高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體 7

第7課時(shí)球的體積和表面積課時(shí)目標(biāo)1.了解球的表面積及體積公式的推導(dǎo)方法．2．掌握球的表面積與體積公式的應(yīng)用．識(shí)記強(qiáng)化1．半徑為R的球的體積為eq\f(4,3)πR3.2．半徑為R的球的表面積為4πR2.3．若球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的半徑為eq\f(\r(3),2)a，若球的外切正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的半徑為eq\f(1,2)a.課時(shí)作業(yè)一、選擇題(每個(gè)5分，共30分)1．若將氣球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案：C解析：設(shè)氣球原來(lái)的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3.當(dāng)氣球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后，其體積變?yōu)閑q\f(4,3)π(2r)3＝8×eq\f(4,3)πr3＝8V.2．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是()A．8πB．6πC．4πD．π答案：C解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，即a＝2.故該正方體的內(nèi)切球的半徑r＝1，所以該正方體的內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝4π.3．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同時(shí)等于某一個(gè)球的直徑，則圓柱、圓錐和球的體積之比為()A．4：1：2B．2：1：1C．3：2：1D．3：1：2答案：D解析：球的直徑為2R，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，故V圓柱：V圓錐：V球＝3：1：2.4．一個(gè)正方體與一個(gè)球表面積相等，那么它們的體積比是()\f(\r(6π),6)\f(\r(π),2)\f(\r(2π),2)\f(3\r(π),2π)答案：A解析：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，球的半徑為r，∵6a2＝4πr∴a＝eq\f(\r(6π),3)r∴eq\f(V正,V球)＝eq\f(a3,\f(4,3)πr3)＝eq\f(\r(6π),6)5．一個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，圓錐的底面半徑是球的半徑的3倍，則圓錐的高與底面半徑之比為()\f(4,9)\f(9,4)\f(4,27)\f(27,4)答案：C解析：設(shè)球半徑為r，圓錐的高為h，則eq\f(1,3)×π·(3r)2·h＝eq\f(4,3)πr3，∴h＝eq\f(4,9)r，∴eq\f(h,3r)＝eq\f(4,27).6．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2\f(7,3)πa2\f(11,3)πa2D．5πa2答案：B解析：由題意，知該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為a.如圖，點(diǎn)P為三棱柱上底面的中心，點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2，二、填空題(每個(gè)5分，共15分)7．若一個(gè)球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為_(kāi)_______．答案：12π解析：設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，∴R＝eq\r(3)，∴球的表面積S＝4πR2＝4π×3＝12π.8．已知一個(gè)球與高為2的圓柱的上、下底面及側(cè)面都相切，那么球的表面積為_(kāi)_______，體積為_(kāi)_______．答案：4π，eq\f(4π,3)解析：由題意可知，球的直徑為2R＝2，R＝1，故球的表面積S＝4πR2＝4π，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3).9．已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則這兩個(gè)截面間的距離為_(kāi)_______．答案：1或7解析：若兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個(gè)平行截面在球心的異側(cè)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.三、解答題10．(12分)若正四面體(四個(gè)面都是正三角形的三棱錐)的棱長(zhǎng)為6，求它的內(nèi)切球的表面積．解：內(nèi)切球的球心是正四面體的中心，設(shè)球與側(cè)面和底面的切點(diǎn)分別為E、F，過(guò)兩切點(diǎn)以及球心O作截面如圖，又切點(diǎn)為各面正三角形中心，則AB＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)，BF＝eq\f(1,3)AB＝eq\r(3).由Rt△AOE∽R(shí)t△ABF，得eq\f(EO,BF)＝eq\f(AO,AB)，即eq\f(r,\r(3))＝eq\f(AO,3\r(3)).∴AO＝3r，∴AF＝4r.又AF2＝AB2－BF2，∴(4r)2＝(3eq\r(3))2－(eq\r(3))2.∴r＝eq\f(\r(6),2).∴S球＝4πr2＝6π.11．(13分)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的高與底面直徑相等時(shí)，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差．解：由球的半徑為R，可知球的表面積為4πR2.設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，由圖可知r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝R2，即2r2＝R2，r＝eq\f(\r(2),2)R，從而h＝eq\r(2)R，故圓柱的側(cè)面積為2πrh＝2π×eq\f(\r(2),2)R×eq\r(2)R＝2πR2.所以球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是4πR2－2πR2＝2πR2.能力提升12．(5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______．答案：eq\f(16π,3)＋12解析：該幾何體上部是半徑為2的半球，下部為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的高為3，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，故V＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×23＋22×3＝eq\f(16π,3)＋12.13．(15分)如圖，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．解：由題意知所求旋轉(zhuǎn)體的表面由三部分組成：圓臺(tái)下底面、側(cè)面和半球面，S半球＝eq\f(1,2)×4π×22＝8π，S圓臺(tái)側(cè)＝π(2＋5)×eq\r(42＋5－22)＝35π，S圓臺(tái)底＝π×52＝25π.故所求幾何體的表面積為8π＋35π＋25π＝68π.又V圓