第四章導(dǎo)熱問題數(shù)值解法

第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法數(shù)值解法有限差分：物理概念明確實(shí)施方法簡(jiǎn)便邊界元法：將力學(xué)中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數(shù)的分片插值求解有限元法：將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。是在微分方程中用差商代替偏導(dǎo)數(shù)，得到相應(yīng)的差分方程，通過解差分方程得到微分方程解的近似值§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解基本思想：

把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。yxnNM§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想具體作法：1）建立控制方程及定解條件2）區(qū)域離散(連續(xù)域離散成不連續(xù)節(jié)點(diǎn))3）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程4）求解代數(shù)方程組5）解的分析前處理后處理xyxynNmM(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的有限差分法研究問題：二維、矩形、無內(nèi)熱源、常物性、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。1區(qū)域離散節(jié)點(diǎn)：（m,n）空間步長(zhǎng)：△

x，△y當(dāng)△

x=△y均勻網(wǎng)格單元，控制容積←→（m，n）網(wǎng)格線：△x，△y任意2建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程兩種方法物理法（能量守恒）數(shù)學(xué)法1）內(nèi)節(jié)點(diǎn)（m，n）由能量守恒：凈導(dǎo)入微元體熱量=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)由能量守恒：凈導(dǎo)入微元體熱量=0時(shí)：2）邊界節(jié)點(diǎn)a）平直邊界上的節(jié)點(diǎn)（m，n）凈導(dǎo)入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對(duì)流流入（m,n）單元熱量+=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)h,tfb）外部角點(diǎn)（m，n）凈導(dǎo)入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對(duì)流流入（m,n）單元熱量+=0xynm(m,n)(m,n-1)(m-1,n)h,tf時(shí)：xynm(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(m,n+1)(m,n)c）內(nèi)部角點(diǎn)（m，n）凈導(dǎo)入（m,n）單元體熱量由能量守恒：對(duì)流流入（m,n）單元熱量+=0h,tf時(shí)：3

代數(shù)方程的求解求解方法直接：（高斯消元）迭代：（高斯—賽德爾迭代法）迭代法：假設(shè)初值，迭代初場(chǎng)，重復(fù)迭代判據(jù)：當(dāng)停止迭代網(wǎng)格的無關(guān)性1.判斷2.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達(dá)到熱平衡3.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達(dá)到熱平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.試述Fo,Bi的物理意義。λ1λ2t3t2t1δδxtδδxt0h,tfh,tfδδλ1，λ2誰大？§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值解法1區(qū)域離散化（空間、時(shí)間）x為空間坐標(biāo)，將區(qū)域劃分N-1等份，得N個(gè)節(jié)點(diǎn)。

i為時(shí)間坐標(biāo)，將時(shí)間坐標(biāo)上計(jì)算域劃分I個(gè)節(jié)點(diǎn)，I-1等份。xτiInN(n,i)(n,i+1)(n,i-1)(n+1,i)(n-1,i)一維、非穩(wěn)態(tài)時(shí)間步長(zhǎng)2建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程物理法——熱平衡法非穩(wěn)態(tài)的離散有三種格式向前差分向后差分中心差分以一維問題為例內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：凈導(dǎo)入n的熱量=內(nèi)能增加△xn-1nn+1△y1左側(cè)：右側(cè)：凈導(dǎo)入n的熱量：內(nèi)能的增加相應(yīng)凈導(dǎo)入熱量向前差分向后差分中心差分內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：凈導(dǎo)入n的熱量=內(nèi)能增加△xn-1nn+1△y1若內(nèi)能增加項(xiàng)選前差格式，凈導(dǎo)熱量選i層為“顯式差分格式”——一旦i時(shí)層上個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度已知，可立即算出（i+1）時(shí)層上個(gè)內(nèi)點(diǎn)溫度，不必求解聯(lián)立方程式。其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算工作量小缺點(diǎn)是對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)及空間步長(zhǎng)有一點(diǎn)限制若內(nèi)能增加項(xiàng)選前差格式，凈導(dǎo)熱量選（i+1）層△xn-1nn+1△y13穩(wěn)定性判據(jù)步長(zhǎng)限制——穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)一維、非穩(wěn)態(tài)、顯式格式n=1,2,3…N-1隱式格式的缺點(diǎn)是計(jì)算工作量大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)步長(zhǎng)沒限制，不會(huì)出現(xiàn)解的震蕩現(xiàn)象上式中，已知的是i時(shí)層的值，未知量有3個(gè)：因此，不能直接由上式立即算出之值，而必須求解（i+1）時(shí)層的一個(gè)聯(lián)立方程才能得出（i+1）時(shí)層個(gè)點(diǎn)溫度；稱為隱式差分關(guān)于△x及△τ的選取

原則上步長(zhǎng)越小，計(jì)算結(jié)果越接近于精確解，但機(jī)時(shí)、內(nèi)存增加，此外△τ與△x之間的關(guān)系受到顯式格式穩(wěn)定性影響

物理意義：點(diǎn)n上i+1時(shí)刻的溫度是在該點(diǎn)i時(shí)刻溫度的基礎(chǔ)上計(jì)及了左右兩鄰點(diǎn)溫度的影響后得出的。如兩鄰點(diǎn)的溫度保持不變，合理的情況是：i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越高，則其相繼時(shí)刻的溫度也較高；反之，i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越低，則其相繼時(shí)刻的溫度也較低。在差分方程中要滿足這種合理性是有條件的，即上式中

前的系數(shù)必須大于或等于0。即：對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)的限制△xN-2NN-1xh,tf為滿足穩(wěn)定性判據(jù)，則：網(wǎng)格模型溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果

1.判斷2.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達(dá)到熱平衡3.在其它條件相同的情況下，判斷下列哪種情況先達(dá)到熱平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.試述