第2章 流體運動學與動力學基礎

第二章流體運動學和動力學基礎

本章作業(yè)：習題1,3,6,8,9,10,11,13,15流場(流場及其描述方法,跡線、流線和流管)流體微團運動的分析(散度、旋度和速度位)連續(xù)方程和流函數(shù)(連續(xù)方程、流函數(shù))旋渦運動(渦線、渦管及旋渦強度、環(huán)量誘導速度及相關定理)歐拉運動方程及其積分(歐拉運動方程、伯努利方程)流體力學中的動量定理(一般原理及例子)2023/2/31沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室

§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法連續(xù)介質假設：流體是由質點組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對于無數(shù)多的流體質點，當其發(fā)生運動時，如何正確描述和區(qū)分各流體質點的運動行為，將是流體運動學必須回答的問題。描述流體運動的方法有兩種。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質點法）1）拉格朗日坐標：在某一初始時刻t0

，以不同的一組數(shù)（a,b,c）來標記不同的流體質點，這組數(shù)（a,b,c）就叫拉格朗日變數(shù)。或稱為拉格朗日坐標。2）拉格朗日描述：拉格朗日法著眼于流場中每一個運動著的流體質點，跟蹤觀察每一個流體質點的運動軌跡（流體質點在一定時間內所經(jīng)過的所有空間點的集合稱為跡線）以及運動參數(shù)（速度、壓強、加速度等）隨時間的變化，然后綜合所有流體質點的運動，得到整個流場的運動規(guī)律。具體形式：若f表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日描述地說學表達是：

f=f(a,b,c,t);x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)

其中，a,b,c為流體質點的標識符，用于區(qū)分和識別各質點的。

t表示時間。a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c給定，表示指定質點的軌跡。

t給定，表示在給定時刻不同質點的空間位置。

(警察抓小偷的方法)xyz·(a,b,c)§2.1描述流體運動的方法2023/2/32沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室質點法—觀察者著眼于個別流體質點，所獲取的第一手資料是流體質點的軌跡例如流體質點的運動速度的拉格朗日描述為：壓強

p的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)

§2.1描述流體運動的方法脈線：指在一段時間內，將相繼通過某一空間固定點的不同流體質點，在某一瞬時（即觀察的瞬時）連成的曲線。如果該空間固定點是釋放染色的源，則在某一瞬時觀察到一條染色線，故脈線也稱為染色線。染色線也是同一時刻不同流體質點的連線。經(jīng)過煙頭和煙囪冒出的煙都是形成脈線的例子。2023/2/33沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室對于給定流體質點，速度表達式是流體質點的加速度為流體質點的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。跡線方程為：§2.1描述流體運動的方法2023/2/34沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室2、Euler方法（歐拉方法，空間點法，流場法）1）歐拉法：以數(shù)學場論為基礎，著眼于任何時刻物理量在場上的分布規(guī)律的流體運動描述方法。2）歐拉坐標（歐拉變數(shù)）：歐拉法中用來表達流場中流體運動規(guī)律的質點空間坐標(x,y,z)與時間t變量稱為歐拉坐標或歐拉變數(shù)。在該方法中，觀察者相對于坐標系是固定不動的，著眼于不同流體質點通過空間固定點的流動行為，通過記錄不同空間點流體質點經(jīng)過的運動情況，從而獲得整個流場的運動規(guī)律。(流線:流場中的瞬時光滑曲線，在曲線上流體質點的速度方向與各該點的切線方向重合。)

壓強場：p=p(x,y,z,t)其中，x,y,z為空間點的坐標，t表示時間，x.y.z.t稱為歐拉變數(shù)。

x.y.z給定，t變化，表示不同時刻不同流體質點通過同一空間點的速度。

t給定，x.y.z變化，表示給定時刻，不同流體質點通過不同空間點的速度，給定速度場。

(守株待兔，看門房式的工作方法)§2.1描述流體運動的方法2023/2/35沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室應指出，空間點速度本質上指的是t瞬時恰好占據(jù)該空間點流體質點所具有的速度。§2.1描述流體運動的方法2023/2/36沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室一個布滿了某種物理量的空間稱為場。流場:流體流動所占據(jù)的空間(運動流體所充滿的空間)。用以表示流體運動特征的物理量稱“流動參數(shù)”,如速度、密度、壓強等。所以流場又是上述物理量的場。如果物理量是速度，描述的是速度場；如果是壓強，稱為壓強場；在高速流動時，氣流的密度和溫度也隨流動有變化，那就還有一個密度場和溫度場，這都包括在流場的概念之內。如果場只是空間坐標的函數(shù)而與時間無關則稱為定常場，否則為非定常場。對于定常速度場的表達為：

§2.1描述流體運動的方法一個速度場2023/2/37沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室用歐拉法來描述流場時，觀察者直接測量到的是速度，那么在流體質點的運動過程中，質點的速度變化是如何引起的，怎樣正確表示流體質點的加速度呢，以下面例子說明之。參看下圖，第1圖表示流體質點從A流到B速度不變；第2圖表示流體質點從A流到B點，因水位下降引起速度減小；第3圖表示流體質點從A流到B點，因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質點從A流到B點，因水位下降和管道收縮引起速度的變化。水位下降表示流場的非定常性，管道收縮表示流場的不均勻性。由此可見，一般情況下引起流體質點速度的變化來自于兩方面的貢獻：其一是流場的不均勻性，其二是流場的非定常性。§2.1描述流體運動的方法2023/2/38沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室設速度函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，現(xiàn)在來求加速度。設某一流體質點在t時刻位于流場中M點，經(jīng)過微分時段位于N點，根據(jù)加速度定義有根據(jù)泰勒級數(shù)展開，流場非定常性引起的速度變化為§2.1.2歐拉法的加速度表達式2023/2/39沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由于流場不均勻性引起的速度變化為§2.1.2歐拉法的加速度表達式2023/2/310沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室綜合起來，得到流體質點的全加速度為等式右邊第1項表示速度對時間的偏導數(shù)，是由流場的非定常性引起的，稱為局部加速度，或當?shù)丶铀俣?；右邊?項表示因流體質點位置遷移引起的加速度，稱為遷移加速度，位變加速度，或對流加速度。二者的合成稱為全加速度，或隨體加速度。寫成分量形式為§2.1.2歐拉法的加速度表達式2023/2/311沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.1.2歐拉法的加速度表達式算子表示隨流體質點運動的導數(shù)，稱隨體導數(shù)。除速度外，對流場中其它變量也成立。如對于壓強p，有如果流動參數(shù)是一維空間流程坐標s和時間

t的函數(shù)，速度場為v（s,t）。則全加速度表示為：vs2023/2/312沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室根據(jù)上述分析，可得出以下各圖中的加速度表達式。§2.1.2歐拉法的加速度表達式2023/2/313沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.1.3流線、流管、流面與流量在某一瞬時t，從流場中某點出發(fā)，順著這一點的速度指向畫一個微分段到達鄰點，再按鄰點在同一瞬時的速度指向再畫一個微分段，一直畫下去，當取微分段趨于零時，便得到一條光滑的曲線。在這條曲線上，任何一點的切線方向均與占據(jù)該點的流體質點速度方向指向一致，這樣曲線稱為流線。在任何瞬時，在流場中可繪制無數(shù)條這樣的流線。流線的引入，對定性刻畫流場具有重要意義。(a)l1瞬時過點1的流線(b)l2瞬時過點1的流線時間t固定2023/2/314沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室

流線是反映流場瞬時流速方向的曲線。其是同一時刻，由不同流體質點組成的。與跡線相比，跡線是同一質點不同時刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質：(1)在定常流動中，流體質點的跡線與流線重合；在非定常流動中，流線和跡線一般是不重合的。(2)通過空間固定點流線的形狀，在定常流場中不隨時間變化;而在非定常流場中，要隨時間變化。這是由于非定常流場中流體質點速度隨時間改變。所以在瞬時t2通過流場空間點1的速度矢量將改變?yōu)関’1，按流線的定義，t2瞬時流過點1的流線將改變?yōu)閟’。見圖2-1(b)。(3)流場中每一點都有流線通過，所有流線的集合稱流線譜或簡稱流譜。(4)在常點處，流線不能相交、分叉、匯交、轉折，流線只能是一條光滑的曲線；也就是，在同一時刻，一點處只能通過一條流線。在奇點（速度無窮大點，源和匯）、駐點（零速度點）流線相切等例外。(5)在定常流動中，流線是流體不可跨越的曲線?！?.1.3流線、流管、流面與流量ABo2023/2/315沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由流線上任意點的速度矢量與流線相切這一性質，可以求出流線的微分方程。如圖2-3所示，設在流線上某點M(x,y,z)處的速度為v(其分量為vx,vy,vz)，M點的流線微段長ds(其分量為)，根據(jù)流線的定義可知ds與各坐標軸的夾角同速度與相應坐標軸的夾角相同，因而相應的夾角余弦必相等,即式中I,j,k分別為x,y,z方向上的單位矢量,由式(2-4)可求出上式就是流線的微分方程式.當速度分布為已知時,根據(jù)式(2-5)可求出流場中通過任意點流線的形狀?；?2-5)(2-4)§2.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/316沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室與流線密切相關的，是流管和流面兩個概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成。在三維流動里，經(jīng)過一條有流量穿過的封閉曲線的所有流線圍成封閉管狀曲面稱為流管。

圖2-6流管（a）流線組成流管側壁；（b）沒有流量由流管側壁流出流面是由許多相鄰的流線連成的一個曲面，這個曲面不一定合攏成一根流管。當然流管的側表面也是一個流面。不管合攏不合攏，流面也是流動不會穿越的一個面

。由流線所圍成的流管也正像一根具有實物管壁一樣的一根管子，管內的流體不會越過流管流出來，管外的流體也不會越過管壁流進去。

流量是單位時間內穿過指定截面的流體量（體積、質量或重量），例如穿過上述流管中任意截面A的體積流量、質量流量和重量流量可分別表為其中，是局部速度向量，是密度，是微元面積的法線向量§2.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/317沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-1已知二維定常不可壓流動的速度分布為vx=ax,vy=-ay，a為常數(shù)，求通過點P(2，1)的流線方程。解由式(2-5)得流線的微分方程積分后可得即將P點坐標代入上式，定出C=2。最后可得通過P點的流線為xy=2.可見流線是等邊雙曲線，以x,y軸為漸近線，若以x,y軸同時當做固壁，且只研究在第一象限的流動，上述流動為直角內的流動，見右圖2-4?！?.1.3流線、流管、流面與流量2023/2/318沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.2流體微團運動的分析§2.2.1流體微團的基本運動形式在理論力學中，研究對象是質點和剛體（無變形體），它們的基本運動形式可表示為：（1）質點（無體積大小的空間點）只有平移運動（平動）；（2）剛體（具有一定體積大小，但無變形）運動除平移運動外，還有整體的旋轉運動（轉動）；在流體力學中，研究對象是質點和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運動形式除包括了剛體的運動形式外，還有變形運動。變形運動包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長伸縮線變形運動，其二是引起體積形狀變化的角變形運動。由此可得變形體的基本運動形式包括：（1）平動；（2）轉動；（3）線變形運動；（4）角變形運動2023/2/319沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室流體微團的一般運動

a)平移

b)線變形

c)角變形

d)旋轉

§2.2.1流體微團的基本運動形式轉動（角平分線轉動）角變形運動（角平分線不動）2023/2/320沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室為便于分析，在流場中任取一平面微團分析。根據(jù)泰勒級數(shù)展開，微分面四個頂點的速度可表示如下。（1）各頂點速度相同的部分，為微團的平動速度。（u,v,w）（2）線變形速率線變形運動是指微元體各邊長發(fā)生伸縮的運動。線變形速率定義為單位時間單位長度的線變形量。如對于AB邊長，在微分時段內邊長的增加量為§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/321沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由此得到x方向的線變形速率為同理，在y方向的線變形速率為平面微團的面積變化率為§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/322沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室（3）角變形速率與旋轉角速度在微分時段內，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉動有關。在微分時段內，AB邊的偏轉角度為（逆時針為正）在微分時間內，AC邊的偏轉角度為（順時針為負）

§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/323沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室平面微團夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉動部分和角平分線不動兩邊相對偏轉同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示。設在微分時段內，平面微團角平分線轉動角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關系可得解出可得§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/324沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室定義，平面微團的旋轉角速度（單位時間的旋轉角度）為平面微團的角變形速率（單位時間單邊角變形量）為對于三維六面體微團而言，其運動形式同樣可分為：平動、轉動和變形運動，類似平面微團很容易導出相關公式。此處不再推導，以下直接給出。§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/325沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室流體微團平動速度：流體微團線變形速率：

流體微團角變形速率（剪切變形速率）：流體微團旋轉角速度：§2.2.1流體微團的基本運動形式2023/2/326沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室德國物理學家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團的運動形式。設在流場中，相距微量的任意兩點，按泰勒級數(shù)展開給出分解。在速度為

在點處，速度為§2.2.2流體微團速度分解定理2023/2/327沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室按泰勒級數(shù)展開有

§2.2.2流體微團速度分解定理2023/2/328沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室應指出的是，實際流體微團的運動可以是一種或幾種運動的組合。如，（1）對于均速直線運動，流體微團只有平動，無轉動和變形運動。（2）無旋流動，流體微團存在平動、變形運動，但無轉動。（3）旋轉容器內的流體運動，流體微團存在平動和轉動，但無變形運動。應指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團的速度分解定理除了變形運動外，還有一個重要的差別。剛體速度分解定理是對整個剛體都成立，因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對流體微團成立，因它是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個剛體轉動的一整體特征量，在剛體上任意一點都是不變的，而流體的旋轉角速度是刻畫局部流體微團轉動的一個局部性特征量，在不同點處微團的旋轉角速度不同?！?.2.2流體微團速度分解定理2023/2/329沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.2.3散度及其意義散度在流體力學里表示流體微團的相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）。為說明此點可取一簡單的矩形微元六面體來看，設六面體的三邊原長分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt時間后三個邊長分別變?yōu)椋喝齻€相互垂直方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度V的散度，符號為divV，即2023/2/330沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室流體微團在運動中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質量總是不變的。而質量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流動里，微團的體積不變，其速度的散度必為零。如果是密度有變化的流動，那么散度一般地不等于零。則相對體積膨脹率（單位時間單位體積的增長量）為：§2.2.3散度及其意義2023/2/331沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室一個流場，如果各處的ω都等于零，這樣的流場稱為無旋流場，其流動稱為無旋流。否則為有旋流場，其流動稱有旋流。根據(jù)數(shù)學上Stokes定律§2.2.4旋度和位函數(shù)業(yè)已知道，流體微團繞自身軸的旋轉角速度的三個分量為ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示為這個值在向量分析里記為（1/2）rotV，稱為V的旋度。即有旋度為旋轉角速度的二倍：如果是無渦流場，那么其旋度為零，由此得到

說明速度場的曲線積分與路徑無關，僅是坐標位置的函數(shù)。。2023/2/332沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室；；§2.2.4旋度和位函數(shù)在數(shù)學上表示下列微分代表某個函數(shù)的全微分，即上式中這個函數(shù)稱為速度勢函數(shù)或速度位，其存在的充分必要條件是無渦流動。速度勢函數(shù)僅是坐標位置和時間的函數(shù)。即速度勢函數(shù)與速度分量的關系為說明速度勢函數(shù)在某個方向的偏導數(shù)等于速度矢量在那個方向的分量。2023/2/333沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室解：流體微團繞z軸的旋轉角速度為流動無旋，存在速度勢函數(shù)。例2.1設有一個二維流場其速度分布的式子是，問這個流動是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？變形率的是什么？

流線方程為§2.2.4旋度和位函數(shù)對于無旋流，沿一條連接A、B兩點的曲線進行速度的線積分，結果只與二端點的Φ值之差有關而與積分路徑無關。即2023/2/334沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室積分得常數(shù)C取一系列的值畫得一系列的流線，見下圖。

角變形率：

考察矩形微團ABCD，在如圖流場中將從左上方流向右下方，由于流動無旋微團不轉動；由于相對體積膨脹率為零，x方向線段有縮短，y方向線段必有拉伸，流動過程中矩形微團面積保持不變；流體微團無角變形。§2.2.4旋度和位函數(shù)流體微團線變形率：2023/2/335沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-2在例2-1流場中，已知vx=ax;vy=-ay，求位函數(shù)φ。解由式分別進行積分得由可知流場存在速度位函數(shù)φ,于是有最后得2023/2/336沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室等位線是,為等邊雙曲線，以x=y，及x=-y兩直線為其漸近線，畫出來的流線和等位線如圖2-9所示.圖中的實線表示流線，虛線表示等位線。該流動稱為直角流動.圖2-9流場中的流線和等位線2023/2/337沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-3有一二維流動，其流線族為圓心在原點的一系列同心圓，即.求流場的速度位函數(shù)φ.(k為常數(shù))

解假定流場存在速度位φ，應用式分別對r,θ進行積分,得由速度位φ存在的條件又可得出流場一定是無旋流場(除原點外).該流場的流線和等位線如圖2-10所示。該流動為流體力學中的基本流動、通常稱為點渦流動.

圖2-10點渦流動的流線和等位線2023/2/338沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-4設某二維流動的速度分布為vx=ay,vy=0,a為常數(shù)，求該流場的速度位函數(shù)。

解假定流場存在速度位φ,于是有將vx,vy進行積分后得顯然.無法找到f1(y)和f2(x)使上面的兩個表達式一致.故此，速度位函數(shù)φ不存在.另外，注意該流動為有旋流動，即不存在速度位函數(shù)φ，這與前面的結論相符.該流動稱為平面Couette流動。2023/2/339沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室連續(xù)方程是質量守恒定律在流體力學中具體表達形式。以下針對一個微分六面體推導微分形式的連續(xù)方程。由于連續(xù)方程僅是運動的行為，與動力無關，因此適應于理想流體和粘性流體?，F(xiàn)在流場中劃定一個邊長分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個體的空間位置相對于坐標系是固定的，不隨時間變化，被流體所通過。假設六面體中心點坐標為（x，y，z）。在t時，過中心點流體微團的三個分速是u，v，w，密度是ρ。在t瞬時，過該點處通過垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu，如果把這個量看作為空間和時間的函數(shù)，則根據(jù)臺勞級數(shù)展開有在dt時段內，從ABCD面進入的流體質量為§2.3理想流體運動微分方程組xzyABCDA’B’C’D’2.3.1連續(xù)方程2023/2/340沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室在dt時段內，從A’B’C’D’面流出的流體質量為在dt時段內，由x面儲存在在微分六面體的流體質量為（凈流入量）同理可得，在dt時段內，由y,z面儲存在微分六面體的流體質量為§2.3.1連續(xù)方程2023/2/341沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由此可得，在dt時段內由所有側面流入到微分六面體的凈流體總質量為

由于ρ是空間位置和時間的函數(shù)，在dt時段內，由于密度變化引起微分六面體質量的增加量為根據(jù)質量守恒定律，在dt時段內從側面凈流入微分六面體的總質量應等于六面體內流體質量因密度隨時間變化的引起增量?！?.3.1連續(xù)方程2023/2/342沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程。即對于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椤?.3.1連續(xù)方程2023/2/343沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室結論：流體在運動時，應服從質量守恒定律，這條定理在空氣動力學中的數(shù)學表達式稱為連續(xù)方程或質量方程.矢量表達形式對于定常不可壓流體的極坐標方程另一形式2023/2/344沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室根據(jù)散度的定義，有得到高斯公式，有不可壓指的是每個質點的密度在流動過程中保持不變，但是這個流體質點和那個流體質點的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如變密度平行流動?！?.3.1連續(xù)方程2023/2/345沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室而均值流體的定義是▽ρ＝0，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時間不變化。只有既為不可壓縮流體，同時又是均值時，流體的密度才處處都是同一個常數(shù)；由不可壓條件得到均值流體條件得到從而，有于是=C，即流體密度既不隨時間變化，也不隨位置變化，在整個流場中是個常數(shù)?！?.3.1連續(xù)方程2023/2/346沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室2.3.2流函數(shù)函數(shù)φ(x,y)稱為流函數(shù).對于二維定常不可壓縮流動，連續(xù)方程式(2-21)可寫為由高等數(shù)學可知式(2-22)表明是某一函數(shù)φ的全微分，即又故有(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)2023/2/347沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室流函數(shù)與速度位關系2023/2/348沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-5已知一二維均勻直線流動,vx=A,vy=B。A,B為常數(shù)，求流場的流函數(shù)及速度位.解由式(2-25

)得積分后得由解的同一性可知即等位線斜率為而于是可知均勻直線流動中的流線族與等位線族是正交的，見右圖直勻流場中的流線與等位線2023/2/349沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-6設二維不可壓流動中vr＝f(r),vθ=0。求滿足質量守恒定律所要求的f(r)的表達式及流函數(shù)和速度位。解由二維不可壓流動的質量守恒定律的數(shù)學表達式可得積分后得vr的解為：式中k為常數(shù)極坐標系中積分后得點源流動的流線與等位線由解的同一性知最后得這里的常數(shù)k由通過半徑為r的圓周的體積流量Λ求出，即流線在原點處相交且原點處速度為無窮大，其在原點處流動為奇點，這類流動稱為點源（或匯）流動，見右圖2023/2/350沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.3.2Euler運動微分方程組歐拉運動微分方程組是在不計流體粘性前提下推導出來的，該方程實質上是微分形式的動量方程。在流場中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體微團來看，不計粘性力，表面力沒有切向力，僅有法向力（壓力）一種。設六面體中心點坐標為(x,y,z)，相應該點處的流體要素為壓強p(x,y,z,t),單位質量力，速度u,v,w。在微元體的左面，壓力為

在微元體的右面，壓力為xyz·Pdxdydz2023/2/351沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室微元六面體質量力在x方向的分力為§2.3.2Euler運動微分方程組根據(jù)牛頓定律：x方向合外力等于質量乘以x方向加速度，得兩邊同除以微元體積的質量dxdydz，取極限得到x方向的運動方程。為請注意，這里寫成全加速度形式，是因為在上述分析過程中，在微分時段內跟隨流體微團建立的。或者可表示為2023/2/352沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室同理可得其它兩個方向的運動方程。綜合起來，有上三式即為笛卡兒坐標系下理想流體運動的歐拉方程（1755年）。表明了流體質點的加速度等于質量力減去壓力梯度。寫成另一種形式，為§2.3.2Euler運動微分方程組2023/2/353沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室s矢量形式如果把加速度項重新組合，可以在加速度項中顯示出旋轉角度來，這樣的方程稱為格羅米柯-Lamb型方程。如x方向的方程，有

§2.3.2Euler運動微分方程組對于一元流動，運動方程為2023/2/354沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由此可得“格羅米柯形式”為寫成矢量形式為這個方程本質上仍是在理想流體運動方程。其好處是在方程中顯示了旋轉角速度項。便于分析無旋流動。對于理想流體，可以無旋運動也可以有旋運動。只是對于理想流體，微團在運動過程中不會受到切向力的作用，因而流體微團在運動過程中不會改變它的旋度，如原來旋度為零的（即無旋流）在運動過程也保持無旋流；原來有旋的，繼續(xù)保持為有旋流，且其旋度不變?！?.3.2Euler運動微分方程組2023/2/355沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室對于理想正壓流體，在質量力有勢條件下，假設為定常流動，有§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣格羅米柯方程變?yōu)楝F(xiàn)在流場中，任取一條光滑曲線，并將上式投影到曲線上，有2023/2/356沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室如果上式右邊項為零，有這樣在曲線上，下式成立。這就是Bernoulli積分，或伯努利方程。上式表明，對于理想正壓流體的定常流動，在質量力有勢條件下，單位體積流體微團沿著這條特定曲線s的勢能、壓能和動能之和不變，即總機械能不變。（1738年）§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義Bernoulli積分成立的條件，是（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下2023/2/357沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立。這是因為，在此情況下（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無關，在整個流場中積分常數(shù)不變，等于同一個常數(shù)。

(a)靜止流場，

(b)無旋流場，有勢流動。

(c)流線與渦線重合，即螺旋流動。對于不可壓縮流體，在不計質量力情況下，Bernoulli積分變?yōu)槿绻|量力只有重力，bernoulli積分變?yōu)椤?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義2023/2/358沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室如果兩邊同除以g，最后得到的能量方程形式為上式表示不可壓縮流體，在質量力為重力作用下的能量方程。表明，單位重量流體所具有的勢能、壓能和動能之和不變。y-----表示單位重量流體相對于基準面高度，稱為位置水頭；p/γ----表示單位重量流體在絕對真空管中上升的高度，稱為壓強水頭；V2/2g---表示單位重量流體垂直上拋所能達到高度，稱為速度水頭；H---表示沿流線單位重量流體具有的總能量，稱總水頭。y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義2023/2/359沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度v，假設小孔中心距自由面深為hvhpapa解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0與小孔的出流速度相比可以忽略不計，流動可以假設是定常的。假設不計粘性損失。沿小孔中心點處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點處速度可以近似代表小孔速度此式也可是將流動看成是一維流動的結果，從而（由于實際上粘性不可忽略，實際速度將略低于上述理論值，其中cv叫做速度系數(shù)，實驗表明cv＝0.97）§2.3.4Bernoulli方程應用2023/2/360沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室測量低速氣流的速度時，用的風速管就是根據(jù)上述原理設計并由上式去計算風速的。風速管的構造很簡單，見右下圖。基本原理是

總壓孔對準來流，來流撞在孔上速度降為零，相應的壓強達到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓。測量時不必分開量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測壓計的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。風速管的結構§2.3.4Bernoulli方程應用2023/2/361沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室直勻流對機翼的繞流

例.在海平面上，直勻流流過一個機翼，遠前方直勻流的靜壓p=p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設流動無旋，求A、B、C三點的壓強解:流動是無旋的，伯努利常數(shù)全流場通用。根據(jù)遠前方的條件得這就是通用于全流場的常數(shù)。于是§2.3.4Bernoulli方程應用2023/2/362沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例

有一種二維的繞其固定軸線的旋轉流動，其υθ正比于半徑r，即υθ=kr，如圖。試證伯努利常數(shù)C是r的函數(shù)。證:先沿著流線寫出伯努利方程

一種旋轉流動

對半徑取導數(shù)：法向壓力差必須平衡微團的離心力，故有

左側的第二項是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項，得代入的式子，并將代入，得§2.3.4Bernoulli方程應用2023/2/363沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室如果速度場是試證明，能量方程的積分常數(shù)對整個流場是不變的。該流場實際上是一個無渦流場，能量方程積分常數(shù)不變。對于在流場中一個集中的旋渦，分渦核和渦核外的誘導流場。在渦核內流體質點像剛體一樣繞渦軸旋轉，其周向速度與r成正比，在渦核外的誘導流場是無渦運動，其周向速度與r成反比?！?.3.4Bernoulli方程應用2023/2/364沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室推導動量方程用圖

2.4動量方程在瞬時和，系統(tǒng)所具有的動量分別以和表示，根據(jù)牛頓第二定律，對于定常流體有：即所以對于任意定常流動的控制體，只要其進出口截面上流動參數(shù)是均勻的，則動量方程為：（1.41）2.4.1微分形式的動量方程2023/2/365沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室將雷諾輸運定律表達式中的Φ換為動量mV，則，根據(jù)牛頓第二定律

上式即為動量方程。關于此式需要強調以下3點：1、V是流體相對于某一慣性坐標系的速度，如果坐標系運動則應考慮相對速度，而且，在非慣性系中必須要考慮慣性力。

2.

是作用在控制體上所有力的矢量和，包括表面力及質量力（體積力）。3.整個方程為矢量關系式，在直角坐標系中有三個分量式，其分量式為：同理可得到，x,y方向的分量方程。（2.43）我們稱式（2.42）右邊第二項為動量通量（2.44）（2.42）如果控制體的所有進出口都是一維流動，則有：（2.45）2.4動量方程2023/2/366沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室質量力表面力2.4動量方程2023/2/367沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例2-4-1：水在水平放置的U型管內流動如圖2-4-1所示，U型管的截面積為A。進、出口的壓強均為P，流速為V。不計粘性摩擦，求水對管子的作用力。解：取U型管的側壁和進、出口截面為控制體。作用在控制體上流體的力沿y方向的力抵消；沿x方向的力有，假設向右為正；作用在進、出口截面上的力為pA，方向指向作用面。沿x方向的動量方程為圖

例2-4-1用圖vv作用力的方向沿x方向。因此，水對管子的作用力為即2.4動量方程2023/2/368沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室2.4.2微分形式的動量方程

推導微分形式的動量方程作用在流管側表面上的壓強的合力在S方向上的分量為則沿S方向的動量方程為：略去高階無限小量，得微分形式的動量方程：（2-46）注：為作用在流管側表面上的摩擦力在S方向的分量。2.4動量方程2023/2/369沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室式（2-46）可以寫成力的平衡形式：對于無粘性的理想流體，則可寫成或寫成對氣體來講，重量很小，通?？梢圆挥嬛亓?，則歐拉運動微分方程為這就是無粘性流體的一維定常流動的運動微分方程式，也稱一維流動的歐拉運動方程式。（2-47）（2-48）（2-49）2.4動量方程2023/2/370沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室觀察發(fā)動機的內部結構，思考如何表達推力（推力公式）2.4動量方程2023/2/371沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室解：取與發(fā)動機相同速度的相對坐標系，并取控制體如圖3-5中的虛線所示，則各力在x方向的合力為例：利用動量方程式推導空氣噴氣發(fā)動機的推力公式。推導空氣噴氣發(fā)動機的推力公式燃油x方向的動量變化率為由動量方程得即則發(fā)動機對控制體內氣流的作用力：忽略有：2.4動量方程2023/2/372沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例：運用動量定理導出火箭向上垂直加速飛行（圖3.22）的加速度公式（設火箭內氣體的運動相對火箭是定常的）。

解：取火箭本身的外殼表面和噴管的出口平面為控制面。對此控制面沿火箭飛行方向（z方向）寫動量方程。為方便起見，取與火箭以同樣速度運動的相對坐標系。因為火箭作加速運動，故該坐標系為非慣性系。對于非慣性坐標系，在運用動量方程時，要將慣性力考慮到合力中，并把速度改為相對速度。由此，對所取的控制面沿z方向的動量方程可以寫為：推導火箭向上垂直加速飛行的加速

式中，第一項為作用在控制體的重力（MR為火箭整體的瞬時質量）；2.4動量方程2023/2/373沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室第二項為作用在控制面上的壓強的合力在z軸上的投影（pe為噴管出口處的壓強，pa為大氣壓強，Ae為噴管出口處的截面積）；第三項為作用在控制面上的全部阻力的合力在z軸上的投影；第四項為火箭的慣性力，方向與火箭的加速度相反（V為火箭飛行的瞬時速度）；第五項為從控制面ee氣體動量的流出率（為燃氣的流量，Ve為氣體相對于所取坐標的速度）。將上式整理后得：2.4動量方程2023/2/374沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室附§2.4流體運動的積分方程§2.4.1基本概念流體動力學是研究產(chǎn)生流體運動的原因。為此，我們必須解決三個方面的問題：（1）流體的運動學問題；（2）作用于流體上各種力的特征；（3）控制流體運動的普遍規(guī)律（質量守恒、牛頓第二定律（動量守恒）、動量矩守恒、能量守恒等）流體動力學方程是將這些描述物質運動的普遍規(guī)律，應用于流體運動的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運動各物理量之間的關系式，這些關系式就是流體動力學的基本方程，如果關系式是以積分形式給出，稱為流體動力學積分方程，如果是以微分形式給出，稱為微分方程。在流體動力學積分方程中，具體包括：（1）連續(xù)方程；（2）動量方程；（3）動量矩方程；（4）能量方程1、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質點組成的團體。系統(tǒng)的基本特點（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒有質量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。2023/2/375沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于系統(tǒng)上所有外力的合力。a指系統(tǒng)的平均加速度。系統(tǒng)對應于Lagrange觀點，即以確定的流體質點系統(tǒng)作為研究對象，研究系統(tǒng)各物理量的關系。2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過，相對于某個坐標系而言，固定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱為控制面。控制體是不變的，但占據(jù)控制體的流體質點隨時間是變化的?？刂企w的基本特點（1）控制體的邊界相對于坐標系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質量交換，即流體可以流進、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換。例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力。控制體對應Euler觀點，即以通過確定的體積流體質點作為研究對象，研究控制體內流體各物理量的關系。

附§2.4流體運動的積分方程2023/2/376沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室

現(xiàn)任取一體積，邊界表面積為S0的確定系統(tǒng)作為考察對象。（1）連續(xù)方程（質量守恒）

表示，在系統(tǒng)內不存在源和匯的情況下，系統(tǒng)的質量不隨時間變化。（2）動量方程

表示：系統(tǒng)的動量對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上的所有外力的合力。（3）動量矩方程

表示：系統(tǒng)對某點的動量矩對時間的變化率等于外界作用于系統(tǒng)上所有外力對同一點力矩之和?！?.4.2Lagrange型積分方程附§2.4流體運動的積分方程2023/2/377沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室（4）能量方程表示：單位時間內由外界傳入系統(tǒng)的熱量Q與外界對系統(tǒng)所做的功W之和等于該系統(tǒng)的總能量E對時間的變化率。傳給系統(tǒng)的熱量：熱傳導和熱輻射。單位時間內，由系統(tǒng)表面?zhèn)魅氲目偀醾鲗Я繛閱挝粫r間內，系統(tǒng)所吸收的熱輻射總量為單位時間內，由質量力和表面力所做的功為附§2.4流體運動的積分方程2023/2/378沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室最后的能量方程形式為§2.4.3Reynolds輸運方程

如要將Lagrange型積分方程改造成為適合于控制體的形式，首先必須解決隨體導數(shù)在控制體上的表示形式。設對于任意函數(shù)，在系統(tǒng)上的積分式為與前面各物理量對應起來，取不同的變量組合，I代表不同的物理量積分。即當=1時，N=M代表系統(tǒng)的質量；當時，N=K代表系統(tǒng)的動量；當時，N=Mr代表系統(tǒng)的動量矩；當時，N=E代表系統(tǒng)的能量。(被積函數(shù)隨時間的變化+系統(tǒng)體積隨時間的變化)引起的

附§2.4流體運動的積分方程2023/2/379沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室為了區(qū)分系統(tǒng)和控制體；對于體積和面積帶下標為0的是針對系統(tǒng)的，無下標的是針對控制體的。設在t時刻某流體系統(tǒng)與控制體重合，在t+t時刻該系統(tǒng)的體積和位置均發(fā)生了變化。在t時刻，系統(tǒng)的體積為，在t+t時刻該系統(tǒng)的體積變?yōu)?，如用表示兩者的公共部分，則有在t時段內，某函數(shù)的增量為（表示物理量的隨體變化增量）附§2.4流體運動的積分方程2023/2/380沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室分解上式，有

（物理量的隨體導數(shù)）

（體積不變，物理量隨時間變化引起的）（體積變化引起物理量的變化）由于附§2.4流體運動的積分方程2023/2/381沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室對于時間變化項，有對于第2項的體積變化量（流出控制體的物理量）對于第3項的體積變化量（流入控制體的物理量）通過控制面凈流出量為附§2.4流體運動的積分方程2023/2/382沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室最后合起來，得到Reynolds輸運方程為這就是表示系統(tǒng)隨體導數(shù)的Reynolds輸運方程。各項物理意義為（1）--表示控制體內物理量隨時間的變化率，表征了流場的非定常特性。（2）--表示單位時間內，通過控制面流出物理量的凈增量，是由于流場的不均勻性引起的。綜合起來，表示系統(tǒng)的隨體導數(shù)等于單位時間內控制體內物理量隨時間引起的增量與通過控制面流出物理量的凈增量之和?！?.4.4Euler型積分方程Euler型積分方程是對控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運方程，可很容易獲得。（1）連續(xù)方程（質量守恒）附§2.4流體運動的積分方程2023/2/383沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室如果取=1，得到連續(xù)方程在控制體內無源和匯的情況下，單位時間內從控制體流出的質量等于控制體內質量的減小量。（2）動量方程單位時間內，在控制體內動量的增量加上通過控制面流出的凈動量等于外界作用于控制體上所有外力之和。附§2.4流體運動的積分方程2023/2/384沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室（3）動量矩方程

單位時間內，控制體內動量矩的增量加上通過控制面流出的凈動量矩等于外界作用于控制體上所有外力矩之和。（4）能量方程單位時間內，控制體內總能量的增量加上通過控制面流出的凈總能量等于傳給控制體內流體的熱量加上所有力對控制體內流體所做的功。附§2.4流體運動的積分方程2023/2/385沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室對于理想流體、質量力有勢、絕熱定常流動，可將能量方程進行簡化。對于絕熱流動在質量力有勢的情況下對于定常流動，由連續(xù)方程可得附§2.4流體運動的積分方程2023/2/386沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室對于理想流體，有對于定常流動，有代入能量方程中，得到對于不可壓流體的絕熱定常流動，有附§2.4流體運動的積分方程2023/2/387沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室我們將控制體外部取得離機翼足夠遠，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒有粘性力了只有壓力的作用，從而x方向表面力為：對于如圖的第二類控制體（機翼被包含在控制體之內），我們將動量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設機翼受力在三個方向的分量為Fx、Fy和Fz。機翼對控制體流體的作用力的三個分量為－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np控制體內的x方向質量力為：控制體內流體在x方向所受的合外力為：控制體內x方向的動量隨時間變化率及凈流出控制面的動量流量為：注：上面的表達中，連接S和S1雙層面上的面積分為0附§2.4流體運動的積分方程2023/2/388沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室由動量積分方程，可得積分形式動量方程的一個重要方面在于人們往往不需要知道控制體中的流動細節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動屬性來求作用力，這個作用力可以包含摩擦力的影響在內，例如用上述方程來求物體受到的阻力等。上述方程常常用于定常流動的氣體中，用于定常流時上式中的當?shù)刈兓室豁椀扔诹?，用于氣體則質量力可以忽略。附§2.4流體運動的積分方程2023/2/389沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室例．有一種尾跡詳測法可以用來測量一個二維物體的型阻（型阻是由粘性直接間接造成的物體阻力）。我們來看一看要測哪些量，并怎樣使用積分形式的動量方程。動量法測型阻

p1、v1p2、v2解：取控制面S

，如圖。在物體的前方相當遠的地方氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在物體后面一定距離的地方，那里的氣流的靜壓已經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。上下兩根連結流線取在遠離物體的地方，在那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個S面上作用的靜壓既然都是同一個值，那末壓力做面積分的結果必是零。設流動定常，時間導數(shù)不存在。在氣流中徹體力項也略去不計。根據(jù)動量方程，只需計算越過控制面的動量流量即可，設翼型受到的阻力為Fx。附§2.4流體運動的積分方程2023/2/390沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室下面舉一簡單例子說明如何綜合應用動量方程與動量矩方程例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對固定斜板（與水平成θ角）的（1）板對流體的作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點設不計重力和流動損失。θb,vb1,v1b2,v2xy解：由于是自由射流，射流開始處及1、2截面處壓強均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計重力的伯努利方程可得：v1=v2=v（或認為流動均勻無旋，伯努利常數(shù)全場成立）由質量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2R（1）求作用力如圖建立坐標系，取控制體如圖，假設控制體受力為R，由y向動量方程：（注意控制面上大氣壓無合力）附§2.4流體運動的積分方程2023/2/391沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室可見θ＝900時受力最大斜板受力與此大小相等方向相反。（2）求射流寬度比b1/b2由x向動量方程：考慮到：v1=v2=v，有上式與b=b1+b2

聯(lián)立得：故得射流寬度比：由于速度相等，這也是流量比Q1/Q2θb,vb1,v1b2,v2xyR附§2.4流體運動的積分方程2023/2/392沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室（3）求力的作用點e設力的作用點距y軸的距離為e，設順時針方向為矩的正方向，由動量矩方程僅當θ＝900

時合力的作用點才通過射流中心θb,vb1,v1b2,v2xyRe附§2.4流體運動的積分方程2023/2/393沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室§2.6環(huán)量與渦

§2.6.1環(huán)量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一個叫環(huán)量，一個叫做渦。環(huán)量的定義在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。像力做功的計算方法一樣，也形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。速度環(huán)量的符號不僅決定于流場的速度方向，而且與封閉曲線的繞行方向有關，規(guī)定積分時逆時針繞行方向為正，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在行進方向的左側。沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

如果把一個速度向量分成三個坐標軸方向的三個分量u,v,w,把線段ds也分解成dx,dy,dz三個方向的三個線段，有2023/2/394沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室于是環(huán)量表達式為如果流動是無旋的，存在位函數(shù)Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏導數(shù)表達。

說明在無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零。但是對于有旋流動，上述結論并不成立。繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般等于零。渦量概念是指流場中任何一點微團角速度之二倍，如平面問題中的2ωz，稱為渦量，渦量是個純運動學的概念。在有旋流動中的速度環(huán)量是1869年Thomson首先引進的?！?.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/395沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室在三維流里，流體微團可以有三個方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合為一個合角速度是旋轉軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有一條曲線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫渦線。渦線的微分方程是（給定時刻，t為參量）?！?.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/396沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構成的曲面稱為渦面。由封閉的渦面組成的管狀渦面稱為渦管。渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量（渦強），在平面問題中，渦通量就是在三維空間問題中，渦通量就是式中的S

是任意形狀空間曲面，dS的為曲面的微元面積。渦線渦面渦管nγ空間問題的渦通量平面問題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。

§2.6.1環(huán)量與渦的概念2023/2/397沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室在有旋流動中，速度環(huán)量與渦量是否存在聯(lián)系，如果存在關系如何。為回答這個問題，首先考察二維流場?！?.6.2環(huán)量與渦量的關系在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。對于微元ABCD，速度環(huán)量為2023/2/398沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室繞整個封閉曲線的速度環(huán)量為上式為二維問題中的格林公式。沿平面上一封閉圍線l做速度的線積分，所得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個微團角速度的2倍乘以微團面積之和，即等于通過面積S的渦通量。§2.6.2環(huán)量與渦量的關系如果圍線內沒有渦，那末沿圍線的環(huán)量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進去的面積里沒有渦，那么環(huán)量值并不會改變。但是速度環(huán)量等于零，不能說明圍線內無渦。推廣到三維空間中的封閉曲線L上，計算的速度環(huán)量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面積應取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面S的圍線L的環(huán)量仍等于S面上各點的二倍角速度與面積dS點積。即2023/2/399沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室三維流中環(huán)量與渦的關系

nγ其實這公式是斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面積分之間的關系。即沿空間封閉曲線L的環(huán)量，等于穿過張在L上任意曲面S上的渦通量，渦通量的數(shù)值與所張的曲面形狀無關，只跟圍線所包含的渦量有關?！?.6.2環(huán)量與渦量的關系2023/2/3100沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室一條強度為Γ的渦線的一段ds對線外的一點P會產(chǎn)生一個誘導速度，情況正像電流會產(chǎn)生磁力的一樣。表達渦段所產(chǎn)生的誘導速度的公式是

這個dv是一個垂直于線段ds與受擾點P所組成的平面的速度（如圖），其值正比于渦強Γ和渦段長度ds，但反比于距離r的平方，另外還要乘上r與ds的夾角的θ的正弦。這個公式在形式上和電磁學中電磁感應的比奧—薩瓦公式一樣，仍叫比奧—薩瓦公式。渦與誘導速度§2.6.3渦的誘導速度2023/2/3101沈陽航空工業(yè)學院飛行器設計教研室現(xiàn)在把一條強度為Γ的直渦線對線外一點所產(chǎn)生的誘導速度寫一下。參看下圖。AB是渦線，P為線外一點，P到AB的距離是h。令任意微段ds與P的連線和AB垂線