、課外習(xí)題習(xí)1：差分方程的通解為————.習(xí)2：已知某商品的需求量對(duì)價(jià)格的彈性,而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1（萬件）.求需求函數(shù).習(xí)3：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足，求的表達(dá)式.習(xí)4：設(shè)函數(shù)滿足條件求廣義積分.第十三頁，共十四頁，2022年，8月28日習(xí)6：設(shè)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在軸上的投影，為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為求的表達(dá)式.習(xí)5：設(shè)，其中函數(shù)在內(nèi)滿