第10章 等截面直桿扭轉(zhuǎn)

第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)§10.1扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移§10.2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬§10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)§10.4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§10.5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)§10.6扭轉(zhuǎn)問題的差分解§10.1扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移

設(shè)有等截面直桿，體力不計(jì)，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的扭矩M作用。取桿的一端平面為xy平面，z軸沿桿的縱向。假設(shè)

體力為零平衡方程分析：τzx和τzy只是x和y的函數(shù)，并對(duì)平衡方程第三式變形根據(jù)微分方程理論，一定存在一個(gè)函數(shù)(x，y)，使得則應(yīng)力分量為函數(shù)(x，y)稱為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)（普朗都提出）。將（10-1）及（10-2）代入相容方程（9-32），得即邊界條件：在桿的側(cè)面上應(yīng)力邊界條件要求在邊界上有將（10-2）代入得所以邊界條件要求

上式說(shuō)明：在桿的側(cè)面上（橫截面的邊界曲線上），應(yīng)力函數(shù)的邊界值應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。當(dāng)應(yīng)力函數(shù)增加或減少一個(gè)常數(shù)時(shí)，應(yīng)力分量不受影響，因此在單連截面（實(shí)心桿）的情況下應(yīng)力函數(shù)的邊界值可以取為零s=0（10-4）在多連截面的情況下，雖然應(yīng)力函數(shù)s在每一邊界上都是常數(shù)，但各個(gè)常數(shù)一般并不相同。因此只能把其中某一個(gè)邊界上的s取為零，其它邊界上的s，則應(yīng)根據(jù)位移單值條件來(lái)確定。在桿的任一端（上端）l=m=0，n=-1，則要求因面力必須合成扭矩M，所以要求

根據(jù)（b）中的第一式及（10-2），式（c）左邊的積分改寫為

其中B及A是橫截面邊界上B點(diǎn)及A點(diǎn)的值，由圖可知，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?，可見（c）、（d）兩式滿足

根據(jù)（b）式及（10-2），式（e）左邊的積分改寫為

利用分部積分，并注意到B=A=0

同理可得

于是（e）式成為為了求得應(yīng)力，只須求出應(yīng)力函數(shù)，使之能滿足方程（10-3）~（10-5），然后由（10-2）式求應(yīng)力分量。

位移公式將應(yīng)力分量的表達(dá)式（10-1）及（10-2）代入物理方程（8-17）得總結(jié)：

將上述表達(dá)式代入幾何方程（8-9）得

通過積分，可求得位移分量

積分常數(shù)代表剛體位移，K也是積分常數(shù)。只保留與形變有關(guān)的位移，則

若用柱坐標(biāo)表示，則為

可見，每個(gè)橫截面在xy面上的投影不改變形狀，而只是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度α=Kz。由此可見，桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角為。

將（10-6）代入（f）中的5、6兩式得

通過以上兩式可以求解w。并將以上兩式分別對(duì)y及x求導(dǎo)，然后相減，即得

方程（10-3）中的常數(shù)C應(yīng)為§10.2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬

普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來(lái)比擬扭桿，可以有助于求得扭轉(zhuǎn)問題的解答。設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上，水平邊界與某一扭桿的橫截面邊界具有同樣的形狀和大小。當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。以邊界所在的水平面為xy面，則垂度為z。假定薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只承受均勻的拉力T。

在薄膜中取微小部分abcd，則有

由平衡條件得簡(jiǎn)化得即薄膜在邊界上的垂度等于零，即由于q/T為常量，（10-10）及（10-11）兩式可以改寫為因?yàn)榕まD(zhuǎn)問題中的GK也為常量，（10-8）及（10-4）變形為對(duì)比（b）、（a）兩式，并注意到薄膜和扭桿橫截面具有相同的邊界，與決定于同樣的微分方程和邊界條件，因而具有相同的解答，即命薄膜及其邊界平面之間的體積為V，則有應(yīng)用（c）式及（10-5），可得從而有此外，根據(jù)（10-2）及（c），又可得其中為薄膜沿y方向的斜率，上式可以改寫為

調(diào)整薄膜所受的壓力q，使得薄膜的q/T的值等于扭桿的2GK值，由（c）、（d）、（e）可得如下結(jié)論：（1）該扭桿的應(yīng)力函數(shù)，等于該薄膜的垂度z；（2）該扭桿所受的扭矩M，等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍，即2V；（3）該扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的剪應(yīng)力τzx，等于該薄膜上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的斜率。討論：因?yàn)閤軸和y軸可以取在扭桿橫截面上任意兩個(gè)相互垂直的方向，所以第三個(gè)結(jié)論可以推廣為：在扭桿橫截面上某一點(diǎn)處、沿任一方向的剪應(yīng)力，等于該薄膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的、沿垂直方向的斜率。

扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力等于該薄膜的最大斜率。

最大剪應(yīng)力的方向和最大斜率的方向相互垂直?！?0.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

設(shè)有等截面直桿，它的橫截面具有一個(gè)橢圓邊界，橢圓的半軸分別為a和b。橢圓的方程為應(yīng)力函數(shù)在邊界上為零，故設(shè)為將（b）代入（10-3），得應(yīng)力函數(shù)的形式為將（c）代入（10-5）得由材料力學(xué)知代入（d）可得再回代（c）可得應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力分量的表達(dá)式任一點(diǎn)的合剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角位移分量的表達(dá)式不計(jì)剛體位移，則結(jié)論：

扭桿的橫截面并不保持為平面，而將翹成曲面。曲面的等高線在xy面上的投影是雙曲線，這些雙曲線的漸近線是x軸和y軸。只有當(dāng)a=b時(shí)，才有w=0，橫截面才保持為平面。設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如圖所示狹長(zhǎng)矩形，a>>b。應(yīng)力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎不隨x變化，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的薄膜幾乎不受短邊的影響，于是可以近似取1.狹長(zhǎng)矩形§10.4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)（10-3）成為

積分，并利用邊界條件將（a）代入（10-5）得解得應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)力分量的表達(dá)式最大剪應(yīng)力單位長(zhǎng)度內(nèi)扭轉(zhuǎn)角2.任意矩形應(yīng)力函數(shù)滿足應(yīng)力函數(shù)也可表示為邊界條件滿足

根據(jù)對(duì)稱條件，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是x及y的偶函數(shù)。

取應(yīng)力函數(shù)為

F為修正項(xiàng)，并注意邊界條件（f），所以F應(yīng)是調(diào)和函數(shù)，并滿足邊界條件

根據(jù)對(duì)稱條件，F(xiàn)也應(yīng)該是x及y的偶函數(shù)。

經(jīng)過分析，F(xiàn)可以取如下形式代入（j）中的第一式，得將上式右邊展成級(jí)數(shù)，并比較系數(shù)從而得修正項(xiàng)的表達(dá)式應(yīng)力函數(shù)的最終表達(dá)式最大剪應(yīng)力

扭矩M與扭角K的關(guān)系扭角K的表達(dá)式最大剪應(yīng)力的計(jì)算公式（m）及（n）可以寫成因子β和β1只與比值a/b有關(guān)。兩個(gè)因子的數(shù)值如下a/bββ1a/bββ11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2305.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258很大0.3330.333當(dāng)a/b很大時(shí)，β和β1都趨于1/3,退化為狹長(zhǎng)矩形?！?0.5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)

工程上通常使用的薄壁桿，它們的橫截面大都是由等寬度的狹長(zhǎng)矩形組成。

如果有兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形截面的扭桿，它們的扭角K相同，剪切彈性模量G相同，則兩個(gè)扭桿的扭矩M及剪應(yīng)力τ差別不大。因此，一個(gè)曲的狹矩截面，可以用一個(gè)同寬同長(zhǎng)的直的狹矩截面來(lái)代替，而不致引起多大的誤差。

用ai及bi分別代表扭桿橫截面的第i個(gè)狹矩形的長(zhǎng)和寬，Mi代表該矩形面積上承受的扭矩（整個(gè)橫截面上扭矩M的一部分），τi代表矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K代表扭桿的扭角，根據(jù)公式（10-19）及（10-20），則有由式（b）可得扭桿整個(gè)橫截面上的扭矩為（c）式代入（d）式消去K，回代（a）及（b）兩式得

對(duì)于狹矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的剪應(yīng)力τi，公式（10-23）給出相當(dāng)精確的數(shù)值，但在兩個(gè)狹矩形的連接處，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于此的局部剪應(yīng)力。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值τmax/τi與比值ρ/τi大致如下。

分析閉合薄壁桿的扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，最好應(yīng)用薄膜比擬，以避免應(yīng)用位移單值條件的麻煩。

假想在薄壁桿的橫截面邊界上張一塊薄膜，薄膜在外邊界AB處的垂度為零。命內(nèi)邊界CD處的垂度為h。由于桿壁的厚度δ很小，薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以忽略不計(jì)。于是，在桿壁厚度為δ之處，剪應(yīng)力的大小為扭矩M為A可以取內(nèi)外兩邊界所包圍面積的平均值，也可以取桿壁中線所包圍的面積。

在桿壁中線的微段ds上，薄膜對(duì)平板的拉力為Tds。該拉力在z軸上的投影為Tsinαds，可以近似的取為Ttanαds，即Tdsh/δ,平板所受的壓力為qA，由平衡方程得由于從而得對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿，δ是常量，故有

s是桿壁中線的全長(zhǎng)。

在截面有凹角之處，局部的最大剪應(yīng)力τmax，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于公式（10-25）給出的τ值。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值τmax/τi與比值ρ/τi大致如下?！?0.6扭轉(zhuǎn)問題的差分解

對(duì)于等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問題，如果桿的橫截面是單連截面，則用差分法求解比較方便。

在桿的橫截面上剖分網(wǎng)格，在任一內(nèi)節(jié)點(diǎn)0，有

根據(jù)的微分方程（10-8），在內(nèi)節(jié)點(diǎn)0，有

將（a）代入（b）即得內(nèi)節(jié)點(diǎn)0處的差分方程

由于GKh2是常量，上式對(duì)每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)都相同。

對(duì)于單連截面，可以把邊界上各節(jié)點(diǎn)處的值取為零。在（10-28）所示方程中，未知量只有內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的值，而方程的數(shù)目又恰好等于方程的數(shù)目，因而可以完全求解各內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的值。用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力分量的表達(dá)式為對(duì)于內(nèi)節(jié)點(diǎn)，采用中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)，采用端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式上述應(yīng)力分量是用GKh表示的，利用應(yīng)力函數(shù)與扭矩M的關(guān)系式，即假設(shè)圖中節(jié)點(diǎn)0到節(jié)點(diǎn)8九個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值均已求出，可應(yīng)用二維辛普生積分，計(jì)算以節(jié)點(diǎn)0為中心的2h×2h正方形范圍內(nèi)的積分值。（10-30）

將上述積分值相疊加，得到整個(gè)橫截面上的，用GKh4表示。再將這個(gè)結(jié)果代入（c），可將K值用M值來(lái)表示，從而將求出的應(yīng)力分量用扭矩M表示。

例題

橫截面為正方形a×a的扭桿，采用h=a/4的4×4的網(wǎng)格，如圖所示，試求最大剪應(yīng)力。由于對(duì)稱性，只須計(jì)算b、c、d三種節(jié)點(diǎn)的值（邊界上的值取為