第三章體的投影

畫法幾何及機(jī)械制圖

第三章立體的投影立體（幾何體）立體分平面立體和曲面立體.平面立體完全由平面構(gòu)成的立體如棱柱、棱椎等.曲面立體由平面與曲面或曲面與曲面構(gòu)成的立體如圓柱、圓錐、球體、圓環(huán)等。

常見的基本幾何體平面立體曲面立體第一節(jié)平面立體的投影

一、棱柱的投影

側(cè)棱垂直于底面的稱為直棱柱；側(cè)棱與底面斜交的稱為側(cè)棱柱。各側(cè)棱相互平行且相等。1、棱柱的組成由兩個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影如圖,為一正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實(shí)形，正面及側(cè)面投影重影為一直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六側(cè)棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實(shí)形，水平投影及側(cè)面投影重影為一條直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四個(gè)側(cè)棱面均為鉛垂面，其水平投影均重影為直線。正面投影和側(cè)面投影均為類似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖作投影圖時(shí)，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)其它投影規(guī)律畫出其它的兩個(gè)投影。如圖3-2所示。六棱柱的投影

3、棱柱表面取點(diǎn)和取線

平面立體由若干平面構(gòu)成，在其表面上取點(diǎn)、取線的方法與在平面上取點(diǎn)、取線的方法相同，一般用輔助線法。對正棱柱的各個(gè)表面都處于特殊位置，因此在表面上取點(diǎn)可利用重影性原理作圖。aaa棱柱表面上取點(diǎn)(b’)b

b’’C

C’

C’’二、棱錐的投影

1、棱錐的組成產(chǎn)生棱錐的平面多邊形稱為底面，其余各平面稱為側(cè)面，側(cè)面交線稱為側(cè)棱。棱錐由一個(gè)底面和幾個(gè)側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點(diǎn)——錐頂特點(diǎn)是所有側(cè)棱相交于一點(diǎn)。2、棱錐的三視圖投影SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影棱錐的投影

棱錐投影特性分析（以正三棱錐為例）作圖時(shí)，先畫出底面△ABC的各個(gè)投影，再作出錐頂S的各個(gè)投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。如圖所示。

s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ3、棱錐表面取點(diǎn)和取線

作圖步驟如下：連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ點(diǎn)的水平投影2。連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。根據(jù)在直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律，求出M點(diǎn)的水平投影m。再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW三棱錐表面上取點(diǎn)1第二節(jié)曲面立體的投影

曲面立體是由曲面或曲面和平面所圍成。繪制它們的投影時(shí)，由于它們的表面沒有明顯的棱線，繪制曲面立體的投影，就是繪制組成曲面立體的所有曲面或曲面與平面的投影，也就是繪制曲面立體的輪廓線、轉(zhuǎn)向輪廓線及軸線的投影。一、圓柱圓柱投影特性分析

在圓柱表面上取點(diǎn)已知圓柱表面上的點(diǎn)M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。2、圓柱表面上取點(diǎn)

a’

a”

a

b’(b”)

b圓柱表面取點(diǎn)和取線圓錐的投影

圓錐的概念圓錐面是由一條直母線SA，繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)形成的。它是由圓錐面和底面（圓形平面）組成。二、圓錐

圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。

1、圓錐投影圖s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先繪出圓錐的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側(cè)面投影積聚為直線。(3)作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡?cè)面投影并畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圓錐表面取點(diǎn)和取線

如果是圓錐表面輪廓線上的點(diǎn)，可以直接作出點(diǎn)的其它兩個(gè)投影。如果在圓錐面上一般位置的點(diǎn)K，就只能作輔助線，才能由一已知投影，求出另外兩個(gè)投影。在圓錐表面上求點(diǎn)，有兩種方法：一種是素線法，一種是輔助圓法。方法一：素線法過M點(diǎn)及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點(diǎn)。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圓錐表面的點(diǎn)M的正面投影m’,求出M點(diǎn)的其它投影。過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點(diǎn)ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。求出M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：輔助圓法過M點(diǎn)作一平行與底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”m’圓錐的投影及表面上的點(diǎn)s’ss”a’ab’bc”d”mm”以s為中心，以sm為半徑畫圓，已知圓錐面上M點(diǎn)的水平投影m，求出其m’和m”。作出輔助圓的正面投影2’3’。232’3’求出m’及m”的投影。

球的三個(gè)投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個(gè)投影面上的圓是不同的轉(zhuǎn)向輪廓線?；剀?yán)^續(xù)1、球的投影三、圓球圓球的投影

2、圓球表面取點(diǎn)和取線已知M點(diǎn)的水平投影，求出其它兩個(gè)投影。121’m’m”過m作平行于V面的正平圓12。求正平圓的正面投影。在輔助正平圓上求出m’和m”。o’o”o球的投影及表面上的點(diǎn)mR球面上取點(diǎn)截平面截?cái)嗝娼亟痪€截平面——用以截切物體的平面。

截交線——截平面與物體表面的交線。

截?cái)嗝妗蚪仄矫娴慕厍校谖矬w上形成的平面。第三節(jié)立體的截交線

截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與立體表面的共有線。截交線是一封閉的平面圖形，

求截交線的方法：。1）交點(diǎn)法：求出立體表面上已知直線與截平面的交點(diǎn)，連接交點(diǎn)即為所求。2）表面取點(diǎn)法：利用立體表面在投影面上的投影右積聚性的特點(diǎn)求之。3）輔助線法：在立體表面上作輔助素線及輔助圓求之。4）輔助平面法：借助輔助平面與立體表面及截平面相交來求之。一、平面立體截交線例1、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影圖平面立體的截交線畫法

平面立體的截交線畫法例2、作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一個(gè)正垂面和一個(gè)側(cè)平面所截切，因四棱柱的四個(gè)棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點(diǎn)均在棱面的投影上。此題還應(yīng)作出兩截平面的交線AB的投影。??BA完成后的投影圖a'(b')baa"b"??截交線的性質(zhì)：

截交線是截平面和回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上任意點(diǎn)都是它們的共有點(diǎn)。

截交線是封閉的平面曲線或平面圖形。求截交線的方法和步驟：

分析截平面與投影面的相對位置，截平面與回轉(zhuǎn)體的相對位置，初步判斷截交線的形狀及其投影。

求出截交線上的點(diǎn)，首先找特殊點(diǎn)再補(bǔ)充中間點(diǎn)。

補(bǔ)全輪廓線，光滑地連接各點(diǎn)，得截交線的投影。二、曲面立體的截交線1、平面與圓柱體相交

P截平面與圓柱軸線平行截交線為矩形PHPPv截平面與圓柱軸線傾斜截交線為橢圓PPv截平面與圓柱軸線垂直截交線為圓

例求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面的投影，完成側(cè)面投影。1'?2'?1??2?1"2"?3'(4')?4??34"??3"a?a'(b')?b??a"b"?c'(d')??

c?d?

c"d"?

作圖過程：求特殊點(diǎn)即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點(diǎn)可確定出橢圓長短軸的端點(diǎn)。求一般點(diǎn)從正面投影上選取A、B、C、D四點(diǎn)分別求出水平面和側(cè)面投影。

光滑地連接各點(diǎn)。例已知圓柱截?cái)囿w的正面和側(cè)面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側(cè)垂線，截?cái)囿w分別由側(cè)平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側(cè)面投影與圓重合。水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側(cè)面投影均直線。1'

·

?1?2"?2(3')?2'?33"?4'?(5')

?4?4"5"?5?6'(7')?7"6"6

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??89?a'?(b

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b"??

ab?1"

·cdc"d"c'(d')?()()完成后的投影圖例3、求如圖所示的開槽圓柱的左視圖。分析：槽是由三個(gè)截平面形成的，左右對稱的兩個(gè)截平面是平行于圓柱軸線的側(cè)平面，它們與圓柱面的截交線均為兩條直素線，與上底面的截交線為正垂線。另一個(gè)截平面是垂直于圓柱軸線的水平面，它與圓柱面的截交線為兩段圓弧。三個(gè)截平面間產(chǎn)生了兩條交線，均為正垂線。1'（2'）

??1"2"??

1?

2?

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5"?

6"?完成后的投影圖2、平面與圓錐體相交截平面與錐體的截切位置和軸線傾角不同，截交線的形狀不同。截平面垂直于圓錐軸線，傾角為θ=90ο，截交線為圓形。Pvθ截平面與圓錐軸線傾斜，傾角θ>α截交線為橢圓。PvθαθαPvαPvPv截平面與圓錐軸線傾斜面，傾角θ=α

截交線為拋物線。截平面與圓錐軸線平行或傾角θ<α，截交線為雙曲線。截平面過錐頂截交線為三角形。平面截圓錐交線情況例1、已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側(cè)面投影。?

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?作圖：1、求特殊點(diǎn)最高點(diǎn)B最低點(diǎn)A；圓錐體的前后素線與截交線的正面投影的交點(diǎn)c'd'重影為一點(diǎn)，其余兩面投影根據(jù)投影關(guān)系求出；截交線的最前點(diǎn)K 和最后點(diǎn)L，正面投影重影于a'b'的中點(diǎn)。2、求一般點(diǎn)。3、光滑連接各點(diǎn)的同面投影。完成后的三視圖例已知頂尖被截切后的正面和側(cè)面投影，求作水平投影。分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個(gè)平面截切而成，軸線為側(cè)垂線，截平面分別為側(cè)平面和水平面。側(cè)平面與圓柱軸線垂直，與圓柱的截交線為圓弧，正面投影為直線，側(cè)面投影為圓弧的實(shí)形。水平面與圓柱的截交線為開口矩形，與圓角度的截交線為雙曲線，其正面和側(cè)面投影均為直線。a'??b'(c')?a

a"??b"

c"??b?Cd'e'?d"e"

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g'h'??g"?h"?g

h?3、平面與球體相交

球被平面截切，截交線均為圓。由于截平面位置不同，截交線的投影可能是圓、直線或橢圓。Ph1）、截平面為平行面截平面為正平面，正面投影為截交線圓的實(shí)形。PvPv截平面為水平面，水平投影為截交線圓的實(shí)形。截平面為正垂面，截交線的水平投影及側(cè)面為橢圓。3）、截平面為垂直面2）、截平面為水平面例1：已知圓球體被截切后的正面投影求作水平投影。a'b'?

ba

?e'(f')??ef?c'(d')??cd?g'(h')??gh?分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影為橢圓。作圖：1、求特殊點(diǎn)截交線的最低點(diǎn)A和最高點(diǎn)B是水平投影的最右點(diǎn)和最左點(diǎn)，也是截交線水平投影橢圓短軸的交點(diǎn)，水平投影a、b在其正面投影輪廓線的水平投影上。a'b'的中點(diǎn)c'd'是截交線水平投影橢圓長軸端點(diǎn)的正面投影，其水平投影cd投影在輔助緯圓上。e'f'是截交線與球的水平投影輪廓線的正面投影的交點(diǎn)，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線上。2、求一般點(diǎn)選擇適當(dāng)位置作輔助水平面，與ab的交點(diǎn)g、h為截交線上兩個(gè)點(diǎn)的正面投影，其水平投影g、h投影在輔助緯圓上。例2、已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側(cè)面投影。分析：半球的通槽由三個(gè)平面構(gòu)成，一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面截切圓球它們與球面的截交線都是分別平行于投影面的圓弧。關(guān)鍵是確定截交圓弧的半徑；可根據(jù)截平面位置確定。1、通槽的水平投影作圖：過槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對應(yīng)的前后兩段圓弧。2、通槽側(cè)面投影的作圖：兩側(cè)平面距球心等遠(yuǎn)，兩圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側(cè)面投影重合。第四節(jié)立體的相貫線概念兩立體相交叫相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線。★相貫線性質(zhì)：

表面性——相貫線位于兩立體的表面上。

封閉性——相貫線一般是封閉的空間曲線。

共有性——相貫線是兩立體表面的共有線?！镒鲌D實(shí)質(zhì)：找兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。1、兩圓柱相交相交兩回轉(zhuǎn)體的相互位置不同可分為正交、偏交、斜交。相貫線投影相貫線投影分析：兩圓柱體軸線垂直相交，其軸線分別為鉛垂線和側(cè)垂線，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側(cè)面投影都具有積聚性。相貫線的水平投影積矛在圓周上，側(cè)面投影積聚于圓周的一部分。作圖：求特殊點(diǎn)：a'、b'就是兩圓柱表面共有點(diǎn)的正面投影，也是相貫線的最高點(diǎn)、最左點(diǎn)、最右點(diǎn)。從側(cè)面投影輪廓線的交點(diǎn)求得相貫線最前點(diǎn)、最后點(diǎn)的側(cè)面投影c"、d"，由從屬關(guān)系求出其余兩面投影。求一般點(diǎn)：作輔助正平面，與兩圓柱的交線均為矩形，其側(cè)面投影1、2和水平面投影1、2分別在圓周與平面投影的交點(diǎn)上。a'?

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