第三章幾何非線性

第三章

幾何非線性

大應變，大位移與大旋轉特性September30,19983-1StructuralNonlinearities-Revision5.5(001156)什么是幾何非線性？變形體幾何形態(tài)的改變將明顯影響物體的載荷－位移（如剛度）特性。幾何非線性并不只是指大位移，而且還包括幾何狀態(tài)改變所引起的任何結構響應的變化。它包括大應變、大位移和大旋轉。October17,20002幾何非線性–5.7版本幾何非線性特性如果一個單元的形狀發(fā)生改變（面積、厚度等），它本身的單元矩陣會發(fā)生改變。如果一個單元的取向改變，它的單元剛度向整體剛度的轉換矩陣將發(fā)生變化。XYXYOctober17,20003幾何非線性–5.7版本幾何非線性特性（續(xù))如果單元應變產生了明顯的面內應力(膜應力)，垂直于面的剛度會明顯受影響。XYP隨著垂直位移的增加(Y)，大的膜應力(SX)導致剛化響應。UYPOctober17,20004幾何非線性–5.7版本幾何非線性例子這是一個大應變分析的例子，一個軸對稱的橡膠密封件受壓縮。分析包括接觸，當密封件折疊時會發(fā)生自身接觸。October17,20005幾何非線性–5.7版本幾何非線性例子(續(xù))此例顯示了繞軸線捆扎一根鋼條。將金屬彎曲成不同的形狀是生產中常見的操作。在此例中，應變達到25%，頂端旋轉接近270度！初始形狀 變形形狀October17,20006幾何非線性–5.7版本幾何非線性問題的復雜性追隨力非線性應力應變度量一致的非線性剛度矩陣材料非線性不可壓縮性網(wǎng)格扭曲October17,20007幾何非線性–5.7版本注意當結構經歷大位移與旋轉時，載荷發(fā)生了什么變化。在許多情況下，載荷將在變形過程中保持一致的方向。在另一些情況下，承受大旋轉時，力將“追隨”單元改變方向。這兩種情況ANSYS都可模擬，取決于施加載荷的類型。追隨力與載荷方向October17,20008幾何非線性–5.7版本載荷方向加速度與集中力：保持它們的初始方向，忽略單元取向。表面壓力載荷：隨單元旋轉，因此總是垂直于變形單元的表面（這些是真正的追隨力）。更新壓力表面以計算大應變效應。因此，對于施加的常壓力，總壓力載荷將隨表面積的改變而改變。October17,20009幾何非線性–5.7版本載荷方向(續(xù))載荷位移前的方向位移后的方向加速度節(jié)點力單元壓力October17,200010幾何非線性–5.7版本什么是大應變？大應變分析設定應變不再是無限小的，而是有限的或相當大的。當應變超過一定百分比及不能忽視幾何形狀的改變時，可認為是大應變。大應變理論考慮了形狀的改變（例如厚度，面積等等）及任何大旋轉。October17,200011幾何非線性–5.7版本定義應變的要求應變是我們描述物體變形的手段。盡管在一定程度上應變的數(shù)學定義可以任意，但它仍必須滿足一些要求。October17,200012幾何非線性–5.7版本定義應變的要求(續(xù))無變形時應變?yōu)榱悖凶冃螘r不為零。通過材料的應力應變關系聯(lián)系應力和應變。如果材料旋轉大，但發(fā)生的是剛體位移，則應變?yōu)榱恪ctober17,200013幾何非線性–5.7版本應力與應變定義相對應對應于度量物體變形的應變，應力度量了物體單位面積上的力。盡管使用的應變可以是任意形式的，但使用的應力應與已定義的應變相關。October17,200014幾何非線性–5.7版本應力應變的共軛性在非線性大應變分析中使用的應力必須與應變共軛。共軛性是指應力應變相乘時，得到的是一個標量（應變能），其值與選擇的應力應變無關。October17,200015幾何非線性–5.7版本一維問題中的應力應變定義

我們將通過一個簡單的一維例題檢查不同的應力應變定義。FOctober17,200016幾何非線性–5.7版本工程應變工程應變是小（無窮?。兌攘浚褂贸跏嫉膸缀螛嬓斡嬎?。工程應變取決于初始長度，如，初始長度是事先已知的，所以工程應變是線性的。工程應變的應用局限于材料小旋轉，中等大小的剛體旋轉將導致非零應變。October17,200017幾何非線性–5.7版本工程應變的共軛應力為工程應力，工程應力的計算是當前的力除以初始面積。工程應力October17,200018幾何非線性–5.7版本一維問題中，對數(shù)應變由下面公式計算：對數(shù)應變是非線性應變，因為它是未知的最終長度的非線性函數(shù)。它同樣可稱為log應變。三維等效對數(shù)應變是Hencky應變。在大應變問題中，對數(shù)應變并不能自動適應任意大的旋轉。對數(shù)應變October17,200019幾何非線性–5.7版本真實應力或Cauchy應力與對數(shù)應變共軛的一維應力是真實應力,真實應力的計算是當前的力除以當前（或變形的）面積：真實應力通常也稱為Cauchy應力。October17,200020幾何非線性–5.7版本Green-Lagrange應變一維的Green-Lagrange應變由下面的公式計算：此應變是非線性的，因為它取決于未知的更新長度的平方。此種應變優(yōu)于對數(shù)應變或Hencky應變之處在于，它可自動適應大應變問題中的任意大旋轉。October17,200021幾何非線性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff應力Green-Lagrange應變的共軛應力是第二Piola-Kirchhoff應力。它的一維計算公式為：需要注意的是此種應力幾乎無實際意義。為了輸出，ANSYS總是將其轉化為Cauchy應力或真應力輸出。October17,200022幾何非線性–5.7版本AA0P將非線性應變定義擴展至一般的三維情況在二維或三維問題中，當物體承受大應變變形時，不只長度發(fā)生改變，而且厚度、面積與體積都發(fā)生改變。October17,200023幾何非線性–5.7版本運動與變形當物體承受一些外載時，它將移動和變形。如果我們觀察物體上一個點的運動，它的初始位置是，最終位置是，它運動的量為XYOctober17,200024幾何非線性–5.7版本變形梯度變形梯度是物體變形多少的一個度量，它的定義是：變形梯度包含的信息有：體積的改變旋轉由于應變造成的形狀改變October17,200025幾何非線性–5.7版本變形梯度注意定義時，變形梯度消除了平動；這是應變定義的必要條件。在定義應變時，同樣希望排除旋轉部分（因為它對應變無貢獻），并孤立出形狀改變部分?？墒褂脴O分解理論完成這項工作。October17,200026幾何非線性–5.7版本極分解變形梯度可使用極分解理論分解成一個旋轉部分和一個應變部分：=旋轉矩陣包含的信息為材料點作為剛體旋轉的大小與方向=拉伸矩陣包含的信息為物體在材料點處的應變October17,200027幾何非線性–5.7版本在已知拉伸矩陣的情況下，可導出一維對數(shù)應變與一維Green-Lagrange應變的三維一般形式。在定義應變時使用October17,200028幾何非線性–5.7版本Hencky應變對數(shù)（Hencky）應變可由下式計算：這里是以矩陣形式表示的應變張量。在這種情況下，是一維對數(shù)應變或真實應變的三維等效量。October17,200029幾何非線性–5.7版本Green-Lagrange應變在三維問題中，Green-Lagrange應變可直接由拉伸矩陣計算出，如下式所示：這種應變在計算時直接忽略了旋轉矩陣?？梢宰冃翁荻鹊男问綄懗觯缦率剿荆呵皟身検蔷€性小應變項，最后一項是應變的非線性項。October17,200030幾何非線性–5.7版本ANSYS使用何種非線性應變？在ANSYS程序中，使用什么樣的應變（如Hencky應變或Green-Lagrange應變）主要取決于材料定律：對于大應變塑性分析，ANSYS使用對數(shù)（Hencky）應變；應力應變數(shù)據(jù)以真應力－對數(shù)應變形式給出。對于大應變超彈性與粘－彈性分析，ANSYS使用Hencky應變或Green-Lagrange應變，這取決于使用的單元類型。October17,200031幾何非線性–5.7版本將非線性應力的定義擴展至三維問題正如在一維問題中一樣，對應于二維、三維問題中定義的非線性應變，都可定義與其共軛的應力。October17,200032幾何非線性–5.7版本Cauchy或真應力張量（以矩陣形式寫出）給出了在變形后構形每單位變形面積上的當前力。如果我們讓在三維問題中，Cauchy應力張量通過下式聯(lián)系與Cauchy應力是一個有實際意義的量。=變形體中定義單元面積的矢量=對應的作用于面積上的單元力Cauchy應力October17,200033幾何非線性–5.7版本第二Piola-Kirchhoff應力讓代表從位移中導出的力讓第二Piola-Kirchhoff應力張量使用下式聯(lián)系與是對稱的應力張量，它經常用于有限應變彈性公式，它是Green-Lagrange應變的共軛應力張量。是一個無實際意義的應力張量（假想應力張量）。=在未變形物體中定義單元面積的矢量，這里October17,200034幾何非線性–5.7版本與之間的關系

有實際意義的Cauchy應力可通過下式與無實際意義的第二Piola-Kirchhoff假想應力建立直接的聯(lián)系：October17,200035幾何非線性–5.7版本在非線性分析中ANSYS使用何種應力？為了確保應力與應變共軛，在ANSYS非線性分析中使用的應力度量（如Cauchy或第二Piola-Kirchhoff應力

）取決于應變度量。當使用Hencky（對數(shù)）應變時使用Cauchy應力。當使用Green-Lagrange應變時使用第二Piola-Kirchhoff應力。October17,200036幾何非線性–5.7版本輸入時ANSYS需要何種應力應變？對于大應變塑性分析（NLGEOM,ON），ANSYS需要真實應力應變曲線，而對于小應變分析（NLGEOM,OFF），ANSYS需要工程應力應變數(shù)據(jù)。但是，對于小應變響應，工程應變與對數(shù)（真）應變幾乎一樣。真實應力與對數(shù)應變數(shù)據(jù)可用于一般塑性分析。對于超彈性分析ANSYS需要工程應力應變數(shù)據(jù)來計算Mooney-Rivlin常數(shù)。October17,200037幾何非線性–5.7版本應力應變間的轉化對于單軸應力應變數(shù)據(jù)，工程應力應變可通過下式轉化為真實應力與對數(shù)應變注意上面的應力轉化假設承受大應變的材料是不可壓縮的或近似不可壓縮的。這種假設對于大塑性應變或超彈性材料適用。October17,200038幾何非線性–5.7版本ANSYS輸出采用何種應力形式？不管數(shù)值計算中使用的哪種應力（Cauchy應力或第二Piola-Kirchhoff應力），ANSYS總以實際上可解釋的Cauchy應力形式輸出所有的應力結果。October17,200039幾何非線性–5.7版本哪些單元支持大應變？BEAM188BEAM189HYPER56 HYPER58HYPER74 HYPER84 HYPER86 PLANE2 PLANE13 PLANE42 PLANE82PLANE182 SHELL43SHELL91SHELL93 SHELL181 SOLID45 SOLID92 SOLID95 SOLID185 VISCO106 VISCO107 VISCO108October17,200040幾何非線性–5.7版本非線性全一致切向剛度矩陣眾所周知在大多數(shù)非線性結構問題中，使用一致的非線性切向剛度矩陣可迅速增加Newton-Raphson法的收斂速度。通常在迭代求解過程中使用一致的或全切向剛度矩陣將得到平方的收斂速度。October17,200041幾何非線性–5.7版本一致的非線性剛度矩陣是對離散的有限元方程求偏導得出的，它是單元內部力矢量與單元外部力矢量的函數(shù)。什么是一致的非線性剛度矩陣？October17,200042幾何非線性–5.7版本離散的非線性靜態(tài)有限元方程離散的非線性靜態(tài)有限元方程單元級的公式如下所示：這里

=總體單元數(shù)量=單元坐標系中單元內部力矢量=將轉換到整體坐標系的轉化矩陣=總體坐標系中施加在單元上的載荷矢量October17,200043幾何非線性–5.7版本單元內部力矢量單元內部力矢量可由下式給出：=單元應變－節(jié)點位移矩陣=單元應力矢量=單元體積這里使用上面定義的內部力形式，離散的非線性有限元（力平衡）方程可重寫成下式：October17,200044幾何非線性–5.7版本推導增量形式的非線性剛度矩陣對離散的有限元方程求偏導可得到一致的非線性剛度矩陣如下所示這里October17,200045幾何非線性–5.7版本一致的非線性剛度矩陣=主切向矩陣=考慮了應力剛化作用的初始應力矩陣=在剛度關系中考慮了幾何改變效應的初始位移－旋轉矩陣

=在剛度關系中考慮了載荷取向改變（跟隨力）效應的初始載荷矩陣October17,200046幾何非線性–5.7版本下列梁單元與殼單元具有包含初始載荷矩陣（壓力載荷剛度）的全一致的切向剛度矩陣：梁單元:有限應變梁；Beam188,Beam189殼單元:有限應變殼；Shell181一致的非線性剛度矩陣October17,200047幾何非線性–5.7版本壓力載荷剛度對于其他三維實體單元或殼單元，要包含壓力載荷剛度計算需使用SURF154*。*對于二維分析，可在模型邊部使用Beam188單元或Beam189單元計算壓力載荷剛度。Surfaceeffectelement;SURF154

對于壓力載荷剛度可使用一個不對稱剛度選項。只有在收斂速度慢時才使用。October17,200048幾何非線性–5.7版本材料非線性在分析大應變范圍的結構行為時，需要處理非線性材料特性，如非線性彈性（超彈性）與塑性。塑性與超彈性都將在其各自的章節(jié)中討論。October17,200049幾何非線性–5.7版本不可壓縮性如前所述，在分析大應變范圍的結構行為時需要處理非線性材料特性，如非線性彈性（超彈性）與塑性。類橡膠的超彈性材料與象塑性實體一樣流動的材料經常顯示出一種稱之為不可壓縮性的實際現(xiàn)象（既產生應變但不發(fā)生體積改變）。October17,200050幾何非線性–5.7版本非線性材料特性中不可壓縮性的原因在橡膠與類橡膠材料中，泊松比接近0.5的自然材料呈現(xiàn)不可壓縮性。在發(fā)生塑性變形的實體中，流動定律通常不允許體積的改變。因此，如果塑性應變很大，在大應變范圍內材料響應近似不可壓縮。October17,200051幾何非線性–5.7版本不可壓縮與網(wǎng)格自鎖不論產生不可壓縮條件的原因是什么，此效應意味著在大應變分析中使用的標準的全積分有限元可能會遇到與網(wǎng)格自鎖相關的數(shù)值困難。October17,200052幾何非線性–5.7版本消除網(wǎng)格自鎖為了處理大應變分析中與不可壓縮效應相關的網(wǎng)格自鎖問題，可選用不同的單元公式：不協(xié)調模式選擇的消減積分一致的消減積分混和的U-P公式我們將在單元選擇一章中討論網(wǎng)格自鎖與不同的單元技巧。October17,200053幾何非線性–5.7版本網(wǎng)格扭曲大應變－大旋轉分析的每一步都會使用計算出的位移更新節(jié)點坐標?！靶隆钡木W(wǎng)格將作為下一步的起始點。如果網(wǎng)格嚴重扭曲，這一步的求解精度將成為問題。這類似于使用扭曲的網(wǎng)格完成一次線性分析。扭曲的網(wǎng)格將迅速降低分析精度。有時單元會發(fā)生“凹陷”。October17,200054幾何非線性–5.7版本減小網(wǎng)格扭曲效應考慮后繼的網(wǎng)格扭曲，適當劃分網(wǎng)格。避免過度約束邊界上的變形。避免使用帶中間節(jié)點的單元，因為此種單元更易受網(wǎng)格扭曲的影響。October17,200055幾何非線性–5.7版本在大應變分析中預測網(wǎng)格扭曲在拉伸試件的頸縮區(qū)，預測到其后可能發(fā)生的網(wǎng)格扭曲后劃分的初始網(wǎng)格。October17,200056幾何非線性–5.7版本

在大應變分析中預測網(wǎng)格扭曲未變形網(wǎng)格變形網(wǎng)格產生大的內角。角部單元包含更好的三角形形狀。October17,200057幾何非線性–5.7版本避免過分約束邊界處的變形FF約束邊界處的所有自有度，由于Poisson

效應將產出非常大的應變。October17,200058幾何非線性–5.7版本避免使用帶中間節(jié)點的單元在建立大應變、大位移模型時避免使用帶中間節(jié)點的單元。帶中間節(jié)點的（既高階）單元在更新幾何形狀時，單元的中間節(jié)點可能穿過單元移動，導致產生負的旋轉。October17,200059幾何非線性–5.7版本大彎曲作為大應變公式的一個子集，ANSYS支持一些沒有大應變特性的單元的大撓度，大旋轉，小應變特性。October17,200060幾何非線性–5.7版本大撓度理論在ANSYS中，大撓度理論（相對于大應變理論）假設變形與旋轉大，但機械應變（產生應力）小。每個單元除剛體運動外不改變形狀。大撓度理論是大應變理論的子集，它適用于ANSYS的許多舊的梁單元、殼單元和其他非線性單元。October17,200061幾何非線性–5.7版本大撓度過程大撓度理論的過程基于協(xié)轉方法；既一個開始時平行于單元坐標系的坐標系“貼”在單元上。此坐標系隨單元一起旋轉。用這種方法，精確計算了材料（或單元）的旋轉。在旋轉的坐標系中計算應變使用普通的小應變（工程應變）假設。October17,200062幾何非線性–5.7版本大撓度位移，應力與應變的方向計算出的位移按初始方向輸出，因為在大撓度分析中沒有更新節(jié)點坐標系取向。大撓度（小應變）分析中的應力應變是旋轉坐標系中的工程值；既單元坐標系隨單元旋轉。October17,200063幾何非線性–5.7版本何時激活大彎曲效應？當單元旋轉“大”到明顯影響求解精度時，需激活大撓度效應。遺憾的是，沒有明確的規(guī)定“大”到底有多大。“小”與“大”之間根據(jù)問題的不同相差非常大。October17,200064幾何非線性–5.7版本求解選項對支持大應變和/或大變形的單元激活此功能

Solution>AnalysisOption...NLGEOM,ON激活了支持大應變功能單元的此選項。如果使用的單元只支持大撓度，NLGEOM將激活大撓度求解。參照ANSYS

單元手冊。October17,200065幾何非線性–5.7版本求解選項(續(xù))激活求解控制時，打開非線性幾何（NLGEOM

）將在非線性剛度矩陣中缺省包含應力剛化項（在非線性剛度矩陣[Knl]中包含[K]

）。作為一個選項，你可對于一些舊單元選擇在形成非線性剛度矩陣時不包含[K]。Solution>AnalysisOptions...

很少關閉包含導致全一致[Knl]的應力剛化項。此命令對單元106,107,108,181,182,185,188,and189無作用!October17,200066幾何非線性–5.7版本求解選項推薦使用求解控制（缺省）。推薦的Newton-Raphson選項是不帶自適應下降的全Newton-Raphson選項（求解控制的缺省設置）。推薦使用自動時間步（求解控制的缺省設置）。確定對自動時間步設置足夠小的最小時間步。線性搜索選項（LNSRCH）對收斂振蕩問題有所幫助。October17,200067幾何非線性–5.7版本注意事項在大應變分析中預測網(wǎng)格扭曲，劃分適當?shù)木W(wǎng)格。參考預測網(wǎng)格扭曲的指南。使用適當?shù)膯卧愋秃头e分準則以解決網(wǎng)格自鎖問題。（在單元選擇一章中有相關的更詳細信息。）如果使用的單元不直接支持壓力載荷剛度，可使用表面單元（SURF154）。如果收斂速度慢，激活不對稱選項KEYOPT(5)=1。October17,200068幾何非線性–5.7版本注意事項時間步大小應控制在每個子步中的最大旋轉度數(shù)小于5或10度。對大旋轉分析不要使用預測。梁單元和殼單元使用足夠的網(wǎng)格密度；沒有一個單元可承受超過30度的彎曲度。如果自動時間步重復進行二分，這可能是由于結構不穩(wěn)定。繪制載荷位移響應曲線。October17,200069幾何非線性–5.7版本練習做： 為熟悉大應變求解，分析一個軸對稱的礅粗問題。此問題具有幾何非線性（大變形和大應變），材料非線性（塑性）和狀態(tài)非線性（接觸）特性。在變形的工件中累積等效塑性應變。9.0mmTargetReaction=800October17,200070幾何非線性–5.7版本練習步驟:1. 恢復數(shù)據(jù)庫upset.db。在此數(shù)據(jù)庫中包含分析使用的有限元網(wǎng)格和固定的邊界條件。2. 進入求解器并在pilot