巨正則分布的簡單應(yīng)用熱力學(xué)

巨正則分布的簡單應(yīng)用熱力學(xué)第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理Chap.9系綜理論研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．統(tǒng)計系綜:是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。若系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：以共2f個變量為坐標(biāo)構(gòu)成一個2f維空間,稱為相空間(?？臻g)系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：可用相空間中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。相空間第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動.（）這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布．2、劉維爾定理如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時刻t，運動狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點數(shù)知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日微正則分布處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，假設(shè)E到E+ΔE內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設(shè)經(jīng)典表達(dá)式量子表達(dá)式基本假設(shè)！知識回顧：§9.2微正則分布第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學(xué)幾率1.微觀態(tài)數(shù)孤立系統(tǒng)A(0)＝A(1)＋A(2)A(1)和A(2)有微弱相互作用A(1)：Ω1(N1,E1,V1)；A(2)：Ω2(N2,E2,V2)系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)是A(1)和A(2)達(dá)到熱平衡時分別具有的內(nèi)能，由下式確定：2.確定內(nèi)能的條件第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日3玻耳茲曼關(guān)系適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)！定義：4平衡條件熱動平衡條件：k的確定：將理論用到經(jīng)典理想氣體可知，k等于玻耳茲曼常數(shù)!知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問題的方法和步驟內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T、V、N的函數(shù)。知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日三、應(yīng)用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個單原子分子首先計算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù)知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、正則系統(tǒng)的定義及研究對象正則分布：具有確定的N、T、V值的系統(tǒng)的分布函數(shù)。知識回顧：§9.4正則分布配分函數(shù):表示對粒子數(shù)為N和體積為V的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和.l能級三、正則分布的經(jīng)典表達(dá)式二、正則系綜的配分函數(shù)和分布函數(shù)第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識回顧：§9.5正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式特例一、正則分布的熱力學(xué)公式第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、系統(tǒng)的能量漲落當(dāng)系統(tǒng)處在狀態(tài)s

時，其能量為，與的偏差為。稱為能量漲落。能量的相對漲落：和

都是廣延量，~N討論：這個事實說明，與熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)，雖然由于它與熱源交換能量而可具有不同的能量值，但對于宏觀的系統(tǒng)，其能量E與

有顯著偏差的概率極小．知識回顧：§9.5正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程思路：導(dǎo)出單原子分子的經(jīng)典實際氣體的物態(tài)方程。設(shè)氣體含有N

個分子過程：第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日兩個假設(shè)：得：所作的兩個簡化假設(shè)不合理。但在準(zhǔn)確到第二位力系數(shù)的近似下，這兩個簡化假設(shè)所引起的誤差剛好相互消去．知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程1、求解積分Q：定義：第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日積分不是體積的函數(shù)n是摩爾數(shù)NA

是阿佛加德羅常數(shù)知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日2、第二位力系數(shù)B與分子互作用勢的關(guān)系知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程Sutherlandpotential3、VandeWaals方程粗略近似，改進(jìn)的“剛球”模型第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日2.正則分布和巨配分函數(shù)1.巨正則分布:具有確定的體積V、溫度T和化學(xué)勢μ的系統(tǒng)(開系V,T,μ)的分布函數(shù)3.巨配分函數(shù)的經(jīng)典表達(dá)式知識回顧：§9.10巨正則分布第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日特例一、巨正則分布的熱力學(xué)公式巨配分函數(shù)知識回顧：9.11巨正則分布的熱力學(xué)公式第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日粒子數(shù)的漲落：知識回顧：9.11巨正則分布的熱力學(xué)公式第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日新課：§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用一、吸附現(xiàn)象：[問題描述]設(shè)吸附表面有N0

個吸附中心；每個吸附中心可吸附一個氣體分子；被吸附的氣體分子能量為-ε0[模型]氣體--------熱源和粒子源被吸附的分子---------系統(tǒng)求:達(dá)到平衡時,吸附率θ=N/N0

與氣體溫度T

和壓強p

的關(guān)系．交換粒子和能量第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用系統(tǒng)遵從巨正則分布系統(tǒng)的能量當(dāng)有N個分子被吸附時：-Nε0簡并度N個分子被吸附時可能的方式[分析和求解]系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用Newton二項展開式被吸附的平均粒子數(shù)第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用說明：達(dá)到平衡時，系統(tǒng)（被吸附的分子）與氣體的化學(xué)勢和溫度應(yīng)相等，所以上式的μ和Τ也就是氣體的化學(xué)勢和溫度P214（）式單原子分子理想氣體的化學(xué)勢第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用二、由巨正則分布導(dǎo)出近獨立粒子的平均分布在§6.7導(dǎo)出玻色分布和費米分布時，曾指出所用ωι＞＞1,αι＞＞1等條件實際上并不滿足，是推導(dǎo)過程的一個嚴(yán)重缺點。作為巨正則分布的應(yīng)用，現(xiàn)在用巨正則分布導(dǎo)出近獨立粒子的平均分布，這方法避免了上述缺點。假設(shè)系統(tǒng)只含一種近獨立粒子；粒子的能級為：ει（ι＝1，2，3，…）。為簡單起見，只討論所有的能級都是非簡并的情況。第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用整個系統(tǒng)的粒子數(shù)和能量第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用能級l上的粒子數(shù)第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用1)對于Bose子，每個能級上的粒子數(shù)不受限制第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用2)Fermi子：遵從Pauli不相容原理限制，al只能取0或1第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用可以嚴(yán)格證明：如果能級的簡并度為ωl王竹溪《統(tǒng)計物理學(xué)導(dǎo)論》人民教育出版社P275-285三、玻色分布和費米分布的漲落只討論各能級均非簡并的情形ωl=1將處在能級εl

上的粒子看作一個開系（）式第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用Fermi系統(tǒng)+Bose系統(tǒng)關(guān)于漲落的討論：費米氣體:ε<μ的能級al≈1;ε>μ的能級al≈0;漲落很??；泡利不相容原理的表現(xiàn)