第二講：直線投影、兩直線相對位置(平行、相交、交叉)

第二章

點、直線、平面的投影直線的投影直角三角形法求線段實長及傾角直線上的點兩直線的相對位置關系2/3/20231直線的投影兩點決定一條直線。分別將兩點的同名（同面）投影用直線連接，就得到直線的投影。ZXOYHYWa’aa”b’bb”直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)直線對投影面的傾角：對水平投影面的傾角——對正立投影面的傾角——對側立投影面的傾角——2/3/20232直線在三投影面體系中分為：各種位置直線的投影特性投影面平行線一般位置直線特殊位置直線水平線正平線側平線投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線平行于某一投影面，且傾斜于另兩個投影面垂直于某一投影面與三個投影面都傾斜2/3/20233投影面平行線——正平線（平行于Ｖ面且…）側平線（平行于Ｗ面且…）水平線（平行于Ｈ面且…）各種位置直線的投影特性2/3/20234正平線—平行于V面，傾斜于H、W面的直線。aababbXabab

baOZYHYWAB

正平線的投影特性：1、正面投影反映直線段的實長。該投影與OX軸、OZ軸的夾角，分別反映該直線與H、W面的傾角。（ab=AB，反映、角的真實大?。?；2、在H面、W面上的投影，分別平行于OX軸、OZ軸，且小于實長。（abOX;abOZ）實長2/3/20235水平線側平線投影面平行線投影面平行線的投影特性：1、在其所平行的投影面上的投影，反映直線段的實長。該投影與投影軸的夾角，反映該直線與其它兩投影面的傾角；2、在其它兩投影面上的投影，平行于相應的投影軸，且小于實長。Xa

b

ab

baOzYHYWXZa

b

bbaOYHYW2/3/20236投影面垂直線正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）各種位置直線的投影特性2/3/20237b

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa鉛垂線—垂直于水平投影面的直線AB鉛垂線的投影特性：1、水平投影積聚為一點（ab積聚成一點）；2、在其它兩個投影面上的投影反映實長，且分別垂直于OX軸、OY軸。（ab=ab=AB；abOX；ab

OYW）2/3/20238正垂線側垂線投影面垂直線垂直線的投影特性：1、在其所垂直的投影面上的投影，積聚為一點；2、在其它兩個投影面上的投影，反映實長，且垂直于相應的投影軸。2/3/20239投影特性：三個投影都是縮短了的傾斜線段,都不反映空間線段的實長及與三個投影面的傾角。與三個投影面都傾斜的直線。一般位置直線（投影面傾斜線）思考：從屬于投影面及投影軸的直線的投影特性是什么？其投影如何作圖？各種位置直線的投影特性abbabaOXYHYWZ2/3/202310例1:根據(jù)投影圖，判斷下列直線的空間位置。abbacdcd側平線側垂線鉛垂線水平線解題要點：1、垂直線用垂直判斷；2、平行線用平行判斷。OXOXZccddababOXOXZYHYWYHYW2/3/202311例2：已知AB為水平線，補畫a’b’。b’a’ab解題思路：熟悉水平線的投影特性，明確正面投影平行于投影軸。OX2/3/202312例3:

過點A向右上方作一正平線AB,使其實長為25，與H面的傾角=30°。25b’30°b”O(jiān)XZYHYWa’aa”b解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實長和的投影入手。作圖要點:１．做正平線的正面投影；２．過點a做正平線的水平投影和側面投影。2/3/202313|zA-zB

|AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab直角三角形法求線段實長及線段與投影面的傾角求直線AB的實長及其對

水平投影面的傾角

角。2/3/202314求直線的實長及對正面投影面的傾角

角|yA-yB|abAB|yA-yB|AB|yA-yB|aXabbO2/3/202315求直線的實長及對側面投影面的傾角

角ABbbabaa|xA-xB||xA-xB|2/3/202316即：直角三角形的組成:斜邊－實長直角邊1－投影,直角邊2－坐標差,投影與實長的夾角－傾角。直角三角形法求線段實長

及線段與投影面的傾角2/3/202317例5：已知直線的一個投影a’b’及實長，求直線的投影ab。XOa’b’aB0解題思路及步驟——1.根據(jù)直角三角形的組成，利用a’b’及實長作直角三角形；2.求出Y坐標差；3.利用Y坐標差求ab投影。bAB實長思考：若將已知條件實長換成=30°，則如何解題？2/3/202318直線上的點ABCVHbccbaa從屬性：若點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律。反之，亦然。定比性：若點在直線上，則點的投影分割線段的同面投影之比與空間點分割線段之比相等。反之，亦然。即AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac:cb，利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。直線上點的投影特性——2/3/202319例6：判斷點C是否在線段AB上。點C不在直線AB上點C在直線AB上abca’bc①c②abca’b’●●OXOX2/3/202320例7：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點K不在AB上。方法二：應用定比定理abkabk●●方法一：作出第三投影因ak/kb不等于a’k’/k’b’，故點K不在AB上。OXYHYWZ2/3/202321cc例8已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點C的投影c、c。O2/3/202322直線上的特殊點——跡點

跡點：直線與投影面的交點（正面跡點、水平跡點、側面跡點）。作圖要點：1、跡點既是投影面上的點又是直線上的點，故必同時符合投影面上點和直線上的點的投影規(guī)律;2、求跡點時，先延長投影到投影軸。m’mnn’M是水平跡點,N是正面跡點。a’b’abOX2/3/202323空間兩直線的相對位置關系分為四種：平行、相交、交叉、垂直。⒈兩直線平行投影特性（判別方法）：aVHcbcdABCDbda兩直線的相對位置1．若空間兩直線相互平行，則其各同面投影必相互平行；反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。2．平行兩線段之比等于其投影之比。2/3/202324例9：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDabcdcabdOX2/3/202325HVABCDKabcdkabckd⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其各同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律；反之，亦然。兩直線的相對位置交點是兩直線的共有點投影特性（判別方法）：abcdbacdkkOX2/3/2023263.兩直線交叉：凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。兩直線的相對位置1(2

)3(4)投影特性（判別方法）

：★同面投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。也可能有兩對同面投影平行，但第三對決不會平行?！铩敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？兩直線相交嗎？dbaabcdc12●●3

4●●●●OX2/3/202327例10：過直線CD外一點A，作正平線AB與CD相交。a'ac'd'cdb’bc1b1XO2/3/202328例11判斷兩直線的相對位置。dacboYWYHz解法一：2/3/20232911dc11

例11判斷兩直線的相對位置解法二：2/3/202330例12判斷圖中兩條直線的空間位置。對于特殊位置直線，只有兩個特殊投影互相平行，空間直線不一定平行，必須在直線所平行的投影面內進行判斷。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。bdcacbaddbac還可以如何判斷？XZOYHYW2/3/202331

例13判斷兩直線重影點的可見性。3(4)34121(2)O2/3/202332例14：求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。a'b'abc'd'dc15l’lXO2/3/202333本講小結——重點掌握2/3/202334例4：