工程電磁場第二章

工程電磁場第二章第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/41本章重點靜電場解的唯一性定理。電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念；靜電場基本方程和分界面條件；電場強度、電位的各種計算方法；邊值問題、簡單邊值問題的解析解法；第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/42由庫侖定律引出電場的基本概念，定義電場強度E；借助于電偶極子模型，引入極化電荷概念；考慮電介質對電場的影響(具體體現(xiàn)為介電常數(shù)ε)，定義電位移矢量D；本章總體思路導出靜電場的環(huán)路定理和高斯通量定理;定義電位；第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/43導出靜電場的基本方程和輔助方程；根據基本方程的積分形式導出靜電場中電場強度和電位移矢量的分界面條件；由靜電場基本方程的微分形式，導出用電位表示的靜電場邊值問題，并證明靜電場解的唯一性定理；第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/442.1庫侖定律電場強度1.庫侖定律N(牛頓)N(牛頓)

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷與之間的相互作用力圖2.1.1兩點電荷間的作用力第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/45是為了以后表述的方便。電荷量的單位是庫[侖]（C）比例系數(shù)是真空中的介電常數(shù)。在國際單位制中距離的單位是米（m）力的單位是牛頓（N）F/m第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/46適用條件兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力；無限大真空情況可推廣到無限大各向同性均勻介質中第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/47結論：電場力符合矢量疊加原理。如果是三個帶電體結論是否相同？否。思考題當真空中引入第三個點電荷

時，試問與相互間的作用力改變嗎?為什么？不改變！第三個帶電體的引入改變了電荷分布！第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/48關于庫侖（Coulomb)定律的說明庫侖定律（1785）誕生200多年來，經歷了長期工程實踐的檢驗，從10-15m～宏觀距離均成立。它為靜電場乃至于電磁場奠定了極為重要的實驗基礎。電子的經典半徑為2.8×10-15m。正常狀態(tài)下氫原子中電子到質子的距離為5.29×10-11m。實現(xiàn)核聚變的困難在于原子核都帶正電，相互排斥，一般情況下不能相互靠近而結合。這個斥力為庫侖力。第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/49只有在溫度非常高、熱運動速度非常大時，才能沖破庫侖斥力壁壘，碰在一起而結合，稱為熱核反應。原子結構、分子結構、液（固）體結構和化學作用等問題的微觀本質都和電磁力（其中主要部分為庫侖力）有關。而此類問題中萬有引力的作用卻十分微小。第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4102.電場強度第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/411第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/412試驗電荷受的力與試驗電荷的比值為這個特征量可以表征電荷q產生電場的強弱。第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/413電場強度方向與該點正電荷受力方向相同定義表征靜電場的基本場矢量—電場強度點電荷所產生靜電場的電場強度

單位是伏/米第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/414第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/415兩個點電荷共同產生的靜電場的電場強度為推而廣之n個點電荷共同產生的靜電場的電場強度為第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/416(注意:矢量疊加)V/m第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/417以上介紹了點電荷所激發(fā)（產生）電場的電場強度計算公式，那么各種帶電體所激發(fā)（產生）的電場，其場中任一點的電場強度該如何計算呢？第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/418這是解決工程實際問題的普遍方法！分割（微元）＋求和取極限（對所有場源求積分）＝問題的解答這里任一個微元均可以當做一個點電荷處理！下面我們就來解決這個問題。第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/419根據物質結構理論，在微觀上電荷的分布是不連續(xù)的，是量子化的。即電荷量是電荷最小單位的整數(shù)倍。電荷分布的量子化與宏觀分析的連續(xù)分布處理的說明1)電荷分布不連續(xù)和量子化第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/420電荷分布在宏觀上可以看作連續(xù)分布處理電子的經典半徑約為2.8×10-15m，1pc的電量（10-12c）仍含有600萬個電子。因此，電荷分布在宏觀上可以看作連續(xù)分布處理。電子的經典半徑第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/421

其中：e=1.602×10-19cme=9.1×10-31kgc=(2.997924574±0.000000011)×108m／s≈30萬km／se/me≈1.76×1011C/kgb）金原子核可以看作均勻帶電球，半徑約為6.9×10-15m，電荷量（Ze）=79×1.602×10-19c第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/422對于所研究的問題，場源電荷所占的體積可以忽略時，當作點電荷處理。點電荷、線電荷、面電荷和體電荷的電荷元

（元電荷dq—當作點電荷處理，小微元當作空間的一個點處理）的表示法。當電荷分布于一個較細的物體上，對于所研究的問題，物體的橫截面積可以忽略時，當作線電荷處理。

第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/423當電荷分布于一個薄面中，對于所研究的問題，這個面的厚度可以忽略時，當作面電荷處理。對于所研究的問題，當電荷分布于體積中，當作體電荷處理。第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/424

△q△llq線電荷：對于分布于細棒或細導線上的電荷，當橫截面積對研究的問題可以忽略不計時,就可以當作線電荷處理，電荷的線密度定義為點電荷q第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/425小線段上的電荷看成點電荷，稱為電荷元(或元電荷），記為當電荷均勻分布時，有第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/426

面電荷：對分布在薄面上的電荷，當面的厚度對所研究問題可以忽略不計時，就可以當作面電荷處理，面電荷密度定義為dSq△S△q第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/427

小面元上的電荷看成點電荷，稱為電荷元（或元電荷），記為當電荷均勻分布時，有第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/428

體電荷：對體電荷(電荷分布一般形式)，電荷密度定義為小體積元上的電荷看成點電荷，稱為電荷元（或元電荷），記為當電荷均勻分布時，有V

q△V△q第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/429第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/430第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/431第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/432第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/433q點電荷線電荷電荷元面電荷電荷元體電荷電荷元第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/434電荷元電場強度計算公式與點電荷的相同這是一個無窮小矢量。整個場源區(qū)所有電荷產生的電場強度第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/435第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/436第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/437第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/438第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/439第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/440第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/441第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/442第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/443第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/444第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/445第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/446第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/447（2．1結束）第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/448第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/449靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力“有限”法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題分解面條件和邊界條件電位基本方程D的散度基本物理量E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結構E的旋度第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/450基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量

E、DE

的旋度E的散度基本方程邊值問題唯一性定理分界面(銜接)條件電位（）邊界條件有限元法和有限差分法解析法直接積分法分離變量法鏡像法、電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖2.0靜電場知識結構圖數(shù)值法泊、拉方程返回第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/451N(牛頓)由庫倫定律可知但這兩個電荷并沒有直接接觸這是電荷對電荷的作用力。第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/452第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/453C)連續(xù)分布電荷產生的電場強度體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖2.1.3體電荷的電場第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/454

例2-1-1如圖2-1-4，真空中長度為2l的直線段，均勻帶電，電荷線密度為τ，求線段外任一點P的電場強度。圖2-1-4長直線電荷的電場強度解

場的分布具有軸對稱性，采用圓柱坐標系方便。

，源點坐標為坐標原點設在線段中心，Z軸與線段重合，場點P的坐標為取電荷元

有

引入參變量θ

寫出dE的各分量求P點的場強，場點坐標是不變量，源點坐標中是變量。

把R，cosθ,sinθ用θ表出，有方向相同！否則無法求出積分！第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/455積分得對無限長帶電直線，

從圖2-1-4可知

第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/456例2-1-2如圖2-1-5，求真空中半徑為a，均勻帶電，電荷線密度為τ的圓形線電荷在軸線上任一點的電場強度。圖2-1-5

圓線電荷的電場強度

坐標原點設在圓形線電荷的圓心，Z軸與線電荷圓心軸線重合

解

場的分布具有軸對稱性，采用圓柱坐標系方便。

坐標原點設在線段中心，Z軸與線段重合，場點P的坐標為，源點坐標為取一個電荷元

，源點坐標為再取一個電荷元

兩個對稱電荷元在p點產生的電場強度，沿方向兩個分量符號相反，相互抵消；沿方向的電場強度為零；沿方向的電場強度為2倍。則有計算P點電場強度時，只有是變量第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/457由圖2-1-5得代入上式得該題如果場點不在軸線上，是否可以求出解析解？不能。因為積分過程中將會出現(xiàn)橢圓積分?。ǖ谝活悪E圓積分、第二類橢圓積分）這在積分中是不變量！書上之所以先代入是防止其為變量時忘了處理！積分得

第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/458

無限長直均勻帶電導線產生的電場為平行平面場。

電場強度的矢量積分一般先轉化為標量積分,然后再合成,即

點電荷的數(shù)學模型

積分是對源點進行的,計算結果是場點的函數(shù)。

點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點電荷的密度分布。圖2.1.5.x單位點電荷的密度分布點電荷的電荷密度第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/459點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E

的旋度等于零2.2電位與靜電場的環(huán)路定理

1.靜電場旋度

靜電場環(huán)路定律第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/460可以證明，上述結論適用于點電荷群和分布電荷產生的電場。表明靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得二者等價。第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4613.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)

已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導電位：根據矢量恒等式第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4623)

E與的微分關系

在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少最快的方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：？()？()4)

E與的積分關系設P0為參考點

根據

E與的微分關系，試問靜電場中的某一點圖2.2.1.xE與的積分關系第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4635)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產生的電場：表達式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；

電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/4646)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若是電力線的長度元，E

矢量將與方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線E的方程。當取不同的

C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例2.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線。第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/465在球坐標系中：電力線微分方程（球坐標系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標系）：用二項式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2構造一個矢量稱為電偶極子的電偶極矩第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/466電偶極子的電偶極矩為：電偶極子的電場強度為第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/467圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖2-4-2電偶極子的電場圖第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/468電力線(與等位線（面）)的性質：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負電荷;

E線愈密處，場強愈大;

E線與等位線（面）正交；圖1.2.4.x點電荷與接地導體的電場圖1.2.5.x點電荷與不接地導體的電場第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/469點電荷的電場圖第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/470圖1.2.6.x均勻場中放進了介質球的電場圖1.2.7.x均勻場中放進了導體球的電場圖1.2.8.x點電荷位于一塊介質上方的電場圖1.2.9.x點電荷位于一塊導平面上方的電場第七十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2023/2/471第七十