第二章拉伸與壓縮

第二章拉伸與壓縮本章重點(diǎn)：1、軸向拉壓的強(qiáng)度和剛度計(jì)算2、材料的力學(xué)性質(zhì)3、拉壓靜不定問(wèn)題§2-1軸向拉伸與壓縮的概念一、工程實(shí)例與基本思路1、工程實(shí)例：工程中有很多構(gòu)件，例如鋼木組合桁架中的鋼拉桿和做材料試驗(yàn)用的萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)的立柱都是等直桿（連接部分除外），作用于桿上的外力合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形是縱向伸長(zhǎng)或縮短。這類構(gòu)件稱為拉(壓)桿。2、基本思路：實(shí)際問(wèn)題的提出計(jì)算模型分析內(nèi)力分析應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算分析變形計(jì)算剛度二、軸向拉壓的概念軸向拉壓是桿件的基本變形之一，其力學(xué)模型如圖所示1、外力特征外力的作用線與桿件的軸線相重合。2、構(gòu)件特征構(gòu)件一般為等截面的直桿。3、變形特征受力后桿件沿其軸線方向均勻伸長(zhǎng)(縮短)，即桿件任意兩橫截面沿桿件軸線方向產(chǎn)生相對(duì)的平行移動(dòng)。

§2-2軸向拉壓時(shí)橫截面的上的內(nèi)力與應(yīng)力一、軸向拉壓?jiǎn)栴}的計(jì)算模型受力：軸向變形：軸向的伸縮由此建立的計(jì)算模型如圖所示：二、內(nèi)力的計(jì)算內(nèi)力的求法：截面法拉伸為正，壓縮為負(fù)軸力的概念：若內(nèi)力的合力作用線與桿件的軸線重合則其稱為軸力軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。軸力圖：表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化的圖形。如沿桿件軸線有多個(gè)外力作用，則在桿件各部分的橫截面上軸力不相等。為了較直觀、明顯地表示各橫截面上的鈾力，常用軸力圖來(lái)表示。軸力圖繪制可通過(guò)下面的例題予以說(shuō)明。軸力圖的繪制步驟：1、列寫各段的軸力方程N(yùn)(x)

軸力方程要注意分段列寫2、按軸力方程畫(huà)出各段的軸力圖軸力圖必須與構(gòu)件畫(huà)在一起，一般畫(huà)在構(gòu)件下方其位置要一一對(duì)應(yīng)。3、突變的截面用直線連接起來(lái)。圖形的意義：1、每段圖形縱坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)截面上內(nèi)力的大小。2、突變的高度表示該截面上作用外力的大小。3、圖形回到橫軸上表示外力平衡。例：求圖示桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力解：CL2TU3軸力圖三、應(yīng)力問(wèn)題：1、橫截面上應(yīng)力的大??？2、應(yīng)力在截面上分布規(guī)律？1、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀測(cè)在試件上畫(huà)上網(wǎng)格后加載可觀測(cè)到：(1)網(wǎng)格的直角不變，(2)兩橫線之間均勻伸長(zhǎng)，(3)縱向線之間均勻收縮。FPP`由此可推斷：(1)

(2)

(3)泊松效應(yīng)沿橫截面均勻分布2、應(yīng)力的計(jì)算公式根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以假設(shè)：變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線；即平面假設(shè)。由截面上應(yīng)力建立平衡方程，在截面上任意一點(diǎn)截取一面積微元dA，設(shè)其上的應(yīng)力為：，則dN=dA；故可得：由前面(2)的推斷，可知正應(yīng)力與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，為一常數(shù)，則所以：(2-1)3、討論：(1)如果桿件為階梯桿或變截面桿，可用否？(2)加載方式對(duì)桿的加載端的影響？階梯桿：在每段內(nèi)公式仍適用，但在突變面上不適用。變截面桿：一般可以應(yīng)用。對(duì)于截面連續(xù)變化的桿，當(dāng)桿件兩側(cè)棱邊的夾角小于20度時(shí)，公式(2-1)的計(jì)算誤差約為3%。加載方式的影響一般不考慮，其由圣維南原理來(lái)保證。圣維南(SaintVenant)原理：

作用于物體某一局部區(qū)域內(nèi)的外力系，可以用一個(gè)與之靜力等效的力系來(lái)代替。而兩力系所產(chǎn)生的應(yīng)力分布只在力系作用區(qū)域附近有顯著的影響，在離開(kāi)力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布幾乎相同。§2-3斜截面上的應(yīng)力問(wèn)題：(1)斜截面上應(yīng)力P與橫截面上的應(yīng)力有何關(guān)系？(2)斜截面上應(yīng)力的大??？PPPP一、求內(nèi)力如上圖所示，二、求應(yīng)力：1、用內(nèi)力與橫截面的面積：其前提條件是，斜截面上的應(yīng)力均勻分布2、將全應(yīng)力進(jìn)行分解：即可得：這說(shuō)明縱向無(wú)擠壓§2-3材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能問(wèn)題：前面求出的應(yīng)力有何用途？一、材料的力學(xué)（機(jī)械）性質(zhì)——指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞方面的特性(討論范圍：金屬材料)二、實(shí)驗(yàn)條件：常溫、緩慢平穩(wěn)加載（靜載）一、低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)試件標(biāo)距，通常取或夾頭夾頭液壓式萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)底座活動(dòng)試臺(tái)活塞油管低碳鋼——含碳量在0.3%以下的碳素鋼。P（P—曲線——拉伸圖1.彈性階段oab：這一階段可分為：斜直線Oa和微彎曲線ab，該段范圍內(nèi)，試件變形是彈性的，卸載后變形可完全恢復(fù)。。Oa段：變形是線彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。直線oa為線彈性區(qū)，其應(yīng)力與應(yīng)變之比稱材料的彈性模量（楊氏模量）E，幾何意義為應(yīng)力--應(yīng)變曲線上直線段的斜率。比例極限彈性極限屈服極限2.屈服階段bc上屈服極限下屈服極限

表面磨光的試件，屈服時(shí)可在試件表面看見(jiàn)與軸線大致成45°傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部晶格之間相對(duì)滑移而形成的，稱為滑移線。因?yàn)樵?5°的斜截面上剪應(yīng)力最大。強(qiáng)化階段的變形絕大部分是塑性變形3.強(qiáng)化階段cd強(qiáng)度極限4.

頸縮階段de比例極限σp屈服極限σs強(qiáng)度極限σb其中σs和σb是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)延伸率:截面收縮率:冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)過(guò)退火后可消除卸載定律：冷作硬化常溫下把材料予拉到塑性變形階段，然后卸載，再次加載時(shí)，材料的線彈性范圍將增大，使材料屈服極限提高，而塑性降低。材料在卸載時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變成直線關(guān)系殘余應(yīng)變（塑性應(yīng)變）二、其它材料的拉伸實(shí)驗(yàn)

對(duì)于在拉伸過(guò)程中沒(méi)有明顯屈服階段的材料，通常規(guī)定以產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服極限，并稱為名義屈服極限，用σ0.2來(lái)表示CL3TU3

沒(méi)有屈服現(xiàn)象和頸縮現(xiàn)象,只能測(cè)出其拉伸強(qiáng)度極限三、灰口鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)切線模量：曲線在任意應(yīng)變處的斜率，用割線模量：由原點(diǎn)至曲線上對(duì)應(yīng)于任意應(yīng)變點(diǎn)連線的斜率，用顯然切線、割線模量是變量彈性模量割線切線§2-4

材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)一般金屬材料的壓縮試件都做成圓柱形狀低碳鋼壓縮時(shí)的σ-ε曲線CL3TU9拉伸壓縮測(cè)不出鑄鐵壓縮時(shí)的σ-ε曲線拉伸壓縮巖石的單向壓縮§2-5軸向拉壓的強(qiáng)度計(jì)算

理論上只要構(gòu)件中最大工作應(yīng)力小于極限應(yīng)力構(gòu)件就能安全工作材料在拉壓時(shí)的強(qiáng)度：拉壓桿中的工作應(yīng)力：一、許用應(yīng)力安全系數(shù)：實(shí)際：最大工作應(yīng)力是按計(jì)算獲得的，可能偏小；②由于材質(zhì)不均勻，材料試驗(yàn)獲得的極限應(yīng)力比實(shí)際偏大；③需要考慮一定的安全儲(chǔ)備n>1——安全系數(shù)二、對(duì)于塑性材料許用應(yīng)力就是桿件被人為規(guī)定的實(shí)際應(yīng)力允許達(dá)到的最高限度令對(duì)于脆性材料所以，強(qiáng)度條件為：(2-2)三、三類強(qiáng)度問(wèn)題1、強(qiáng)度計(jì)算：結(jié)合載荷P，桿件尺寸A，材質(zhì)等條件按(2-2)式桿件是否工作安全。2、選擇桿件合理的截面尺寸：給定的條件：P，,

來(lái)確定桿件的截面尺寸。3、確定桿件的許用載荷：給定條件：A，，確定桿件能承受的最大載荷[P]。四、例題例1：一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力[σ]=170MPa，受軸向拉力P=2.5kN作用，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度條件。解：滿足強(qiáng)度條件。例2：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,試選擇等邊角鋼的型號(hào)。解：例3：圖示起重機(jī)，鋼絲繩AB的直徑d=24mm，[σ]=40MPa，試求該起重機(jī)容許吊起的最大荷載P。解：例題4：結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖。設(shè)AB、CD均為剛體，BC和EF為圓截面鋼桿。鋼桿直徑d=25mm，兩材料均為Q235鋼，其許用應(yīng)力[]=160MPa。若以知荷載P=39KN，試校核該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度是否安全。ABcDEFP30007506003200解：1、分析杠件內(nèi)力，確定危險(xiǎn)構(gòu)件：取AB桿研究：ABP30007506003200CDE取CD桿研究：比較可見(jiàn)>桿EF為危險(xiǎn)桿2、計(jì)算應(yīng)力：桿EF橫截面上的應(yīng)力3、校核是否安全：由于[]=160MPa，結(jié)構(gòu)中危險(xiǎn)構(gòu)件最大工作應(yīng)力=151MPa，故<[]，結(jié)構(gòu)安全。討論：1、上例中若BC、EF桿直徑未知，試設(shè)計(jì)兩桿所須直徑。解：兩桿材料相同，受力不同，故所須直徑不同，討論：2、上例中若BC、EF桿直徑均為d=30mm，荷載P未知，試確定結(jié)構(gòu)所能承受的許可載荷[P]。解：1、據(jù)前受力分析，ABP30007506003200CDE（1）（2）2、兩桿的許可載荷：3、選擇結(jié)構(gòu)的許可載荷：按BC桿選擇由（1）按EF桿選擇：由（2）故結(jié)構(gòu)的許可荷載為*本題也可由受力分析知，EF桿為危險(xiǎn)桿，而直接由選擇許可荷載?！?-5軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

虎克定律一、虎克定律杠件作用P后軸向伸長(zhǎng)杠件產(chǎn)生橫向收縮問(wèn)題：為何計(jì)算、，與哪些因素有關(guān)？與哪些因素有關(guān)？1、杠件軸向伸長(zhǎng)由試驗(yàn)得到：材質(zhì)：E經(jīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理歸納出表示材料抵抗變形的能力稱為彈性模量，是材料的特征量。單位Mpa(MN/m2)，GPa(GN/m2)。(3)

(3)式稱為虎克定律，是由軸向拉壓試件的試驗(yàn)得到的。2、應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系(4)說(shuō)明(4)式與(3)式的意義是否不同？(思考？)式(3)和(4)是虎克定理的兩種表達(dá)形式。注意：虎克定律在彈性范圍內(nèi)桿件的伸縮變形與載荷成正比，與杠長(zhǎng)成正比，與截面積成反比，或在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比。

3、橫向變形：試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)。即：μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松(Poisson)比，也是材料固有的彈性常數(shù)，其無(wú)量綱。二、拉壓桿件變形的計(jì)算1、等直截面桿受集中力作用。2、變截面桿PqxdxN(x)N(x)例題PPLxxdx解：徐變截面桿取dx微段研究：故：由例：考慮自重影響的等之桿變形。已知P、桿長(zhǎng)L、A、E、容重。P解：1）求軸力N（x）Pxxx若已知[]求許可桿長(zhǎng)。2）求變形：dxdxN（x）N（x）取微段dx研究N（x）xP+AL積分：PN（x）3）求許可桿長(zhǎng)BDC4m3m例題：簡(jiǎn)單托架，BC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號(hào)槽鋼。[]=160MPa，E=200GPa，P=60KN，試求B點(diǎn)的位移。解：一、分析構(gòu)件受力：取B點(diǎn)研究PP（“-”表示與圖示方向相反，為壓力）BBDC3mPP4m二、分析計(jì)算B點(diǎn)的位移：假想把B節(jié)點(diǎn)松開(kāi)，B受力后B點(diǎn)移到其位移§2-6軸向拉壓的變形能一、變形能的概念1、定義：桿件在載荷作用下由于本身的變形而儲(chǔ)存的能量稱為變形能(應(yīng)變能)2、外力的功：在材料力學(xué)中載荷P在其引起的變形上所做功為：二、變形能的表達(dá)式由能量守恒原理，根據(jù)材料力學(xué)的特征可得知外力所做的功等于桿件變形能。若為一般性桿系，則可得：(1)三、變形比能1、定義：桿件單位體積所儲(chǔ)存的能量稱為變形比能。表達(dá)為：(2)注意：(1)式是整個(gè)桿件的變形能，其只能用于均勻應(yīng)力狀態(tài)的桿件(2)式是桿件內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變能，可用于任意情況。2-7拉（壓）超靜定問(wèn)題一、靜定與超靜定的概念：PABC靜定問(wèn)題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問(wèn)題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，僅用靜力平衡方程便無(wú)法確定全部未知力，這類問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或靜不定問(wèn)題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu)。多余約束：在靜定結(jié)構(gòu)上加上的一個(gè)或幾個(gè)約束，對(duì)于維持平衡來(lái)說(shuō)是不必要的約束（但對(duì)于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對(duì)應(yīng)的約束力稱多余約束反力（B——固端約束）PCB超靜定次數(shù)：未知力個(gè)數(shù)與平橫方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)。二、靜不定問(wèn)題的解法：PCB1）由靜力平衡條件：2）變形協(xié)調(diào)（相容）條件：A3）由力與變形間的物理關(guān)系：4）補(bǔ)充方程：(1)(2)解題關(guān)鍵：找變形相容條件、建立補(bǔ)充方程。BAP1P2小練習(xí)：E、A為已知。例題：一、桿上段為銅，，下段為鋼桿，桿的下端與支座B相距=1.25mm。求上、下段內(nèi)的應(yīng)力。PABCPCBA解：1）取AB桿研究：建立平衡方程試算B端與下部是否接觸即P引起的AC桿伸長(zhǎng)量：（1）2）找變形相容條件：3）代入物理關(guān)系（胡克定律），建立補(bǔ)充方程：（2）4）聯(lián)立（1），（2）求解：5）求應(yīng)力：二、結(jié)構(gòu)如圖，1，2桿抗拉剛度為P力作用下，求各桿內(nèi)力。PA123解：1）取A結(jié)點(diǎn)研究，建立平衡方程P（1）未知力個(gè)數(shù)2個(gè)，平衡方程數(shù)1個(gè)，固為一次超靜定L123LA2）找變形相容條件：由結(jié)構(gòu)、材料、荷載的對(duì)稱性3）代入物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程（2）4）聯(lián)立（1），（2）求解：三、列出平衡方程、變形相容調(diào)件。123Laa剛體PP解：1）列平衡方程，取AB研究ABAB2）找變形相容條件：三、裝配