第4章正弦交流電

第4章正弦交流電路和相量法知識(shí)點(diǎn)正弦交流電的三要素相量法的基本概念基爾霍夫定律的相量形式元件伏安關(guān)系的相量形式阻抗、導(dǎo)納與二端網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)正弦電路的分析及功率的計(jì)算重點(diǎn)和難點(diǎn)正弦交流電的基本概念、基本規(guī)律用相量法分析和計(jì)算正弦交流電路要求理解在正弦電源作用下，交流電路的基本概念、基本規(guī)律。能夠用相量法分析和計(jì)算正弦交流電路的電壓、電流、功率和能量。相量法分析和計(jì)算正弦交流電路。第3節(jié)基爾霍夫定律的相量形式★第4節(jié)三種基本元件伏安關(guān)系的相量形式★第5節(jié)阻抗、導(dǎo)納與串并聯(lián)電路★第6節(jié)正弦電路的相量分析與計(jì)算★第7節(jié)正弦電路的功率★第1節(jié)正弦交流的基本概念★第2節(jié)相量法★第1節(jié)正弦交流的基本概念★

一、正弦交流電的三要素

直流電路中，電路的基本特點(diǎn)是電壓、電流大小和方向不隨時(shí)間變化。但是，在許多實(shí)際情況下，電路中的電壓、電流大小和方向都隨時(shí)間變化。如圖所示。圖(a)波形的大小隨時(shí)間無(wú)規(guī)則變化；圖(b)波形在大小和方向上都隨時(shí)間無(wú)規(guī)則變化；圖(c)，(d)波形大小和方向都隨時(shí)間進(jìn)行周期性變化，并且在一個(gè)周期內(nèi)平均值為零，這種波形稱為交流電。圖(d)稱為正弦交流電。

正弦交流電可用正弦函數(shù)表示，也可用余弦函數(shù)表示。圖(a)用正弦函數(shù)描述為

圖中采用兩種橫坐標(biāo)ωt和t，以資比較。兩者差別僅在ω，ω稱為角頻率，定義為弧度/秒(rad/s)。當(dāng)時(shí)間由t=0變化到T時(shí)，相角相當(dāng)于變化2π個(gè)弧度，故得

2π=ωT,即

T稱為周期，單位為秒(s)。T的倒數(shù)f稱為頻率，單位為赫茲Hz，即

一般情況坐標(biāo)起點(diǎn)不一定恰好選在正弦交流波形由負(fù)到正的過(guò)零處，坐標(biāo)起點(diǎn)不同函數(shù)表達(dá)式不同。波形的過(guò)零處（由負(fù)到正）發(fā)生在坐標(biāo)起點(diǎn)之前，也可以發(fā)生在坐標(biāo)起點(diǎn)之后。如圖所示。正弦交流電的三要素：一個(gè)正弦量應(yīng)該由三個(gè)參數(shù)確定，即：最大值、頻率和初相角。其中ω又可表示為

兩個(gè)同頻率正弦量相位之差可概括為以下五種情況（如圖）(1)超前(2)滯后(3)同相(4)反相(5)正交

二、正弦交流電的相位差和有效值

1．相位差

在對(duì)若干個(gè)同頻率的正弦量進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，常常關(guān)心它們之間的相位之差，即所謂超前、滯后、同相、反相和正交的概念。以兩個(gè)正弦電壓為例加以說(shuō)明，設(shè)有所謂相位差是指兩個(gè)同頻率正弦量的相位角之差，即結(jié)論：兩個(gè)同頻率正弦量的相位差等于其初相角之差。當(dāng)直流電流I通過(guò)另一電阻R，同樣的時(shí)間T內(nèi)消耗的電能為，即

2.有效值

設(shè)有兩個(gè)相同的電阻R，分別通過(guò)周期電流i和直流電流I，如圖4-4當(dāng)周期電流i通過(guò)電阻R時(shí)，在一個(gè)周期T內(nèi)所消耗的電能為，即當(dāng)直流電流I通過(guò)另一電阻R，同樣的時(shí)間T內(nèi)消耗的電能為，即如果W1=W2,則規(guī)定這個(gè)直流電流I為周期電流i的有效值?？汕蟮茫ㄉ鲜綖橛行е刀x式，又稱方均根值。適用于任何周期性電流、電壓波形。）設(shè)代入得類似地有引入有效值后，正弦電壓還可寫(xiě)作第2節(jié)相量法★一、復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)如果一個(gè)數(shù)包含實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩個(gè)部分，則這個(gè)數(shù)稱為復(fù)數(shù)。其中稱為虛數(shù)單位。例如復(fù)數(shù)n個(gè)復(fù)數(shù)相加或相減就是把它們的實(shí)部和虛部分別相加或相減。例如：2.復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式和加減運(yùn)算設(shè)有一復(fù)數(shù)A，a1和a2分別表示A的實(shí)部和虛部，則A=a1+ja2稱為復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式。如圖所示。3.復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和乘除運(yùn)算直角坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)還可以用極坐標(biāo)參數(shù)(a,θ)表示，即

直角坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式【例4-1】將下列兩個(gè)復(fù)數(shù)分別進(jìn)行兩種復(fù)數(shù)形式的相互轉(zhuǎn)換。(1)(2)

解題(1)復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式，運(yùn)用式(4-12)得

題(2)的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式，運(yùn)用式(4-15)得注意：求輻角θ時(shí)，要把a(bǔ)1和a2的符號(hào)分別留在分子、分母內(nèi)，以便正確判斷θ所在的象限。本例實(shí)部是+4，虛部為-3，故θ應(yīng)在第4象限。即A=4－j3=5∠－36.9°【例4-2】已知A=2.78+j9.2=9.6∠73.2°

B=–5+j12=13∠112.6,計(jì)算

解二、相量法的基本概念

1.正弦量的相量表示根據(jù)歐拉公式令θ=ωt得到（該式將復(fù)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)聯(lián)系一起。）Re表示取復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部，Im表示取復(fù)指數(shù)函數(shù)的虛部，則故正弦電壓可表示為其中將這種能夠表征正弦電量有效值和初相的復(fù)數(shù)稱為相量。結(jié)論：只要給定正弦函數(shù)的角頻率ω，就可以用復(fù)數(shù)完全確定相應(yīng)的正弦函數(shù)。稱為振幅相量或最大值相量，稱為有效值相量，兩者之間差倍。將兩式對(duì)照注意：正弦量并非是復(fù)數(shù)，所以相量不等于正弦量，相量只能表征或代表正弦量，例如2.相量圖

相量是復(fù)數(shù)，我們把相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。

相量（復(fù)數(shù)）在復(fù)平面上進(jìn)行的加減運(yùn)算符合平行四邊形法則，如圖所示。相量分別構(gòu)成平行四邊形的兩個(gè)邊，相量則是對(duì)角線。(平行四邊形法則)

相量圖不但可以反映相量模的相對(duì)大小，而且可以反映相量間相位關(guān)系。從相量圖中可知超前的角度為例如：某電流某電壓對(duì)應(yīng)的相量分別為相量圖(1)反映相量模的相對(duì)大小

(2)反映相量間相位關(guān)系3.用相量求同頻正弦量的和

兩個(gè)或多個(gè)同頻正弦量的相加或相減，如果直接用三角函數(shù)運(yùn)算，顯然十分復(fù)雜。引入相量后將會(huì)變得十分簡(jiǎn)便。

關(guān)于多個(gè)同頻正弦量求和問(wèn)題，在理論上有兩個(gè)可以遵循的基本規(guī)律：（1）任意個(gè)頻率相同的正弦量的代數(shù)和，仍為一同頻率的正弦量。（2）如果若干個(gè)同頻率正弦量的代數(shù)和為零，則各正弦量所對(duì)應(yīng)的相量的代數(shù)和也為零。即若有正弦量

，則相量為第3節(jié)基爾霍夫定律的相量形式★

基爾霍夫定律不僅適用于直流電路，同樣適用于正弦交流電路，即

表明，在正弦交流電路中，流出節(jié)點(diǎn)的電流相量代數(shù)和恒為零；在正弦交流電路中，沿任一閉合回路的電壓降相量的代數(shù)和恒為零。注意：正弦電流、電壓的有效值一般不滿足基爾霍夫定律，即根據(jù)正弦量求和問(wèn)題的基本規(guī)律，可知相量形式基爾霍夫定律也成立，即【例4-3】已知節(jié)點(diǎn)電流的工作頻率為50Hz，i1的有效值為50mA,初相角為-30°,

i2的有效值為100mA,初相角為150°，求i3的瞬時(shí)表達(dá)式，并畫(huà)出相量圖。其中I3=50mA顯然解根據(jù)KCL得正弦電流為相量圖如圖所示?！纠?-4】已知電壓

求，并畫(huà)出向量圖。

解：

根據(jù)KVL得正弦電壓為其中顯然相量圖如圖所示。第4節(jié)三種基本元件伏安關(guān)系的

相量形式★

一、電阻

1.電流與電壓的關(guān)系設(shè)流過(guò)電阻R的正弦電流為選定關(guān)聯(lián)參考方向,根據(jù)歐姆定律有可見(jiàn)，在正弦交流電路中，電阻元件的電流與電壓是同頻率的正弦波。u(t)的表達(dá)式通常記為比較以上兩式得結(jié)論：電阻元件電壓、電流有效值仍符合歐姆定律，且U、I同相位設(shè)θu=θi，可畫(huà)出電壓、電流波形如圖所示。()

如果將式結(jié)合在一起，可寫(xiě)出相量的關(guān)系式，即

上式稱為電阻元件相量形式的歐姆定律。它全面反映了電阻元件正弦電壓、電流有效值關(guān)系及相位關(guān)系。相位關(guān)系用相量圖表示如圖所示。2.在電阻中消耗的功率

任何瞬時(shí)，施加在電阻電壓和流過(guò)電阻上的電流的乘積稱為瞬時(shí)功率。記為代入整理并化簡(jiǎn)得

瞬時(shí)功率P(t)是以二倍于電壓或電流的頻率而周期變化，并且其值大于零，表明電阻總是消耗功率。波形如圖中實(shí)線所示。

瞬時(shí)功率隨時(shí)間不斷變化，一般沒(méi)有實(shí)際意義。通常利用它在一個(gè)周期內(nèi)的平均值P來(lái)衡量交流電功率的大小。P稱為平均功率或有功功率，即單位：焦耳(J)。工程中通常用千瓦小時(shí)(KW.h)表示，將額定功率為1千瓦的電氣設(shè)備經(jīng)過(guò)1小時(shí)所消耗的電能量，簡(jiǎn)稱為度。在電力系統(tǒng)中，經(jīng)常要檢測(cè)電阻在一段時(shí)間內(nèi)所消耗的電能量，即經(jīng)積分得【例4-5】有一幢五層建筑，每層20個(gè)房間，每間裝有220V，60W白熾燈兩盞，每天使用4小時(shí)。改用40W日光燈后，每房間只需要一盞。問(wèn)每月節(jié)省多少電能?每月按30天計(jì)算。解

用白熾燈時(shí)，每月消耗電能改裝日光燈后每月節(jié)省電能為二、電感

1．電流與電壓的關(guān)系設(shè)流過(guò)電感L的電流為根據(jù)伏安關(guān)系得(在正弦交流電路中，電感的電壓與電流是同頻率的正弦波)u(t)的表達(dá)式通常記為

兩式相比較得將它們結(jié)合一起，可寫(xiě)出相量形式的伏安關(guān)系為（乘數(shù)j又稱為旋轉(zhuǎn)因子，它表示一個(gè)+90°角，表明電感電壓相位超前電流90°）(1)當(dāng)在電感中通過(guò)正弦電流時(shí)，其端電壓亦為同頻正弦電壓，但電壓的相位超前于電流90°。(2)電壓、電流的有效值關(guān)系不僅與L有關(guān)，而且與角頻率ω有關(guān)。當(dāng)L值一定時(shí)，對(duì)一定的I來(lái)說(shuō)，ω越高則U越大；ω越低U越小。當(dāng)ω=0(相當(dāng)于電感通以直流電流)時(shí)，U=0，電感相當(dāng)于短路。正弦電壓、電流相位關(guān)系，如圖(a)(b)所示。重要結(jié)論：表明了兩個(gè)信息。2．電感的功率和磁場(chǎng)能量設(shè)流過(guò)電感的電流為在關(guān)聯(lián)參考方向下電感電壓為因此，電感的瞬時(shí)功率為瞬時(shí)功率的波形如圖中實(shí)線所示。電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)瞬時(shí)能量為

電感儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的平均值為平均功率為（電感不消耗功率）

（電感是儲(chǔ)能元件）

上式表明，電感的無(wú)功功率等于其吸收能量平均值的2ω倍。儲(chǔ)能越多，能量每秒往返的次數(shù)越多，交換的規(guī)模也越大。

電感吸收能量又釋放能量，表明電感不斷在與外電路(電源)進(jìn)行能量交換。為了衡量這種能量交換的規(guī)模，引入電感的無(wú)功功率。電感瞬時(shí)功率的最大值定義為無(wú)功功率，用Q表示，即無(wú)功功率的單位用乏(var)表示。★【例4-6】已知某電感L=40mH,電源電壓為

，求在關(guān)聯(lián)參考方向下的

i(t),Q(t)和WL(t)，以及當(dāng)電源頻率提高一倍時(shí)它們是多大?

解電源頻率為時(shí)，由電感元件相量形式的伏安關(guān)系式得故無(wú)功功率為平均儲(chǔ)能電源頻率為

(角頻率由ω=

314rad/s變?yōu)棣?628rad/s）三、電容

設(shè)施加在電容兩端的電壓為

選定電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向。根據(jù)伏安關(guān)系

（在正弦電路中，電容的電壓和電流為同頻率的正弦波）與i(t)的表達(dá)式則相比較得1．電流與電壓的關(guān)系類似于電感的伏安關(guān)系，可以證明當(dāng)在這里再一次看到有效值關(guān)系及相位關(guān)系為即（+j表示+90°，表明電容電流在相位上超前電壓90°）則電容元件相量形式的伏安關(guān)系為為便于分析問(wèn)題，可畫(huà)出正弦電壓、電流波形圖及相量圖如圖

所示。

重要結(jié)論：

表明了兩個(gè)信息。（1）當(dāng)在電容兩端施加正弦電壓時(shí)，其流過(guò)的電流亦為同頻正弦電流，但電流的相位超前于電壓90°。（2）電壓、電流有效值關(guān)系不僅與C有關(guān)，而且與角頻率ω有關(guān)。當(dāng)C值一定時(shí)，對(duì)一定的U來(lái)說(shuō)，ω越高則I越大；ω越低I越小。當(dāng)ω=0(相當(dāng)于直流電流)時(shí)，I=0,電容相當(dāng)于開(kāi)路，因此，電容具有隔直通交作用。2.電容的功率和電場(chǎng)能量

與電感元件相同，電容元件的瞬時(shí)功率為與電感相同，電容也是儲(chǔ)能元件，儲(chǔ)存的電場(chǎng)瞬時(shí)能量為

儲(chǔ)存的電場(chǎng)平均能量為

電容元件雖然沒(méi)有能量消耗，但同樣存在與外電路(電源)的能量交換。如同衡量電感能量交換規(guī)模一樣，引入電容的無(wú)功功率QC

,即

說(shuō)明：電容是儲(chǔ)存電場(chǎng)能的元件；電感是貯存磁能的元件。兩者所涉及的儲(chǔ)能性質(zhì)不同，為了加以區(qū)分，人為地將電感的無(wú)功功率和電容的無(wú)功功率確定為一種為正，另一種為負(fù)。按通常的規(guī)定，取QL

為正,QC為負(fù)。點(diǎn)擊查看QL

【例4-7】電路如圖，，求電流i

及無(wú)功功率QL、QC，并畫(huà)出相量圖。

由相量形式的KCL得因此解由C元件相量形式伏安關(guān)系得由L元件相量形式伏安關(guān)系得電容的無(wú)功功率為根據(jù)電壓、電流相量畫(huà)出相量圖如圖所示。電感的無(wú)功功率為第5節(jié)阻抗、導(dǎo)納與串并聯(lián)電路★一、阻抗與導(dǎo)納R、L、C三種元件相量形式的伏安關(guān)系為阻抗用Z表示，定義為R、L、C三種元件阻抗分別記為其中XL、XC分別稱為感抗和容抗。XL=ωL,XC=–1/ωC導(dǎo)納用Y表示，定義為單位為西門(mén)子。R、L、C三種元件導(dǎo)納分別為其中BL、BC分別稱為感納和容納。BL=―1/ωL

,

BC=ωC二、用相量法分析無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗

相量模型——在正弦交流電路分析中用

替代i(t),u(t)；用ZR,ZL,ZC或YR,YL,YC替代R，L，C的電路模型。

建立相量模型后直流電路中使用的公式和分析方法也可以應(yīng)用到正弦電路中。以此推論，n個(gè)阻抗串聯(lián)的等效阻抗為n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納為兩個(gè)阻抗并聯(lián)的等效阻抗為n個(gè)阻抗串聯(lián)分壓公式為n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)分流公式為兩個(gè)阻抗并聯(lián)分流公式為解：首先將圖(a)轉(zhuǎn)換為相量模型(b)。(1)對(duì)應(yīng)時(shí)等效阻抗為(2)對(duì)應(yīng)時(shí)等效阻抗為【例4-8】RLC串聯(lián)電路如圖(a)，外施正弦電壓角頻率

求電路等效阻抗Z。若電源角頻率改為，再求阻抗Z?！纠?-9】電路如圖，，求二端電路等效導(dǎo)納及各支路電流。解首先求出電阻電感支路及電容支路的等效導(dǎo)納Y1和Y2。則二端電路的等效導(dǎo)納為端鈕電壓為支路電流為【例4-10】電路如圖（a），求ab端的阻抗及端電壓與端電流的有效值比和相位差。已知。解

首先將電路圖轉(zhuǎn)換為相量模型，如圖（b）所示。利用阻抗的串并聯(lián)公式得由阻抗的定義式，上式可寫(xiě)成端電壓與端電流的有效值之比為51，相位差為11.31°概念：求取二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗有著重要的意義，通過(guò)阻抗的模和輻角可以獲得二端網(wǎng)絡(luò)更多的信息。（）無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗一般可以寫(xiě)成阻抗的模和輻角為1、θZ

=0，即θu=θi,電壓、電流同相位，二端網(wǎng)絡(luò)為純R電路。2、θZ

=±90°，二端網(wǎng)絡(luò)為純電抗性電路。θZ=+90°，定有X>0,

且R=0。二端網(wǎng)絡(luò)純L電路；θZ=-90°，定有X<0,且R=0。二端網(wǎng)絡(luò)純C電路。

3、0<θZ

<90°

，定有X>0,

R>0。二端網(wǎng)絡(luò)為L(zhǎng)性電路。

4、當(dāng)-90°<θZ

<0，定有X<0,

R>0。二端網(wǎng)絡(luò)為C性電路。關(guān)于無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)幾點(diǎn)討論：（例題4-10中θz=+

11.31°

表明電路為L(zhǎng)性電路電路。）以RLC串聯(lián)電路為例，列寫(xiě)的二端網(wǎng)絡(luò)等效阻抗為

由上分析，電路參數(shù)R、L、C的改變，使θz改變

，二端網(wǎng)絡(luò)將體現(xiàn)不同的電性質(zhì)。事實(shí)上，二端網(wǎng)絡(luò)的電性質(zhì)不僅與電路參數(shù)有關(guān)，而且與電源施加的頻率ω(f)有關(guān)。因?yàn)樽杩故穷l率的函數(shù)Z(ω)，因此，當(dāng)施加于二端網(wǎng)絡(luò)的電源頻率改變時(shí)，網(wǎng)絡(luò)所呈現(xiàn)的電性質(zhì)同樣會(huì)發(fā)生改變。例題4-8中ω=1000rad/s和ω=500rad/s時(shí)，Z=5+j3Ω和Z=5-j6Ω分別表明電路為L(zhǎng)性電路和C性電路。說(shuō)明：

若改變的電源頻率ω,使ωL=1/ωC，即X=0，電路為純R電路。若ωL>1/ωC,即X>0，電路為L(zhǎng)性電路。若ωL<1/ωC，即X<0，電路為C性電路。

一般對(duì)任一無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)可以用等效阻抗Z表示，也可以用等效導(dǎo)納Y表示。于是就有兩種結(jié)構(gòu)不同的等效電路，即串聯(lián)和并聯(lián)形式。依據(jù)兩種等效相量模型：

即若已知Z=R+jX，可變換為Y=G+jB。相當(dāng)于用G和B并聯(lián)代替R和X串聯(lián)。同理，也可以進(jìn)行相反的等效互換。【例4-11】電路如圖，已知。試分別畫(huà)出該電路的兩元件并聯(lián)及兩元件串聯(lián)的等效電路。解首先建立相量模型，由二端電路求得等效導(dǎo)納為依據(jù)Y畫(huà)出兩元件并聯(lián)等效電路如圖所示。依據(jù)Z畫(huà)出兩元件串聯(lián)等效電路如所示。

相量圖作為電路分析輔助工具的兩個(gè)作用：（a）能看出各電壓、電流的相位關(guān)系，由此了解電路的電性質(zhì)。（b）直接求出未知相量。

求取過(guò)程一般遵循以下步驟：（1）選擇參考相量，令該相量的初相為零。通常串聯(lián)電路選擇電流相量為參考相量，并聯(lián)電路選擇電壓相量為參考相量。（2）從參考相量出發(fā)，利用元件電壓、電流的相位關(guān)系以及KCL、KVL定性畫(huà)出其它相量。（3）利用相量圖表示的幾何關(guān)系，求出所需電壓、電流相量。三、相量圖在電路分析中的輔助作用【例4-12】電路如圖所示，用相量圖表明各電流相量關(guān)系。

所在支路既有電容又有電阻，超前，但不是90°。由于元件參數(shù)及頻率不定，超前相位不定，但應(yīng)畫(huà)在第一象限。解電路為并聯(lián)形式，選端口電壓為參考相量，設(shè)。因?yàn)樗谥窞榧冸娮瑁逝c同相位。由KCL知,可畫(huà)出總電流相量圖如圖所示?！纠?-13】電路如圖所示，已知

，用相量圖表明電流及各電壓相量關(guān)系，并說(shuō)明電路的電性質(zhì)。解選電流作為參考相量，即設(shè)

。根據(jù)元件電壓、電流的相位關(guān)系分別畫(huà)出。根據(jù)KVL

畫(huà)出電壓相量。(由于電壓U超前電流I,電路呈電感性)由于相位相反，在相量圖上實(shí)際是UL–UC?！纠?-14】電路如圖，已知U=100V,I=5A,且超前于相位53.1°,求R和X。解法一：用計(jì)算方法求解。設(shè)，則二端電路的等效阻抗為等效導(dǎo)納為其中解法二：用相量圖方法求解。因?yàn)殡娐窞椴⒙?lián)形式，可選端口電壓為參考相量，即設(shè)可求出根據(jù)元件電壓、電流的相位關(guān)系以及KCL,可畫(huà)出電流相量圖如圖所示。由相量圖可知第6節(jié)正弦電路的相量分析與計(jì)算★正弦電路除了有簡(jiǎn)單的串、并聯(lián)電路，同樣有復(fù)雜電路。復(fù)雜正弦電路的分析計(jì)算仍然使用相量法。

先將電路轉(zhuǎn)換為相量模型，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)相量形式的KCL、KVL及元件的相量形式伏安關(guān)系，仿照直流電阻電路的分析方法進(jìn)行計(jì)算。可應(yīng)用網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法，疊加定理和戴維南定理等。通過(guò)分析計(jì)算，解出待求量的相量形式，最后再反變換為以為變量的正弦電壓或正弦電流，從而使正弦電路的電壓和電流得以解出。概念：解相量模型如右圖。電路有三個(gè)網(wǎng)孔，由于理想電流源在電路外沿上，網(wǎng)孔電流為已知。只需列二個(gè)方程?！纠?-15】電路如圖所示，求iL(t)和iC(t)。解得由KCL得相應(yīng)的正弦電流為整理后得【例4-16】圖示電路是正弦波發(fā)生器中常用的RC移相電路。當(dāng)RC參數(shù)改變或輸入頻率改變時(shí)，每經(jīng)過(guò)一節(jié)RC，輸入與輸出之間就會(huì)產(chǎn)生一定的相位移動(dòng)。列出節(jié)點(diǎn)1，2，3的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

解選擇節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn)，列出節(jié)點(diǎn)方程為由KVL得解

(1)拆除10Ω電阻，求開(kāi)路電壓。由彌爾曼定理求U?！纠?-17】用戴維南定理求電路10Ω電阻支路的電流

注意:與電流源串聯(lián)的3Ω電阻和-j10Ω阻抗不應(yīng)出現(xiàn)在方程中()(2)畫(huà)出求等效阻抗電路，求Z0。(3)用戴維南等效電路求電流。第7節(jié)正弦電路的功率★

本節(jié)將在R，L，C元件功率基礎(chǔ)上，討論由這些元件混聯(lián)組成的二端網(wǎng)絡(luò)的功率問(wèn)題。為了分析方便，選定二端網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并假設(shè)電壓u(t)超前電流i(t)角θ

，即1．瞬時(shí)功率根據(jù)功率的定義，電路的瞬時(shí)功率為分析見(jiàn)圖一、二端網(wǎng)絡(luò)平均功率和功率因數(shù)2.平均功率

取瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值即為平均功率：

平均功率反映電路能量消耗的情況。二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率也可以根據(jù)能量守恒定律計(jì)算。因?yàn)殡娙?、電感元件不消耗功率，所以電路的平均功率就等于電路中所有電阻上所消耗的功率之和，可表示為?jīng)積分后得其中RK是電路中某一電阻的阻值，IK則是通過(guò)該電阻中的正弦電流的有效值。該式稱為平均功率守恒。通常在電工技術(shù)中，將COSθ稱為功率因數(shù)。記為λ，即3．功率因數(shù)當(dāng)負(fù)載P一定及供電電壓U一定時(shí)，負(fù)載的λ越低，電源供給負(fù)載的電流I越大。結(jié)果：增加輸電線損耗，線路壓降增大，影響供電質(zhì)量，對(duì)節(jié)能和充分利用電源的生產(chǎn)能力不利。為此，必需采取措施提高功率因數(shù)。

λ的大小取決于端電壓與端電流的相位差θ,θ越小,

COSθ(λ)越大；θ=0電路為純電阻電路，COSθ=1。但在工業(yè)設(shè)備中大都是感性負(fù)載，如電動(dòng)機(jī)等，相位差θ≤90°,功率因數(shù)會(huì)很低。

在電力系統(tǒng)中多數(shù)負(fù)載為感性，一般采用在負(fù)載上并聯(lián)電容方法進(jìn)行補(bǔ)償，使總的功率因數(shù)提高。提高功率因數(shù)的方法：

讓負(fù)載中的磁場(chǎng)能量增減與電容中的電場(chǎng)能量增減部分地相互補(bǔ)償，從而降低整個(gè)負(fù)載與電源間的能量交換；換言之，利用電容發(fā)出的無(wú)功功率QC去補(bǔ)償負(fù)載所需的無(wú)功功QL。物理意義:【例4-18】有一臺(tái)20KW交流電動(dòng)機(jī)接在50Hz，380V電源上，交流電動(dòng)機(jī)的等效電路可看作由R與L串聯(lián)組成。在正常工作時(shí)其功率因數(shù)為0.5。試計(jì)算(1)線路電流；(2)當(dāng)并聯(lián)一電容C＝580μF時(shí)，求負(fù)載功率、線路電流和整個(gè)電路的功率因數(shù)。因?yàn)楣式?/p>

(1)設(shè)則（可見(jiàn)線路電流為105A，且滯后端電壓60°）(2)并上電容后由于電容元件的平均功率PC=0，并且不變，所以總功率不變，P=20kW。

并聯(lián)電容后使整個(gè)電路的功率因數(shù)提高，同時(shí)線路電流減小。電路總電流為整個(gè)電路的功率因數(shù)為結(jié)論：(為清楚地看出并聯(lián)電容后的補(bǔ)償作用和功率因數(shù)的提高，可畫(huà)出相量圖如圖所示。)（可見(jiàn)線路電流已由105A減少至56.9A，滯后相位也由60°減少為22.6°）二、二端網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率由R，L，C組成的二端網(wǎng)絡(luò)同樣存在與電源的能量交換。衡量這種能量交換的規(guī)模，用無(wú)功功率公式表示：

無(wú)功功率守恒公式

U，I為二端網(wǎng)絡(luò)端電壓、端電流有效值，角θ為端電壓與端電流相位差。若二端網(wǎng)絡(luò)無(wú)源時(shí)θ=θZ,上式同時(shí)包括了R，L，C單個(gè)元件的無(wú)功功率公式。QK中電感取正，電容取負(fù)。注意：該式與平均功率守恒式同為正弦交流電路功率分析的重要關(guān)系式。

它們構(gòu)成的直角三角形稱為功率三角形，如圖所示。視在功率S、平均功率P和無(wú)功功率Q三者在數(shù)值上的關(guān)系：視在功率

定義為

U，I為二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓、端電流的有效值。視在功率S表示交流電源設(shè)備的額定容量，它等于電源設(shè)備的額定電壓與額定電流的乘積。視在功率的單位為伏安(VA)?！纠?-19】電路如圖，已知端電壓有效值為220V，求各負(fù)載及全電路的P,Q,S和功率因數(shù)COSθ

。Z1的P1,Q1,S1及COSθ1，分別為解

等效阻抗為設(shè)端電壓相量為由相量形式的歐姆定律得全電路的P,Q,S及COSθ分別為Z2的P2,Q2,S2及COSθ2分別為由Z2=10-j5，可得(1/ωC)=5，則

用電壓相量、電流相量計(jì)算平均功率和無(wú)功功率，就是復(fù)功率。

在關(guān)聯(lián)參考方向下，若二端網(wǎng)絡(luò)的電壓相量和電流相量分別為三、復(fù)功率(顯然，復(fù)功率的實(shí)部是平均功率，虛部是無(wú)功功率，而的模是視在功率s。)我們將復(fù)數(shù)稱為復(fù)功率，用表示。即則電流相量的共軛復(fù)數(shù)應(yīng)記為【例4-20】施加于二端網(wǎng)絡(luò)的電壓

輸入電流電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方

向，求電路的平均功率、無(wú)功功率和視在功率。由此可知解復(fù)功率為【例4-21】求圖所示電路中電源向電路提供的平均功率、無(wú)功功率、視在功率及功率因數(shù)。解法一:利用各功率定義式計(jì)算。從電源兩端看去的等效阻抗為則電源提供的電流為由解法一已求得阻抗為Z=(22-j6)Ω,其中電阻分量R=22Ω,電抗分量為。等效電路如圖所示。解法二:利用二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗性質(zhì)計(jì)算故解法三:利用復(fù)功率計(jì)算則由前面推出的結(jié)果可知小結(jié)1.正弦量的基本概念

正弦量是以時(shí)間t為變量，按正弦規(guī)律變化的周期函數(shù)。正弦量的三個(gè)基本要素：振幅、角頻率和初相角。為了解元