第五章數(shù)值積分與微分

第五章數(shù)值積分和數(shù)值微分定積分問(wèn)題的數(shù)值解法主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)或微分?jǐn)?shù)值計(jì)算傳統(tǒng)方法的困境數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的一般形式代數(shù)精度問(wèn)題求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分

是微積分學(xué)中的基本問(wèn)題。

§5.1數(shù)值積分概述對(duì)于積分但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中,常會(huì)見(jiàn)到以下現(xiàn)象:傳統(tǒng)方法的困境（2）原函數(shù)F（x）表達(dá)不出來(lái)，F(xiàn)（x）不是初等函數(shù)以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計(jì)算方法--------數(shù)值積分正是為解決這樣的困難而提出來(lái)的，不僅如此，數(shù)值積分也是微分方程數(shù)值解法的工具之一。數(shù)值積分的基本思想

數(shù)值積分----指計(jì)算定積分近似值的各種計(jì)算方法。常用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)代替原來(lái)的復(fù)雜函數(shù)求積分。

從幾何上看，就是計(jì)算曲邊梯形面積的近似值。

最簡(jiǎn)單的辦法，是用直線、拋物線等代替曲邊，使得面積容易計(jì)算。f(x)abf(a)f(x)abf(x)abf(b)f(a)(a+b)/2左矩公式中矩公式梯形公式用直線代替曲邊拋物線公式用拋物線代替曲邊又稱(chēng)辛卜森公式數(shù)值積分的一般形式

正是由于權(quán)系數(shù)的構(gòu)造方法不同，從而決定了數(shù)值積分的不同方法。

上述的近似求積公式都是取[a,b]上若干點(diǎn)處的高度通過(guò)加權(quán)后再進(jìn)行求和得到積分的近似值，寫(xiě)成一般形式：或?qū)憺椋浩渲校?/p>

----

稱(chēng)為求積節(jié)點(diǎn)

Ak----稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)xk上的權(quán)系數(shù)。

----是函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)xk上的函數(shù)值，

----稱(chēng)為求積公式的截?cái)嗾`差或余項(xiàng)。利用插值多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:插值型求積公式思路利用插值多項(xiàng)式

則積分易算。以拉格朗日插值多項(xiàng)式為例Ak由決定，與無(wú)關(guān)。節(jié)點(diǎn)

f(x)稱(chēng)為求積系數(shù)。定義其系數(shù)，為拉各朗日插值基函數(shù)

這種求積公式稱(chēng)為插值型積分公式插值型的求積公式余項(xiàng)

為了保證數(shù)值求積公式的精度,我們自然希望求積公式能夠?qū)ΡM可能多的函數(shù)f(x)都準(zhǔn)確成立,這在數(shù)學(xué)上常用代數(shù)精度這一概念來(lái)說(shuō)明。解：逐次檢查公式是否精確成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：例：對(duì)于[a,b]上1次插值，有考察時(shí)其求積誤差。梯形公式因此梯形公式只對(duì)一次多項(xiàng)式精確成立。代數(shù)精度定義如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的一切多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立,而對(duì)某個(gè)m+1次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立，則稱(chēng)該求積公式的代數(shù)精度為m。顯然，梯形公式與中矩形公式均具有一次代數(shù)精度。一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。定理對(duì)于n+1節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（插值余項(xiàng)證明）例試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度

§5.2

牛頓－柯特斯求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點(diǎn)下使用Lagrange插值多項(xiàng)式建立的數(shù)值求積公式各節(jié)點(diǎn)為一、公式推導(dǎo)：，以此分點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),構(gòu)造出的插值型求積公式。

注意是等距節(jié)點(diǎn)所以Newton-Cotes公式為Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無(wú)關(guān)。二、低階Newton-Cotes公式及其余項(xiàng)在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時(shí)的公式是最常用也最重要三個(gè)公式,稱(chēng)為低階公式(1).梯形公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為上式即為梯形求積公式,也稱(chēng)兩點(diǎn)公式，記為梯形公式的余項(xiàng)為求積公式為廣義積分中值定理故(2).

辛卜生公式及其余項(xiàng)Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱(chēng)為辛卜生求積公式，也稱(chēng)三點(diǎn)公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項(xiàng)為(3).柯特斯公式上式特別稱(chēng)為柯特斯求積公式，也稱(chēng)五點(diǎn)公式

柯特斯系數(shù)可由柯特斯系數(shù)表得到（P197）。由此可以得到任意階數(shù)的牛頓－柯特斯求積公式。但實(shí)際計(jì)算時(shí)一般不用高階的公式，因?yàn)楦叽尾逯涤蠷unge現(xiàn)象。由此可自然會(huì)得出以下結(jié)論：梯形規(guī)則簡(jiǎn)單，有1階代數(shù)精度；再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就是具有3階代數(shù)精度的辛卜生規(guī)則；三、牛頓－科特斯公式的代數(shù)精度牛頓－科特斯公式實(shí)際上是插值求積公式，因此n階牛頓－科特斯公式至少有n次代數(shù)精度。由于牛頓－科特斯公式是等距插值，因此，有定理：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓－科特斯公式有n＋1次代數(shù)精度。四、復(fù)化求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項(xiàng)將會(huì)較大。公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,往往使用復(fù)化求積法。然后在每個(gè)小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個(gè)小區(qū)間上的積分的近似值相加復(fù)化梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn/*中值定理*/復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn求積公式的余項(xiàng)比較我們知道,兩個(gè)求積公式的余項(xiàng)分別為單純的求積公式復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式精度提高?！?CompositeQuadratureLab13.CompositeTrapezoidalRuleUsetheCompositeTrapezoidalrulewithagivenn>0toapproximateagivenintegral.YouaresupposedtowriteafunctiondoubleCTR(intn,doublea,doubleb,double(*f)())toapproximatetheintegralfromatobofthefunctionfusingthetrapezoidalruleonnequal-lengthsubintervals.InputThereisnoinputfile.Instead,youmusthandinyourfunctionina*.hfile.Theruleofnamingthe*.hfileisthesameasthatofnamingthe*.cor*.cppfiles.OutputForeachtestcase,youaresupposedtoreturntheapproximationoftheintegral.SampleJudgeProgram#include<stdio.h>#include<math.h>#include"98115001_13.h"

doublef1(doublex){return(1.0/(1.0+sin(x)*sin(x)));}

doublef2(doublex){return(x*log(x));

}

voidmain(){

FILE*outfile=fopen("out.txt","w");

intn;doublea,b;a=0.0;b=1.0;n=10;fprintf(outfile,"%lf\n",CTR(n,a,b,f1));a=1.0;b=2.0;n=4;fprintf(outfile,"%lf\n",CTR(n,a,b,f2));

fclose(outfile);}SampleOutput0.8090930.639900比較兩種復(fù)合公式的的余項(xiàng)為此介紹收斂階的概念!定義1.

不難知道,復(fù)合梯形、Simpson公式的收斂階分別為2階、4階

復(fù)化求積法通過(guò)將積分區(qū)間分成n等份，來(lái)減小截?cái)嗾`差，因此n越大積分精度越高。但n太大，運(yùn)算量也增大，舍入誤差也增大；n太小，精度可能達(dá)不到。如何確定適當(dāng)?shù)?使得計(jì)算結(jié)果達(dá)到預(yù)選給定的精度要求呢？

在實(shí)際計(jì)算中,常采用積分步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇。具體地講,就是在求積過(guò)程中,將步長(zhǎng)逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到相鄰兩次的計(jì)算結(jié)果之差的絕對(duì)值小于允許誤差為止。這實(shí)際上是一種事后估計(jì)誤差的方法——變步長(zhǎng)求積算法?！?.3變步長(zhǎng)求積和龍貝格算法問(wèn)題

綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,我們知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為1次,3次和5次復(fù)化梯形、復(fù)化Simpson、復(fù)化Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階5.3.1變步長(zhǎng)梯形求積法

對(duì)于復(fù)合梯形公式，若將積分區(qū)間[a,b]n等分,積分近似值記為T(mén)n,積分精確值記為I,則有:把每個(gè)子區(qū)間分半,也就是將積分區(qū)間[a,b]2n等分,則有則有當(dāng)在連續(xù),且函數(shù)值變化不大時(shí),即有給定求積精度，如何取n?可用來(lái)判斷迭代是否停止。變步長(zhǎng)梯形法計(jì)算過(guò)程

⑴⑵⑶

可以看到,每次都是在前一次的基礎(chǔ)上將子區(qū)間再對(duì)分。原分點(diǎn)上的函數(shù)值不需要重復(fù)計(jì)算,只需計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值即可,一般地計(jì)算公式為：

由上節(jié)變步長(zhǎng)梯形公式得到的積分近似值的誤差大致是

,因此人們期望,如果用這個(gè)誤差作為對(duì)

的一種補(bǔ)償,則得到的求積公式的代數(shù)精度會(huì)有所提高。（1）5.3.2

龍貝格公式龍貝格算法是在復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用線性外推的方法構(gòu)造出的加速算法。通過(guò)直接驗(yàn)證可知

也就是說(shuō)

,用梯形公式二分前后的兩個(gè)積分值

與

按照公式

(1)做線形組合,其結(jié)果正好是用拋物線公式得到的積分值

。(2)即同理可知,用拋物線公式得到的積分近似值

的誤差大致是

,因此對(duì)拋物線公式進(jìn)行修正,得到(3)也就是說(shuō)

,用拋物線公式二分前后的積分值

與

按照公式(3)作線形組合,其結(jié)果正好是用柯特斯公式得到的積分值

。通過(guò)直接驗(yàn)證可知(4)同理可知，用柯特斯公式得到的積分近似值

的誤差大致是

,因此,對(duì)柯特斯公式進(jìn)行修改,得到求積公式(5)為此,構(gòu)造求積公式(6)稱(chēng)(6)式為龍貝格(Romberg)公式。龍貝格公式是一種計(jì)算積分的方法。在變步長(zhǎng)的求積過(guò)程中,運(yùn)用(2),(4),(6)式可以將精度低的梯形值逐步加工成精度較高的拋物線,柯特斯值與龍貝格值?？傊校篟omberg序列計(jì)算f(a),f(b),算出

。

(2)把[a,b]2等分,計(jì)算

,算出

與

。(3)把[a,b]4等分,計(jì)算

算出

與

。龍貝格求積的計(jì)算步驟如下：(4)把[a,b]8等分,計(jì)算

算出

與

與

。(5)把[a,b]16等分,計(jì)算算出

與

與

,繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行,直到

時(shí)停止計(jì)算,就是所求的積分值.(允許誤差