第14講 麥克斯韋方程組(II)

電磁場(chǎng)與電磁波主講：史琰Field

and

Wave

ElectromagneticsMaxwell通過(guò)深入的分析，研究并創(chuàng)新地提出了位移電流，最后完成電磁大綜合，而且預(yù)言了電磁波的存在，其速度為光速c，給出了光和電磁統(tǒng)一學(xué)說(shuō)：Maxwell方程組。Review微分形式積分形式全電流定律

法拉第電磁感應(yīng)定律

磁通連續(xù)性原理高斯定理2023/2/3shiyan@2Review左旋右旋“平衡”電磁波也正是這種“平衡”的產(chǎn)物

2023/2/3shiyan@3麥克斯韋小傳麥克斯韋(JamesClerkMaxwell1831～1879)英國(guó)物理學(xué)家16歲進(jìn)入愛(ài)丁堡大學(xué)，后轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)研習(xí)數(shù)學(xué)，畢業(yè)后留校任職。1871年受聘為劍橋大學(xué)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)教授，負(fù)責(zé)籌建該校的第一所物理學(xué)實(shí)驗(yàn)室——卡文迪許實(shí)驗(yàn)室，1874年建成后擔(dān)任主任。1879年11月5日在劍橋逝世，終年只有49歲。2023/2/3shiyan@4愛(ài)因斯坦在自傳中說(shuō)：“在我求學(xué)的時(shí)代，最吸引人的題目就是麥克斯韋的理論”，“狹義相對(duì)論起源于麥克斯韋的電磁場(chǎng)方程”。1931年，在紀(jì)念麥克斯韋誕生100周年時(shí)，愛(ài)因斯坦把麥克斯韋的電磁場(chǎng)貢獻(xiàn)評(píng)價(jià)為“自牛頓時(shí)代”以來(lái)物理學(xué)所經(jīng)歷的最深刻最有成效的變化。”一位著名的現(xiàn)代物理學(xué)家曾感嘆說(shuō)：“麥克斯韋的思想是太不平常了，甚至像亥姆霍茲和波耳茲曼這樣有異常才能的人，為了理解它，也花了幾年的力氣?！钡?6講麥克斯韋方程組(II)2023/2/3shiyan@5Maxwell方程組的邏輯關(guān)系本構(gòu)關(guān)系時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件坡印亭能量定理電磁位Maxwell方程組的邏輯關(guān)系麥克斯韋方程組并非相互獨(dú)立的四個(gè)方程只有三個(gè)獨(dú)立的方程2023/2/3shiyan@6Maxwell方程組的邏輯關(guān)系麥克斯韋方程組的兩個(gè)旋度方程以及電流連續(xù)性方程可構(gòu)成時(shí)變電磁場(chǎng)一組獨(dú)立的方程，該組方程中共含有七個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程。2023/2/3shiyan@7Maxwell方程組的邏輯關(guān)系2023/2/3shiyan@8麥克斯韋方程是描述電磁普遍規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，已被證明適用于任何情況的電流連續(xù)性方程亦可通過(guò)Maxwell方程得到(電流連續(xù)性方程隱含在麥克斯韋方程組中)。場(chǎng)源J和ρ之間不是互相獨(dú)立。在實(shí)際工程中，通常采用給定場(chǎng)源J的條件下求解電磁場(chǎng)。Maxwell方程組的邏輯關(guān)系例1已知在無(wú)源的自由空間中 其中E0、β為常數(shù)，求。[解]區(qū)域無(wú)源，即所研究區(qū)域內(nèi)沒(méi)有場(chǎng)源電流和電荷：J=0,ρ=02023/2/3shiyan@9本構(gòu)關(guān)系2023/2/3shiyan@10麥克斯韋方程組中含有5個(gè)矢量，1個(gè)標(biāo)量，即一共16個(gè)標(biāo)量獨(dú)立的標(biāo)量方程只有7個(gè)麥克斯韋方程無(wú)法完全確定四個(gè)電磁場(chǎng)矢量需要另有9個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程來(lái)約束電磁場(chǎng)本構(gòu)方程描述電磁介質(zhì)與場(chǎng)矢量之間的本構(gòu)(constitutive)關(guān)系本構(gòu)方程與麥克斯韋方程構(gòu)成自身一致的方程組本構(gòu)關(guān)系表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)2023/2/3shiyan@11本構(gòu)關(guān)系2023/2/3shiyan@12ε：介電常數(shù)μ：磁導(dǎo)率σ：電導(dǎo)率σ=0為理想介質(zhì)；σ=∞為理想導(dǎo)體；電導(dǎo)率介于二者之間稱(chēng)為電介質(zhì)；真空中：ε=ε0，μ=μ0，σ=0介質(zhì)性質(zhì)：線性(linear)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān)各向同性(isotropic)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無(wú)關(guān)均勻(homogeneous)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與位置無(wú)關(guān)色散(dispersive)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率有關(guān)本構(gòu)關(guān)系2023/2/3shiyan@13對(duì)于色散媒質(zhì)，當(dāng)一個(gè)包含多個(gè)頻率的信號(hào)在其中傳播時(shí)，由于不同頻率信號(hào)的傳播速度不相同，從而引起信號(hào)的失真。洛侖茲力2023/2/3shiyan@14電荷(運(yùn)動(dòng)或靜止)激發(fā)電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)反過(guò)來(lái)對(duì)電荷有作用力。當(dāng)空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，以恒速v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q所受的力為如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為ρ，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場(chǎng)力密度為洛侖茲力公式近代物理學(xué)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了洛侖茲力公式對(duì)任意運(yùn)動(dòng)速度的帶電粒子都是適應(yīng)的。時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件2023/2/3shiyan@15麥克斯韋方程組的微分形式只適用于場(chǎng)矢量的各個(gè)分量處處可微的區(qū)域?qū)τ趯?shí)際的區(qū)域，會(huì)有很多結(jié)構(gòu)引起電磁場(chǎng)場(chǎng)量的不連續(xù)性，需要通過(guò)邊界條件來(lái)確定分界面上的電磁場(chǎng)特性：不同介質(zhì)的分界面上會(huì)存在束縛面電荷、面電流分界面上也可能存在自由面電荷、面電流在這些面電荷、面電流的影響下，場(chǎng)矢量在分界面可能不連續(xù)邊界條件是描述場(chǎng)矢量越過(guò)分界面時(shí)場(chǎng)量變化規(guī)律的一組方程，由積分方程形式的麥克斯韋方程組得到。時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件矢量分解(I)取界面法向單位矢為n該點(diǎn)處場(chǎng)矢為FF可以是任意一個(gè)場(chǎng)矢(E,D,H,B)第一項(xiàng)在法向方向，稱(chēng)為法向分量第二項(xiàng)垂直于法向方向，稱(chēng)為切向分量任意一個(gè)矢量都可以分解成為法向分量和切向分量的合成矢量2023/2/3shiyan@16時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件2023/2/3shiyan@17矢量分解(II)時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件μ1ε1σ1μ2ε2σ2nF1F2△Sh2023/2/3shiyan@18法向分量邊界條件兩種相鄰介質(zhì)分界面的任一橫截面時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件電場(chǎng)法向邊界條件電通量如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為由高斯定理2023/2/3shiyan@19時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件若分界面上無(wú)自由面電荷分界面上有自由面電荷，電位移矢量D法向分量Dn不連續(xù)，有一等于面電荷密度ρS的突變；分界面上無(wú)自由面電荷，則電位移矢量D法向分量Dn連續(xù)；分界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的法向分量En一般不連續(xù)。2023/2/3shiyan@20時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件磁場(chǎng)法向邊界條件由磁通連續(xù)性原理由本構(gòu)關(guān)系可知2023/2/3shiyan@21時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件切向分量邊界條件n：由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1的界面法向單位矢量l：Δl中點(diǎn)處分界面的切向單位矢量b：垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量μ1ε1σ1μ2ε2σ2nblh△l2023/2/3shiyan@22時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件電場(chǎng)切向邊界條件考慮麥克斯韋方程組推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律積分回路上的積分結(jié)果面積分結(jié)果切向邊界條件2023/2/3shiyan@23時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件磁場(chǎng)切向邊界條件考慮麥克斯韋全電流定律：積分回路上的積分結(jié)果位移電流積分結(jié)果2023/2/3shiyan@24時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件若分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則在回路所圍的面積上因此切向邊界條件面電流密度方向?yàn)榉纸缑娴那邢驑?biāo)量形式的邊界條件：2023/2/3shiyan@25時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件若分界面上沒(méi)有自由面電流分界面上有自由面電流時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量不連續(xù)分界面上無(wú)自由面電流時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)磁感應(yīng)強(qiáng)度的切向分量一般不連續(xù)2023/2/3shiyan@26時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件：2023/2/3shiyan@27時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件理想介質(zhì)的邊界條件理想介質(zhì)：σ=0無(wú)歐姆損耗的簡(jiǎn)單介質(zhì)理想介質(zhì)表面無(wú)自由面電荷和自由面電流矢量形式的邊界條件標(biāo)量形式的邊界條件2023/2/3shiyan@28時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件理想導(dǎo)體邊界條件理想導(dǎo)體：σ→∞理想導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)為零理想導(dǎo)體表面的邊界條件電力線垂直導(dǎo)體表面磁力線平行導(dǎo)體表面2023/2/3shiyan@29時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件例2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè) 為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分 界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。[解]

利用理想導(dǎo)體與空氣介質(zhì)分界面上的電流連續(xù)性原理2023/2/3shiyan@30利用理想導(dǎo)體與空氣介質(zhì)分界面上的電流連續(xù)性原理若在初始時(shí)刻面電荷為零：t=0時(shí)，ρS=0由電場(chǎng)邊界條件：時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件2023/2/3shiyan@31時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件例3設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1,μr1=1,σ1=0；區(qū)域 Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=5,μr2=20,σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為區(qū)域Ⅱ中的電場(chǎng)強(qiáng)度為試求：

(1)常數(shù)A；

(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2；

(3)證明在z=0處H1和H2滿(mǎn)足邊界條件2023/2/3shiyan@32時(shí)變電磁場(chǎng)邊界條件[解](1)在介質(zhì)分界面上介質(zhì)I及介質(zhì)II中的電場(chǎng)強(qiáng)度為： 顯然，電場(chǎng)強(qiáng)度均在分界面的切向方向，應(yīng)用電 場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)邊界條件可得：

(2)由麥克斯韋方程組可知

(3)在介質(zhì)面上考察磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向方向，可知2023/2/3shiyan@33時(shí)變電磁場(chǎng)的能量與靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)一樣，時(shí)變電磁場(chǎng)也具有能量更重要的是特有的能量流動(dòng)現(xiàn)象。當(dāng)隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)以恒定的速度傳播時(shí)，必將伴隨著能量的傳播，形成電磁能流。在隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)的任一給定區(qū)域中，電磁場(chǎng)的能量不再是恒量。在自然界中，能量是守恒的作為物質(zhì)的一種特殊形態(tài)——電磁場(chǎng)，遵循自然界一切物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的普遍法則——能量守恒和轉(zhuǎn)化定律電磁能量守恒——坡印亭定理2023/2/3shiyan@34表達(dá)時(shí)變電磁場(chǎng)中能量守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系的定理1884年由英國(guó)物理學(xué)家坡印亭(John.H.Poynting)提出考慮電磁場(chǎng)存在于一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，其中自由電流源密度為。在該媒質(zhì)中，兩個(gè)Maxwell旋度方程為坡印亭定理(Poynting’sTheorem)V根據(jù)矢量恒等式2023/2/3shiyan@35坡印亭定理在體積V上積分可得一般介質(zhì)中的坡印亭定理：2023/2/3shiyan@36坡印亭定理矢量恒等式各向同性線性介質(zhì)的本構(gòu)方程2023/2/3shiyan@37時(shí)變電磁場(chǎng)的能量各向同性線性介質(zhì)的坡印亭定理Note1：we=1/2(D·E)為電場(chǎng)能量密度（單位是J/m3）Note2：wm=1/2(B·H)為磁場(chǎng)能量密度（單位是J/m3）Note3：方程右側(cè)體積分第一項(xiàng)表示了儲(chǔ)存在V中電磁

能量隨時(shí)間的增加率（單位是W）Note4：方程右側(cè)體積分第二項(xiàng)表示了體積V中的熱損

耗功率（單位是W）（單位時(shí)間以熱能形式損耗在體積V內(nèi)的能量）Note5：方程左側(cè)的體積分表示了體積V中的源產(chǎn)生

的功率（單位是W）2023/2/3shiyan@38時(shí)變電磁場(chǎng)的能量根據(jù)能量守恒定理，上式中的面積分必定代表單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)體積V的表面S流出體積V的電磁能量。定義：Note1：坡印廷矢量，單位是W/m2Note2：通過(guò)S面上單位面積的電磁功率Note3：坡印亭矢量也稱(chēng)為電磁功率流密度或能流密度其方向代表該點(diǎn)功率流方向其大小代表通過(guò)與能量流動(dòng)方向垂直的單位面積的功率2023/2/3shiyan@39時(shí)變電磁場(chǎng)的能量空間任一點(diǎn)處能量密度變化實(shí)際上，坡印亭矢量并不一定代表真實(shí)的電磁功率流密度

表示了流出封閉面的總能流；有電磁場(chǎng)存在的地方就有，但這并不表示該處一定有能量的流動(dòng)；真正表示空間任一點(diǎn)處能量密度變化的是.2023/2/3shiyan@40時(shí)變電磁場(chǎng)的能量靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)中的坡印亭矢量自由電流為零

媒質(zhì)無(wú)耗

場(chǎng)中任何一點(diǎn)，單位時(shí)間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒(méi)有電磁能量流動(dòng)在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，并不代表電磁功率流密度。2023/2/3shiyan@41時(shí)變電磁場(chǎng)的能量恒定電流場(chǎng)坡印亭矢量自由電流為零

恒定電流場(chǎng)中，

可代表通過(guò)單位面積的電磁功率流通過(guò)S面流入V內(nèi)的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率2023/2/3shiyan@42時(shí)變電磁場(chǎng)的能量時(shí)變電磁場(chǎng)中的坡印亭矢量(自由電流為零)