第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)的頻域分析3.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(FS)3.2傅里葉變換(FT)3.3LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域(FT)分析3.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(FS)3.1.1三角函數(shù)形式的FSp48其系數(shù)公式為也可以寫成另外一種形式的三角函數(shù)形式FS展開式：注

狄里赫利（Dirichlet）條件是：（1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；（3）在一周期內(nèi)，信號(hào)滿足絕對(duì)可積。3.1.2指數(shù)函數(shù)形式的FSp49

兩種形式FS系數(shù)的關(guān)系3.1.3周期信號(hào)的頻譜p511.單邊頻譜:將周期信號(hào)展開成三角函數(shù)形式FS

（a）單邊幅度頻譜

（b）單邊相位頻譜圖3-1周期信號(hào)的單邊頻譜kAw005w010w0wtp2tp4w005w010wp2-0w2、雙邊頻譜p51若周期信號(hào)fT(t)的指數(shù)形式傅里葉展開式為：稱：005w010w05w-010w-0w（a）雙邊振幅頻譜wtp2tp4tp4-tp2-kqw005w010wp2-p20w05w-010w-（b）雙邊相位頻譜圖3-2周期信號(hào)的雙邊頻譜3、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)p51（1）頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，即頻譜具有離散性。（2）頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。（3）幅頻特性的變化趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減??；當(dāng)諧波次數(shù)無限增大時(shí)，諧波分量的振幅也就無限趨小，即幅度頻譜具有收斂性。簡(jiǎn)記為:離散性.諧波性和幅頻特性收斂性。3.1.5周期信號(hào)的頻帶寬度p51圖3-3周期矩形脈沖信號(hào)的波形

02t2t-TT-)(tftE……若將周期矩形脈沖信號(hào)展開為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，則可得：

00wtp2-tp4tp2akwTEt圖3-4周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜52E0tp2tp4w1wt)(tftET2Tt)(tftETkA5Etp2tp4w0圖3-5不同值下周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜(b)T=10τ

t)(tftETTtp2tp452EkA0w1w(a)t)(tftET2TkAtp25Ew01w(b)圖3-6不同值下周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜3.2傅里葉變換(FT)p513.2.1

FT的引入p513.2.2FT的定義p53傅里葉變換存在的條件傅里葉變換存在的充分條件是：信號(hào)的頻譜典型信號(hào)的傅里葉變換1．門函數(shù)（矩形脈沖）

（a）門函數(shù)

（b）門函數(shù)的頻譜圖3-7門函數(shù)及其頻譜1t02t-2twtp4t0tp2tp2-2、單邊指數(shù)函數(shù)設(shè)單邊指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為：即：其振幅頻譜和相位頻譜分別為：（a）單邊指數(shù)函數(shù)

)(wFaAw)(wj02p2p-（b）單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖3-8單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜3、單位沖激函數(shù)根據(jù)傅里葉變換的定義，下圖給出了單位沖激函數(shù)及其頻譜

（a）單位沖激函數(shù)

（b）單位沖激函數(shù)的頻譜圖3-9單位沖激函數(shù)及其頻譜0w14、直流信號(hào)設(shè)直流信號(hào)：它不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能用傅里葉積分式求傅里葉變換。根據(jù)對(duì)稱性，可得：w0(w)F)2(Ap

（a）直流信號(hào)

（b）直流信號(hào)的頻譜圖3-10直流信號(hào)及其頻譜3.2.3傅里葉變換的基本性質(zhì)p551、線性特性p552、時(shí)移特性p563.頻移特性p57推論：調(diào)制定理Apτ(t)2t-02ttAtAF[pτ(t)]w0tp2tp2-（a）門函數(shù)及其頻譜（b）高頻脈沖信號(hào)及其頻譜

圖3-11高頻脈沖信號(hào)的頻譜y(t)=Apτ(t)costw0t

2t-2tAt2tA(jw)Yw0tpw20-0w-0wtpw20+4、尺度變換特性p59（a）（b）（c）圖3-12尺度變換性質(zhì)的說明5、對(duì)偶性p6021t)(212tp01-11w)(wSa0pp-（a）門函數(shù)及其頻譜t1)(tSa0pp-p)(2tpp01-1w（b）抽樣函數(shù)及其頻譜

圖3-136、FT的卷積特性p62（1）時(shí)域卷積定理證明：交換積分次序[證畢]2t-2t1tf1(t)=pτ(t)02t-2t1tf2(t)=pτ(t)00tttt-f(t)=f1(t)*f2(t)=*（a）時(shí)域卷積運(yùn)算tt（b）頻域相乘運(yùn)算圖3-14FT時(shí)域卷積特性tw0tp2tp2-tw0tp2tp2-2tw0p2p2-磢=（2）頻域卷積特性（a）時(shí)域相乘運(yùn)算0000（b）頻域卷積運(yùn)算圖3-15FT頻域卷積特性╳=1-2t-02tt1t0coswLLt1tty0cos)(w=2t-2t1t1-*=tw0tp2tp2-ww-w[]t0coswF2tw0w-0w)(p)(p7、時(shí)域微分和時(shí)域積分p64（1）時(shí)域微分特性證明：（2）時(shí)域積分證明：

（a）門函數(shù)（b）門函數(shù)的積分圖3-16

FT時(shí)域積分特性2t-02ttt12t-02tt19、頻域微分特性p728.周期函數(shù)的FTp67證明：)1()1()1()1()1()1()1(0)(tTdTT-2T3T2T-3T-LLt)(0ww00w-0w[])(tTdF)(0w)(0w)(0w)(0w02w02w-LL

（a）周期單位沖激序列

（b）周期單位沖激序列的頻譜

圖3-17均勻沖激串的FT1t)(tfT02t-2t1T1T-LLw[])(tfTF00w0w-tw0

（a）周期矩形脈沖

（b）周期矩形脈沖的頻譜圖3-18方波串的頻譜*10、實(shí)虛奇偶性（2）*11、能量定理3.2.4有理真分式的部分分式展開p723.3LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.3.1LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

p76

2、、h(t)的關(guān)系p773.3.2LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析p781.用FT法求LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

（a）矩形脈沖信號(hào)（b）RC電路圖3-19（a）矩形脈沖信號(hào)及其幅頻特性曲線tw0tp2tp2-2t-2t1t)(tx0（b）RC低通電路的沖激響應(yīng)及其幅頻特性曲線

0wte-1t)(th01（c）RC低通電路的響應(yīng)及其幅頻特性曲線圖3-20矩形脈沖信號(hào)通過RC低通電路tw0tp2tp2-2t-2t1t)(ty02、LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為h(t)則根據(jù)時(shí)域分析可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：3.3.3周期信號(hào)通過LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)p791.將周期為T的周期信號(hào)fT(t)展開為：設(shè)系統(tǒng)頻率響應(yīng)為H(ω),則輸出2.周期信號(hào)展開成三角函數(shù)形式時(shí)求響應(yīng)

（a）周期方波信號(hào)（b）RC電路圖3-213.3.4

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)p811．無失真?zhèn)鬏數(shù)臄?shù)學(xué)模型無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(t)的波形與輸入激勵(lì)f(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，時(shí)間前后有所差異，因此，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為:)()(0ttKfty-=LTI系統(tǒng)+-'112'2+-)(tf)()(0ttKfty-=tt0t00)(tf)(ty圖3-22LTI系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)模型取傅里葉變換，可得：所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)為：)()(0ttKfty-=由此可得，系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：圖3-23無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻譜特性0wK0w0tw-3.3.5調(diào)制.解調(diào)的概念

3.3.6理想濾波器的概念p82理想低通濾波器p83頻率響應(yīng)因?yàn)椋核詔)(th00tcwp2t)(td0)1(pwc圖3-24理想低通濾波器的沖激響應(yīng)3.3.7時(shí)域取（抽）樣p87返回首頁(yè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)抽樣的工作原理如圖所示。抽樣器相當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開關(guān)，它每隔一個(gè)周期T閉合一次，每次閉合時(shí)間為τ，從而得到樣值信號(hào)fs(t)。)(tf0tS)(tf)(tfs抽樣器)(tfs0tTT-圖3-25信號(hào)的抽樣

圖3-26抽樣開關(guān)信號(hào)

)(ts0tTT-1T2t……

圖3-27抽樣模型理想時(shí)域取樣的數(shù)學(xué)模型為)(tf)(tδT)()(?δT(t)tftfs=1、理想時(shí)域取樣的數(shù)學(xué)模型p87fs(t)稱為原信號(hào)f(t)的時(shí)域取樣信號(hào)，T稱為取樣周期，稱為取樣角頻率。2、理想時(shí)域取樣的時(shí)域關(guān)系p87)(tf0t)(tTd0t)(tfstT-T0T-T)1(=t圖3-28時(shí)域抽樣的時(shí)域關(guān)系（a）原信號(hào)波形圖及頻譜圖3、理想時(shí)域取樣的頻域關(guān)系p870)(tftw0)(wFmwmw-1（b）均勻沖激串信號(hào)波形圖及頻譜圖)1(0TT-T2T2-LLt)(0ww00w-0w0w20w2-LL（c）抽樣信號(hào)及其頻譜圖3-29時(shí)域抽樣與頻譜分析w0)(tfst0T-TT2T2-0w0w-T1LLLLmwmw-4.奈奎斯特間隔p88若信號(hào)帶限則稱為信號(hào)f(t)的奈奎斯特間隔；為信號(hào)f(t)的奈奎斯特頻率；為信號(hào)f(t)的奈奎斯特角頻率。5.時(shí)域取樣定理p89時(shí)域抽樣定理：一個(gè)最高頻率為fm(或ωm)，頻帶有限的連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)可以用均勻等間隔的抽樣信號(hào)fs(t)值（即抽樣值）唯一地來表示。即時(shí)域取樣定理說明:信號(hào)在時(shí)域抽樣時(shí)必須滿足兩個(gè)條件。（