第2章邏輯代數(shù)

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1邏輯代數(shù)與基本邏輯運算2.2邏輯函數(shù)與變換2.3邏輯函數(shù)的化簡2.4邏輯函數(shù)化簡中的幾個特殊問題2.1邏輯代數(shù)與基本邏輯運算一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù) 所謂“邏輯”是指“條件”與“結(jié)果”的關(guān)系，利用電路的輸入信號反映“條件”，而用電路的輸出反映“結(jié)果”。從而使電路的輸入和輸出之間代表了一定的邏輯關(guān)系。最簡單的邏輯單元——基本邏輯門。一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)1、邏輯變量 邏輯代數(shù)中的變量（邏輯變量）只能取兩個值——0和1，而沒有中間值。0和1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。稱為邏輯0或邏輯1，這種表示方法叫狀態(tài)賦值。2、邏輯函數(shù)（1）概念：Z=F（A、B、C、D…）邏輯即是“條件”與“結(jié)果”的關(guān)系。（2）特點：A、邏輯函數(shù)與自變量的關(guān)系由有限個基本邏輯運算（與、或、非）決定。B、自變量和函數(shù)的值都只能取0或1。3、基本邏輯運算——三種與(and)、或(or)、非(not)UABY

B、真值表ABY000010100111規(guī)定:開關(guān)合為邏輯“1”開關(guān)斷為邏輯“0”燈亮為邏輯“1”燈滅為邏輯“0”特點:有0則0,全1則1（1）“與”邏輯關(guān)系和與門決定事件發(fā)生的各條件中，所有條件都具備，事件才會發(fā)生（成立）。A、概念一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)3、基本邏輯運算——三種&ABYD、與邏輯運算規(guī)則—邏輯乘C、與邏輯關(guān)系表示式L=A?B=AB

E、與門符號:0?0=00?1=01?0=01?1=1ABY（1）“與”邏輯關(guān)系和與門一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)3、基本邏輯運算——三種A、概念B、真值表（2）“或”邏輯關(guān)系和或門決定事件發(fā)生的各條件中，有一個或一個以上的條件具備，事件就會發(fā)生（成立）。A、概念UABY000011101111ABY開關(guān)合為邏輯“1”，開關(guān)斷為邏輯“0”；燈亮為邏輯“1”，燈滅為邏輯“0”。設(shè)：特點:任1則1,全0則0B、真值表一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)3、基本邏輯運算——三種ABY≥1D、運算規(guī)則—邏輯加C.或邏輯關(guān)系表示式

L=A＋B

E、或門符號:0+0=00+1=11+0=11+1=1ABY+（2）“或”邏輯關(guān)系和或門A、概念一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)3、基本邏輯運算——三種B、或邏輯真值表（3）“非”邏輯關(guān)系和非門決定事件發(fā)生的條件只有一個，條件不具備時事件發(fā)生（成立），條件具備時事件不發(fā)生。特點:1則0,0則1B、真值表0110AYYRAUA、概念一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)3、基本邏輯運算——三種非邏輯—邏輯反0＝11＝0C、關(guān)系表示式:

1AYE、符號：AY（3）“非”邏輯關(guān)系和非門A、概念3、基本邏輯運算——三種一、基本邏輯運算和邏輯函數(shù)B、真值表Y＝AD、運算規(guī)則：二、基本邏輯關(guān)系的擴展將基本邏輯門加以組合，可構(gòu)成“與非”、“或非”、“異或”等門電路。1、與非門表示式：

真值表

ABABY0001010110011110多個邏輯變量時:&ABY符號：ABY2、或非門表示式：Y=A+B

真值表ABA+BY0001011010101110多個邏輯變量時:Y=A+B+CABY≥1符號：ABY+二、基本邏輯關(guān)系的擴展3、與或非門表示式：Y=AB+CD符號：CDY≥1AB&&二、基本邏輯關(guān)系的擴展Y=AB=AB+AB表示式：真值表特點:相同則0,不同則1

真值表

ABABABY000000110110011110004、異或門=1ABY符號：ABY二、基本邏輯關(guān)系的擴展11&&≥1ABY=AB=AB+AB表示式：ABABABY=AB+AB4、異或門二、基本邏輯關(guān)系的擴展用基本邏輯門組成異或門門電路是實現(xiàn)一定邏輯關(guān)系的電路。類型:與門、或門、非門、與非門、或非門、異或門……。1、用二極管、三極管實現(xiàn)2、數(shù)字集成電路(大量使用)1)TTL集成門電路2)MOS集成門電路實現(xiàn)方法:門電路小結(jié)門電路小結(jié)門電路符號表示式與門&ABYABY≥1或門非門1YAY=ABY=A+BY=A與非門&ABYY=AB或非門ABY≥1Y=A+B異或門=1ABYY=AB三、邏輯函數(shù)的相等1、定義：設(shè)有兩個邏輯函數(shù)F=f(x1,x2,…xn)G=g(x1,x2,…xn)其變量都為x1,x2,…xn，如果對應(yīng)于變量x1,x2,…xn的任何一組變量取值，F(xiàn)，G的值都相等，則稱這兩個函數(shù)相等，記為F=G。2、判斷邏輯函數(shù)是否相等的方法（1）列出輸入變量的所有可能的取值組合，并按邏輯運算規(guī)則計算出在各種輸入取值下兩個函數(shù)的相應(yīng)值，并進行比較。（2）利用邏輯代數(shù)的定理、定律和規(guī)則進行證明。三、邏輯函數(shù)的相等它們的真值表完全相同，故F和G是相等的。四、關(guān)于邏輯函數(shù)的書寫乘運算規(guī)則:加運算規(guī)則:五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則非運算規(guī)則:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10?0=00?1=01?0=01?1=1A＝AA?0=0A?1=AA?A=AA?A=00=11=0A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=11、基本關(guān)系交換律:A+B=B+A

AB=BA結(jié)合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)

ABC=(AB)C=A(BC)五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則2.邏輯代數(shù)運算規(guī)律分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則2.邏輯代數(shù)運算規(guī)律吸收規(guī)則原變量吸收規(guī)則:反變量吸收規(guī)則:A+AB=A+BA+AB=A+B注:紅色變量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB=A+(A+A)B=A+1?B;A+A=1=A+BA+AB=A證明:五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則2.邏輯代數(shù)運算規(guī)律混合變量吸收規(guī)則:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AB=AAB+AC+BC=AB+AC證明:五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則2.邏輯代數(shù)運算規(guī)律反演定理（德摩根定理）A?B=A+B

A+B=A?B用真值表證明ABA?BA+B1110000110111110證明:五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則2.邏輯代數(shù)運算規(guī)律4.展開定理五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則3.關(guān)于“異或”運算的一些公式（1）代入規(guī)則 對邏輯等式中的任意變量A，若將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。 例：若：A(B+C)=AB+ACC→C+D則：A[B+(C+D)]=AB+A(C+D) 意義：利用這條規(guī)則和現(xiàn)有的等式，可以推出更多的等式，而無需證明。（2）反演規(guī)則 對于任何一個邏輯函數(shù)F，若將F表達式中所有的“·”和“+”互換，“0”和“1”互換，原變量和反變量互換，并保持運算優(yōu)先順序不變，則可得到F的反函數(shù)。五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則5.重要規(guī)則注意：①反演規(guī)則的意義在于利用它求一個函數(shù)的反函數(shù)。②運用反演規(guī)則時，不是一個變量上的反號應(yīng)該保留。③變換時，應(yīng)注意先“與”后“或”，先括號內(nèi)后括號外的順序。五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則5.重要規(guī)則（3）對偶規(guī)則對于任何一個邏輯函數(shù)F，若將F表達式中所有的“·”和“+”互換，“0”和“1”互換，并保持運算優(yōu)先順序不變，則所得到新的函數(shù)稱為函數(shù)F的對偶函數(shù)F'。例：五、邏輯代數(shù)基本運算規(guī)則5.重要規(guī)則若稱函數(shù)為自對偶函數(shù)例：（3）對偶規(guī)則注意：轉(zhuǎn)換時應(yīng)先“與”后“或”，先括號內(nèi)后括號外的順序。對偶規(guī)則：當某個邏輯恒等式成立時，其對偶式的等式也成立?；閷ε荚恚?Z')'=Z2.2邏輯函數(shù)的表示與變換一、邏輯函數(shù)的表示方法四種表示方法Y=AB+AB邏輯代數(shù)式(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY

邏輯電路圖:卡諾圖

將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。N個輸入變量種組合。真值表：ABY001011101110ABCY000000100100011010001011110111110110AY一輸入變量，二種組合二輸入變量，四種組合三輸入變量，八種組合一、邏輯函數(shù)的表示方法1、真值表ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四輸入變量，16種組合一、邏輯函數(shù)的表示方法1、真值表（四輸入變量）二、各種表示方法之間的轉(zhuǎn)換1、由真值表求邏輯表達式（1）把真值表中邏輯函數(shù)值為1的變量組合挑出來；（2）若輸入變量為1，則寫成原變量，若輸入變量為0，則寫成反變量；（3）把每個組合中各個變量相乘，得到一個乘積項；（4）將各乘積項相加，就得到相應(yīng)的邏輯表達式。例：試設(shè)計一個三人表決器二、各種表示方法之間的轉(zhuǎn)換2、由邏輯表達式列出真值表 按照邏輯表達式，對邏輯變量的各種取值進行計算，求出相應(yīng)的函數(shù)值，再把變量取值和函數(shù)值一一對應(yīng)列成表格。二、各種表示方法之間的轉(zhuǎn)換3、由邏輯函數(shù)式求邏輯電路（1）畫出所有的邏輯變量；（2）用“非門”對變量中有“非”的變量取“非”；（3）用“與門”對有關(guān)變量的乘積項，實現(xiàn)邏輯乘；（4）用“或門”對有關(guān)的乘積項，實現(xiàn)邏輯加；&

≥1&&&CAAABBBCCZBABY=AB+ABABA1&AB&1≥1二、各種表示方法之間的轉(zhuǎn)換4、由邏輯圖求邏輯表達式 由輸入到輸出，按照每個門的符號寫出每個門的邏輯函數(shù)，直到最后得到整個邏輯電路的表達式。三、邏輯函數(shù)表達式的形式1、兩種基本形式（1）“與—或”表達式（“積之和”SumofProducts或SP型） 單個邏輯變量進行“與”運算構(gòu)成的項稱為“與項”，由“與項”進行“或”運算構(gòu)成的表達式稱為“與—或”表達式。例：（2）“或—與”表達式（“和之積”ProductsofSum或PS型） 單個邏輯變量進行“或”運算構(gòu)成的項稱為“或項”，由“或項”進行“與”運算構(gòu)成的表達式稱為“或—與”表達式。例：三、邏輯函數(shù)表達式的形式2、最小項1）定義：若n個變量組成的與項中，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱該“與項”為n個變量的最小項。例：設(shè)A，B，C是三個邏輯變量，其最小項為不是最小項的與項：AB，AC，A(B+C)，…2）最小項的編號：把使該最小項為1的取值組合視作二進制數(shù)（原變量取1，反變量取0），則相應(yīng)的十進制數(shù)作為最小項的編號。用(m)(N)10表示。三、邏輯函數(shù)表達式的形式3）性質(zhì)：①n變量的函數(shù)，最多可構(gòu)成2n個最小項；②對于任意一個最小項，只有一組變量取值組合使得它的值為1，而在變量取其他各組值時，這個最小項的值均為0；③不同的最小項，使它為1的變量取值組合不同；④任意兩個最小項mi和mj(i≠j)的乘積必為零，即mi·mj=0；⑤對于變量的任意一組取值，全體最小項之和為1，即：⑥n變量的每一個最小項，都有n個相鄰的最小項。當兩個最小項中只有一個變量不同，且這個變量分別為同一變量的原變量和反變量時，稱這兩個最小項為相鄰的最小項。2、最小項三、邏輯函數(shù)表達式的形式2）一個邏輯函數(shù)的標準“與—或”式是唯一的。3）任何一個邏輯函數(shù)都可表示成為標準“與—或”式。其方法如下：代數(shù)法：①將函數(shù)表示成為一般的“與—或”式；3、邏輯函數(shù)的標準形式（1）標準“與—或”式1）由最小項相“或”構(gòu)成的邏輯表達式，稱為標準“與—或”式。②反復(fù)利用X=X(Y+)，將表達式中所有非最小項的“與”項擴展成為最小項。三、邏輯函數(shù)表達式的形式3、邏輯函數(shù)的標準形式（1）標準“與—或”式三、邏輯函數(shù)表達式的形式3、邏輯函數(shù)的標準形式（1）標準“與—或”式三、邏輯函數(shù)表達式的形式3、邏輯函數(shù)的標準形式（1）標準“與—或”式真值表法：將在真值表中，輸出為1所對應(yīng)的最小項相加，即為標準“與—或”式三、邏輯函數(shù)表達式的形式3、邏輯函數(shù)的標準形式（3）反函數(shù)的標準形式1）若把真值表中使函數(shù)值為0所對應(yīng)的最小項加起來，得反函數(shù)的標準“與或”式。即=真值表中輸出為0的變量組合相加。例：對上面的真值表有=∑m（0，1，3，5，7）四、邏輯表達式的變換1、邏輯函數(shù)的“與非”實現(xiàn)（1）“與非”邏輯的完備性（2）用“與非”實現(xiàn)邏輯函數(shù) 先將函數(shù)化成“與或”表達式，然后對表達式兩次取反，得函數(shù)的“與非—與非”表達式。ABC2.3邏輯函數(shù)的化簡一、化簡的意義和最簡的概念1、化簡的意義 （1）節(jié)省器材； （2）提高了工作的可靠性；2、最簡的概念 （1）舉例試證明下面兩式具有相同的邏輯功能，并比較它們的邏輯圖。++即Z1、Z2具有相同的邏輯功能一、化簡的意義和最簡的概念1、化簡的意義 （1）節(jié)省器材； （2）提高了工作的可靠性；2、最簡的概念 （1）舉例（2）“與或”表達式化簡的意義①任何一個表達式都不難展開成“與或”表達式；②從一個最簡的“與或”表達式可以比較容易地得到其他類型的最簡式。（3）最簡“與或”表達式①“與”項的個數(shù)最少；②每個“與”項中的因子數(shù)最少；例1：反變量吸收提出AB=1提出A二、代數(shù)化簡法Y=AB=AB+AB=A?A?B?B?A?B右邊=A?A?B+B?A?B;AB=A+B=A?A?B+B?A?B;A=A=A?(A+B)+B?(A+B);AB=A+B=A?A+A?B+B?A+B?B;展開=0+A?B+A?B+0=A?B+A?B=左邊結(jié)論:異或門可以用4個與非門實現(xiàn)二、代數(shù)化簡法例2:證明Y=AB=AB+AB=A?A?B?B?A?B&&&&ABY11&&≥1AB二、代數(shù)化簡法異或門可以用4個與非門實現(xiàn)例3Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC將化簡為最簡邏輯代數(shù)式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB=(A+A)B+ABC=B+BAC;A+AB=A+B=B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC二、代數(shù)化簡法例4將Y化簡為最簡邏輯代數(shù)式。

Y=AB+(A+B)CD解：Y=AB+(A+B)CD=AB+(A+B)CD=AB+ABCD=AB+CD;利用反演定理;將AB當成一個變量,利用公式A+AB=A+B；A=A二、代數(shù)化簡法二、代數(shù)化簡法1、并項法：2、吸收法：利用A+AB=A消去多余的項二、代數(shù)化簡法3、消去法：4、配項法：利用消去多余的因子二、代數(shù)化簡法3、消去法：4、配項法：二、代數(shù)化簡法5、綜合運用：二、代數(shù)化簡法小結(jié)： 用代數(shù)法化簡，一開始不可能知道它的最簡式，只能在簡化的過程中方能夠逐漸清楚。 化簡步驟：首先把表達式轉(zhuǎn)換成“與或”表達式，然后用較易的并項法，吸收法和消去法化簡函數(shù)式，最后再考慮能否用配項法給予展開化簡。 具體應(yīng)用中要特別注意一個函數(shù)式作為一個變量看待時的具體變換。3.邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

卡諾圖是真值表的一種變形，為邏輯函數(shù)的化簡提供了直觀的圖形方法。當邏輯變量不太多(一般小于5個)時，應(yīng)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，方法直觀、簡捷，較容易掌握。(1)最小項的概念設(shè)有n個變量，它們組成的與項中每個變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，這些與項均稱之為n個變量的最小項。若函數(shù)包含n個變量，構(gòu)成的最小項應(yīng)為2n個，分別記為mn。例如兩變量的最小項共有22=4個，可表示為：三變量的最小項共有23=8個，可表示為：四變量的最小項共有24=16個，分別表示為：顯然，當變量為n個時，最多可構(gòu)成的最小項數(shù)為2n個。2)卡諾圖表示法A01B01m0m1m2m3兩變量卡諾圖A01BC00011110m0m1m4m5m3m2m7m6三變量卡諾圖CD00011110AB00011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10四變量卡諾圖顯然，相鄰兩個變量之間只允許有一個變量不同！(2)卡諾圖表示法

卡諾圖是平面方格陣列圖，其畫法滿足幾何相鄰原則：相鄰方格中的最小項僅有一個變量不同。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時，將函數(shù)中出現(xiàn)的最小項，在對應(yīng)方格中填1，沒有的最小項填0(或不填)，所得圖形即為該函數(shù)的卡諾圖。例把函數(shù)式和表示在卡諾圖中。m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m611101m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m61110111111111(3)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)試把下列邏輯函數(shù)式表示在卡諾圖中0101ABC00010110011110CD00011110AB000111100011010111000111

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，關(guān)鍵在于正確找出函數(shù)式中所包含的全部最小項，并用1標在卡諾圖對應(yīng)的方格中。(4)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)式的步驟如下：①根據(jù)變量的數(shù)目，畫出相應(yīng)方格數(shù)的卡諾圖；②根據(jù)邏輯函數(shù)式，把所有為“1”的項畫入卡諾圖中；③用卡諾圈把相鄰最小項進行合并，合并時應(yīng)按照20、21、22、23、24個相鄰變量圈定，并遵照卡諾圈最大化原則；④根據(jù)所圈的卡諾圈，消除圈內(nèi)全部互非的變量，保留相同的變量作為一個“與”項(注意圈圈時應(yīng)把卡諾圖看作成一個圓球體)，最后將各“與”項相或，即為化簡后的最簡與或表達式。例試把邏輯函數(shù)式CD00011110AB00011110用卡諾圖化簡。②把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖的方格中①畫出相應(yīng)方格數(shù)的卡諾圖0011110111000111③按最大化原則圈定卡諾圈④消去卡諾圈中互非變量后得最簡式3、畫卡諾圈的原則·在覆蓋所有1方格的前題下，卡諾圈的個數(shù)應(yīng)盡可能少。因為卡諾圈個數(shù)越少，函數(shù)表達式中的與項數(shù)目越少；·在滿足合并規(guī)律的前題下，卡諾圈應(yīng)盡可能大。因為卡諾圍中包含的最小項越多，相應(yīng)與項所含的變量數(shù)越少；·每個1方格至少被一個卡諾圈包圍，根據(jù)需要也可以被多個卡諾圈包圍?！とΦ膮^(qū)域可以是長方形或正方形，不能是其他形狀；·畫圈的次序是“先大后小”·消去的是相鄰方格中取值不同的變量，一個包圍2m個方格的卡諾圖，可以消去m個變量。例其余不為1的方格填寫上0圈卡諾圈：只對2n個相鄰為1項圈畫消去互為反變量的因子，保留相同的公因子，原函數(shù)化簡為：CD00011110AB000111101001001111110000例AB00011110CD000111101111111100000000試把邏輯函數(shù)式化簡。其余不為1的方格填寫上0圈卡諾圈：只對2n個相鄰為1項圈畫消去互為反變量的因子，保留相同的公因子，原函數(shù)化簡為：

當卡諾圈中的相鄰最小項為23個，即可消去3個互非的變量因子后合并為一項。