高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1章2

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)()A．32,16 B．30,15C．40,20 D．36,18【解析】要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)場地寬為x米，則長為eq\f(512,x)米，因此新墻總長L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，則L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為eq\f(512,16)＝32(米)，可使L最短．【答案】A2．將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和，使兩個非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對【解析】設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時，y′<0；當(dāng)4<x≤8時，y′>0.所以當(dāng)x＝4時，y最?。敬鸢浮緽3．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()【導(dǎo)學(xué)號：05410026】\f(R,2)和eq\f(3,2)R \f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)R\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對【解析】設(shè)矩形的寬為x，則長為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(\r(5),5)R時，l′>0；當(dāng)eq\f(\r(5),5)R<x<R時，l′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(\r(5),5)R時，l取最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.【答案】B4．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A．100 B．150C．200 D．300【解析】由題意，得總成本函數(shù)為C(x)＝20000＋100x，總利潤P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400.))所以P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300時，總利潤P(x)最大．【答案】D5．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖1-3-12)，當(dāng)容器的體積最大時，該容器的高為()圖1-3-12A．8cm B．9cmC．10cm D．12cm【解析】設(shè)容器的高為xcm，容器的體積為V(x)cm3，則V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，因?yàn)閂′(x)＝12x2－552x＋4320，由12x2－552x＋4320＝0，得x＝10或x＝36(舍)，因?yàn)楫?dāng)0<x<10時，V′(x)>0，當(dāng)10<x<24時，V′(x)<0，所以當(dāng)x＝10時，V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)有唯一極大值，所以容器高x＝10cm時，容器體積V(x)最大．【答案】C二、填空題6．已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為__________米．【解析】設(shè)廣場的長為x米，則寬為eq\f(40000,x)米，于是其周長為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x>0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時y＝800.當(dāng)0<x<200時，y′<0；當(dāng)x>200時，y′>0.所以當(dāng)x＝200時，y取得最小值，故其周長至少為800米．【答案】8007．已知矩形的兩個頂點(diǎn)A、D位于x軸上，另兩個頂點(diǎn)B、C位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，則這個矩形的面積最大時的邊長為________．【解析】由題意，設(shè)矩形邊長AD＝2x，則AB＝4－x2，∴矩形面積為S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)．∴S′＝8－6x2.令S′＝0，解得x1＝eq\f(2,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(2,3)eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(2,3)eq\r(3)時，S′>0；當(dāng)eq\f(2,3)eq\r(3)<x<2時，S′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(2,3)eq\r(3)時，S取得最大值為eq\f(32\r(3),9).即矩形的邊長分別是eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)時，矩形的面積最大．【答案】eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)8．一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時的燃料費(fèi)是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時96元，當(dāng)行駛每千米的費(fèi)用總和最小時，此輪船的航行速度為________km/【解析】設(shè)輪船的速度為xkm/h時，燃料費(fèi)用為Q元，則Q＝kx3(k≠0)．因?yàn)?＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行駛每千米的費(fèi)用總和為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x>0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因?yàn)楫?dāng)x∈(0,20)時，y′<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(20，＋∞)時，y′>0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時，y取得最小值，即此輪船以20km/h的速度行駛時，每千米的費(fèi)用總和最小．【答案】20三、解答題9．如圖1-3-13，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？圖1-3-13【解】設(shè)小正方形的邊長為xcmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))，則盒子底面長為(8－2x)cm，寬為(5－2x)cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，令V′＝0，得x＝1或x＝eq\f(10,3)(舍去)，V極大＝V(1)＝18，在定義域內(nèi)僅有一個極大值，所以V最大值＝18，即當(dāng)小正方形的邊長為1cm時，盒子容積最大．10．(2023·銀川高二檢測)一書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊書存放一年要庫存費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少？【解】設(shè)每次進(jìn)書x千冊(0<x<150)，手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2)，令y′＝0，得x＝15，列表如下：x(0,15)15(15,150)y′－0＋y單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x＝15時，y取得極小值，且極小值唯一，故當(dāng)x＝15時，y取得最小值，此時進(jìn)貨次數(shù)為eq\f(150,15)＝10(次)．即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15千冊書，所付手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少．[能力提升]1．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q與零售價p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元【解析】設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．【答案】D2．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則其高應(yīng)為 ()【導(dǎo)學(xué)號：05410027】\f(5\r(3),3)cm \f(10\r(3),3)mC．5eq\r(3)m \f(20\r(3),3)m【解析】如圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則h2＋r2＝202.所以r＝eq\r(400－h(huán)2)，所以圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)，所以V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)，令V′＝0，得h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<h<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0；當(dāng)h>eq\f(20\r(3),3)時，V′<0.所以當(dāng)h＝eq\f(20\r(3),3)時，V最大．故選D.【答案】D3．如圖1-3-14，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動，C，D在x軸上運(yùn)動，則此矩形的面積的最大值是__________．圖1-3-14【解析】設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝eq\f(2\r(3),3)時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).【答案】eq\f(4\r(3),9)4．(2023·廣州高二檢測)如圖1-3-15所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和