東北大學數(shù)電第一章數(shù)字邏輯基礎

數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng)東北大學信息科學與工程學院數(shù)字電路與數(shù)字信號模擬電路電子電路分類數(shù)字電路

傳遞、處理用連續(xù)的模擬電壓或電流值來表示信息的電子電路

傳遞、處理用離散的電壓序列來表示信息的電子電路數(shù)字信號時間上和幅度上都斷續(xù)變化的信號

模擬信號時間上和幅度上都連續(xù)變化的信號高電平低電平基本概念數(shù)字電路研究的對象：是數(shù)字電路的輸出與輸入之間的因果關系，也就是說研究電路的邏輯關系。數(shù)字電路的分類將晶體管、電阻、電容等元器件用導線在線路板上連接起來的電路。將上述元器件和導線通過半導體制造工藝做在一塊硅片上而成為一個不可分割的整體電路。根據(jù)電路結(jié)構(gòu)不同分分立元件電路集成電路根據(jù)半導體的導電類型不同分雙極型數(shù)字集成電路單極型數(shù)字集成電路以雙極型晶體管作為基本器件以單極型晶體管作為基本器件例如

CMOS例如

TTL數(shù)字電路的分類-根據(jù)集成密度不同分集成電路的分類集成度電路規(guī)模與范圍小規(guī)模集成電路SSI1～10門/片，或10～10個元件/片邏輯單元電路包括:邏輯門電路、集成觸發(fā)器中規(guī)模集成電路MSI10～100門/片，或100～1000個元件/片邏輯部件包括:計數(shù)器、譯碼器、編碼器、數(shù)據(jù)選擇器、寄存器、算術運算器、比較器、轉(zhuǎn)換電路等大規(guī)模集成電路LSI100～1000門/片，或1000～10000個元件/片數(shù)字邏輯系統(tǒng)包括:中央控制器、存儲器、各種接口電路等超大規(guī)模集成電路VLSI大于1000門/片，或大于10萬個元件/片高集成度的數(shù)字邏輯系統(tǒng)包括:各種型號的單片機和控制器數(shù)字電路的應用數(shù)字通訊自動控制數(shù)字電子計算機數(shù)字測量儀表家用電器數(shù)字電路的應用數(shù)字電路的典型應用復雜數(shù)字電子產(chǎn)品已經(jīng)大眾化數(shù)字電路的優(yōu)點便于高度集成化。工作可靠性高、抗干擾能力強。數(shù)字信息便于長期保存。數(shù)字集成電路的產(chǎn)品系列多、通用性強、成本低。保密性好，數(shù)字信息容易進行加密處理，不易被竊取。第1章

數(shù)字邏輯基礎

1.1計數(shù)體制1.2常用編碼1.3二極管和三極管的開關特性1.4邏輯代數(shù)基礎1.1計數(shù)體制把數(shù)的組成和由低位向高位進位的規(guī)則稱為數(shù)制。如果按照進位的方法進行計數(shù)，則稱為進位計數(shù)制。在數(shù)字系統(tǒng)中，常用的數(shù)制包括十進制數(shù)(Decimal)，二進制數(shù)(Binary)，八進制數(shù)(Octal)和十六進制數(shù)(Hexadecimal)。1.1計數(shù)體制數(shù)的表示涉及到兩個基本問題：權和基數(shù)。權是一個與相應數(shù)位有關的常數(shù)，它與該數(shù)位的數(shù)碼相乘后，可得到該數(shù)位的數(shù)碼代表的數(shù)值。基數(shù)是一個正整數(shù)，它等于相鄰數(shù)位上權的比。十進制數(shù)1.1.1十進制數(shù)例：666.66666.66=6×102+6×101+6×100+6×10-1+6×10-2

多項式表示法(Polynomialnotation)。102、101、100、10-1、10-2表示每位數(shù)對應的權值6為系數(shù)。特點：1)基數(shù)10，逢十進一，即9+1=10

2)0-9十個數(shù)字符號3)不同位上的數(shù)具有不同的權值10i。

4)任意一個十進制數(shù)，都可按其權位展成多項式的形式。1.1.1十進制數(shù)n是整數(shù)的位數(shù)m是小數(shù)的位數(shù)ai是第i位系數(shù)10i是第i位的權，10是基數(shù)。1.1.1十進制數(shù)任意進制數(shù)按權展開R為基數(shù)ai為第i位的數(shù)碼Ri為第i位的權值。1.1.2二進制數(shù)組成：0、1進位規(guī)則：逢二進一一個二進制數(shù)M2可以寫成：1.1.2二進制數(shù)一個二進制數(shù)的最右邊一位稱為最低有效位，常表示為LSB(LeastSignificantBit)，最左邊一位稱為最高有效位，常表示為MSB(MostSignificantBit)。例：試標出二進制數(shù)11011.011的LSB，MSB位，寫出各位的權和按權展開式，求出其等值的十進制數(shù)。1.1.2二進制數(shù)M2=11011.0112=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=27.3751011011.01124232221202-12-22-3MSBLSB1.1.3八進制數(shù)和十六進制數(shù)⒈八進制數(shù)組成：進位規(guī)則：權值：基數(shù)：1.1.3八進制數(shù)和十六進制數(shù)⒉十六進制數(shù)組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F進位規(guī)則：逢十六進一1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換方法：按權相加。將非十進制數(shù)各位的數(shù)碼乘以對應的權再累加起來。一個R進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)的過程可用下式表示：(an-1…a0a-1…a-m)R=(an-1×Rn-1…

a0×R0

a-1×R-1…

a-m×R-m)10

非十進制數(shù)十進制數(shù)1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換【例】將(10011.101)2轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。解：(10011.101)2＝(24+21+20+2-1+2-3)10

＝(16+2+1+0.5+0.125)10

＝(19.625)101.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換【例】將(24.2)8轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。解：(24.2)8＝(2×814×802×8-1)10

＝(1640.25)10

＝(20.25)10【例】將(A3.4)16轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。解：(A3.4)16＝(A×1613×1604×16-1)10

＝(16030.25)10

＝(163.25)101.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換一般采用將M10的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換，然后把其結(jié)果相加。整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換一般采用除基取余法(RadixDivideMethod)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換一般采用乘基取整法(RadixMultiplyMethod)。

十進制數(shù)非十進制數(shù)1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換(1)整數(shù)部分轉(zhuǎn)換

R進制整數(shù)都可寫成按權展開的多項式：

(M)10=an-1

Rn-1+…+a1

R1+a0

R0

上式兩邊同除以基數(shù)R可得：

(M/R)10=(an-1

Rn-2+an-2

Rn-3+…+a1

R0)+a0/R除法的余數(shù)部分就是系數(shù)。在轉(zhuǎn)換中，除以R一直進行到商數(shù)為0止。這就是所謂除基取余法(RadixDivideMethod)。1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換例：將十進制數(shù)2510轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。解：

∴2510=1100122523212余1＝a0062122余0＝a1余0＝a2余1＝a3余1＝a41.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換(2)小數(shù)部分轉(zhuǎn)換R進制小數(shù)寫成按權展開的多項式：

(M)10=a-1

R-1+a-2

R-2+…+a-(m-1)

R-(m-1)+a-m

R-m

對上式兩邊同乘以基數(shù)R可得：

(M

R)10=a-1+(a-2

R-1+…+a-(m-1)

R-(m-2)+a-m

R-(m-1))

乘積的整數(shù)部分就是系數(shù)。在轉(zhuǎn)換過程中，乘R過程一直繼續(xù)到所需位數(shù)或達到小數(shù)部分為0止，這就是所謂乘基取整法(RadixMultiplyMethod)。1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換例：將0.2510轉(zhuǎn)為二進制數(shù)。

解：0.2510×2=0.5整數(shù)=0=a-1MSB0.510×2=1.0整數(shù)=1=a-2LSB即0.2510=0.012由上兩例可得25.2510=11001.0121.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換⒉二進制數(shù)和八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換二進制數(shù)八進制數(shù)從小數(shù)點處開始，分別向左、右按每三位分為一組，每組就對應一位八進制數(shù)，組合后即得到轉(zhuǎn)換的八進制數(shù)。八進制數(shù)二進制數(shù)把每位八進制數(shù)寫成等值的三位二進制數(shù)，即得到二進制數(shù)。

1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換例：將1011011.10101112轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。解：1

011

011.101

011

1∴1011011.10101112=133.53480000.1334

351.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換例：將八進制數(shù)2748轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。解：

∴2748=1011110022741000101111.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換⒊二進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換二進制數(shù)十六進制數(shù)將二進制數(shù)從小數(shù)點處開始，分別向左、右按每四位分為一組，每組用相應的十六進制數(shù)表示，組合后可得到相應的十六進制數(shù)。十六進制數(shù)二進制數(shù)把每位十六進制數(shù)寫成等值的四位二進制數(shù)。1.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換例：將10101111.00010110112轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)。解：∴10101111.00010110112=AF.16C1610101111.000101101100.AF16C1.2常用編碼編碼：是指用文字、符號、數(shù)碼等表示某種信息的過程。數(shù)字系統(tǒng)中處理、存儲、傳輸?shù)亩际嵌M制代碼0和1，因而對于來自數(shù)字系統(tǒng)外部的信息，必須用二進制代碼0和1表示。二進制編碼：給每個外部信息按一定規(guī)律賦予二進制代碼的過程?；蛘哒f，用二進制代碼表示有關對象（信號）的過程。

1.2.1二—十進制編碼（BCD碼）用四位二進制代碼表示一位十進制數(shù)的編碼方式。BCD碼的本質(zhì)是十進制，其表現(xiàn)形式為二進制代碼。如果任取四位二進制代碼十六種組合的其中十種，并按不同的次序排列，則可得到多種不同的編碼。常用的幾種BCD碼列于表1-1中。無權碼542124212421無權碼8421權0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010123456789余3循環(huán)碼5421碼2421碼(B)2421碼(A)余3碼8421碼十進制表1-1常用的幾種BCD碼種類1.2.1十進制編碼【例】將十進制數(shù)1987.35轉(zhuǎn)換成BCD碼。解：(1987.35)10＝(0001100110000111.00110101)BCD1.2.1十進制編碼2.余3碼余3碼也是用四位二進制數(shù)表示一位十進制數(shù)，但對于同樣的十進制數(shù)字，其表示比8421碼多0011，所以叫余3碼。余3碼是一種對9的自補碼，即將一個余3碼按位變反，可得到其對9的補碼，這在某些場合是十分有用的。十進制數(shù)8421碼余3碼0000000111000101002001001013001101104010001115010110006011010017011110108100010119100111001.2.2循環(huán)碼循環(huán)碼是格雷碼特點：任意兩組相鄰碼之間只有一位不同。又稱作反射碼有固定的循環(huán)周期00000001001100100110011101010100循環(huán)碼01234567十進制數(shù)表1-2四位循環(huán)碼11001101111111101010101110011000循環(huán)碼89101112131415十進制數(shù)1.2.3ASCII碼ASCII是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美國國家信息交換標準代碼的簡稱。常用于通訊設備和計算機中。它是一組八位二進制代碼，用低七位二進制代碼表示十進制數(shù)字、英文字母及專用符號。第八位作奇偶校驗位（在機中常為0）。如表1-3所示（參見P5表1-3）。表1-3ASCII碼DELo_O?/USSI1111~n^N>.RSSO1110}m]M=-GSCR1101|l\L<,FSFF1100{k[K;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(linefeed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7’ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001p`P@0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001001b4b3b2b1b7b6b5ASCII碼分為兩類：一類是字符編碼，這類編碼代表的字符可以顯示打??；另一類編碼是控制字符編碼，每個都有特定的含義，起一個控制功能。1.3二極管和三極管的開關特性1.3.1二極管的開關特性（一）二極管導通條件及導通時的特點：正向電壓VF≥0.7V（二）二極管截止條件及截止時的特點：VF≤0.5V（硅管）如圖所示在t1時刻輸入電壓由+VF跳變到-VR,會出現(xiàn)很大的反向電流的原因是電荷存儲效應。（a）二極管電路（b）輸入電壓波形（c）理想電流波形（d）實際電流波形產(chǎn)生反向恢復時間tre的原因如圖1-2所示反向恢復時間tre為納秒數(shù)量級，tre值愈小，開關速度愈快，允許信號頻率愈高。（三）二極管反向恢復時間tre1.3.2三極管的開關特性（一）截止、飽和的條件截止：VBE＜0V（0.5V）飽和：IB＞IBS臨界飽和：VCE=VBE此時：ICS=（VCC-0.3）/RC

≈VCC/RC一般VCES=0.1～0.3V（二）三極管的開關時間開啟時間：ton=td+tr延遲時間：td上升時間：tr關閉時間：toff=ts+tf存儲時間：ts下降時間：tf一般地toff＞ton，ts＞

tf并且開關時間為納秒數(shù)量級1.4邏輯代數(shù)基礎數(shù)字電路是研究邏輯的?；靖拍钸壿嫞菏录囊蚬P系邏輯運算的數(shù)學基礎：邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)的變量取值：0、11.4邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)是表示邏輯變量之間的邏輯關系。引進邏輯變量、邏輯函數(shù)兩個術語。具有邏輯屬性的變量—邏輯變量ABFF=f（A，B）⒈邏輯電路中的幾個問題⑴邏輯值的概念在數(shù)字系統(tǒng)中，通常用邏輯真和邏輯假狀態(tài)來區(qū)分事物的兩種對立的狀態(tài)。邏輯真狀態(tài)用‘1’表示；邏輯假狀態(tài)用‘0’來表示。‘1’和‘0’分別叫做邏輯真、假狀態(tài)的值。0、1只有邏輯上的含義，已不表示數(shù)量上的大小。⑵高、低電平的概念把兩個不同范圍的電位與邏輯真、假兩個邏輯狀態(tài)對應。這兩個不同范圍的電位稱作邏輯電平把其中一個相對電位較高者稱為邏輯高電平，簡稱高電平，用H表示。而相對較低者稱為邏輯低電平，簡稱低電平，用L表示。上限值下限值上限值下限值5V1.8V0.8V0V高電平H低電平L⑶狀態(tài)賦值和正、負邏輯的概念狀態(tài)賦值：數(shù)字電路中，經(jīng)常用符號1和0表示高電平和低電平。把用符號1、0表示輸入、輸出電平高低的過程叫做狀態(tài)賦值。正邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用1表示高電平，用0表示低電平，則稱為正邏輯賦值，簡稱正邏輯。負邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用0表示高電平，用1表示低電平，則稱為負邏輯賦值，簡稱負邏輯。⒉基本邏輯運算和基本邏輯門基本邏輯運算有：邏輯與、邏輯或和邏輯非。實現(xiàn)這三種邏輯運算的電路，稱作基本邏輯門。

⑴邏輯與（乘）運算只有決定一件事情的全部條件同時具備之后，結(jié)果才能發(fā)生，這種因果關系為“邏輯與”或“邏輯乘”。⑴邏輯與（乘）運算如圖1-7示照明電路，開關A、B合上作為條件，燈亮為結(jié)果，只有兩個開關全合上時，燈才會亮，否則燈不亮。燈和開關之間符合與邏輯關系。

圖1-7與邏輯電路EABFAB00011011F0001表1-5真值表邏輯符號FAB(b)AB(a)FFAB&(c)⑴邏輯與（乘）運算邏輯真值表（TruthTable）：經(jīng)過狀態(tài)賦值之后所得到的由文字和符號0、1組成的，用于描述輸入和輸出的所有狀態(tài)的表格。簡稱真值表。邏輯與的邏輯關系表達式寫成F=A·B與邏輯功能可記成：“有0為0，全1為1”與運算規(guī)則：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1A·0=0；A·1=A；0·A=0；1·A=A⑵邏輯或（加）運算決定一件事情的幾個條件中，只要有條件之一具備，結(jié)果就會發(fā)生，這種因果關系稱為“或邏輯”，也稱“邏輯加”。⑵邏輯或（加）運算圖1-8為兩個開關并聯(lián)的照明電路。只要有一個或一個以上（二個）開關閉合，燈就會亮。只有開關都斷開時，燈滅。燈亮和開關之間的關系是“或邏輯”關系。EABF圖1-8或邏輯電路（參見P10圖1-8）ABF(c)≥1ABF(a)+ABF(b)邏輯符號AB00011011F0111表1-6真值表⑵邏輯或（加）運算邏輯或的邏輯關系表達式F=A+B或邏輯功能可記成“有1為1，全0為0”。由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，從而推出A+0=A；A+1=1；A+A=A。在邏輯加中1+1=1，1+1+···+1=1。

⑶邏輯非運算條件具備時結(jié)果不發(fā)生，條件不具備時結(jié)果反而發(fā)生，這種因果關系是邏輯非。非也稱為取反。⑶邏輯非運算圖1-9非邏輯電路EARFA01F10表1-7真值表AF1(c)AF(a)AF(b)邏輯圖如圖1-9示照明電路，開關A合上時燈滅；開關A斷開時燈亮。開關合上這一條件具備時燈亮這一結(jié)果不發(fā)生。滿足非邏輯關系。同樣可列出以0和1表示A和F之間的邏輯關系的真值表。⑶邏輯非運算邏輯非的邏輯表達式寫成⑷復合邏輯運算與、或、非為三種基本邏輯運算。用簡單的與、或、非邏輯組合而成的邏輯-----復合邏輯。復合邏輯常見的有與非、或非、異或、同(或)運算等。⑷復合邏輯運算=A⊙B

邏輯符號如下圖，其中第一行為慣用符號；第二行為國標符號；第三行為國外常用符號。⒊邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

⑴基本公式=A⊙B=自等律說明公式求反律反演律分配律結(jié)合律還原律吸收律交換律重迭律互補律0—1律⑴基本公式基本公式可用真值表進行證明。如證明反演律1001100110001000111011101110010000011011AB+ABA⊕BABA+BA+BABABAB⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則⒈代入規(guī)則

在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方，都代之一個函數(shù)，則等式仍然成立。這個規(guī)則叫代入規(guī)則。例如：等式若用F=AC代替A，則根據(jù)代入規(guī)則，等式仍成立，即利用代入規(guī)則，可以將基本公式推廣為多變量的形式，擴大公式的使用范圍

⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則⒉反演規(guī)則將邏輯表達式中所有

·變+，+變成·1變成0，0變成1

原變量變成反變量反變量變成原變量即得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。反演規(guī)則常用于從已知原函數(shù)求出其反函數(shù)。⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則利用反演規(guī)則時須注意以下兩點：

⑴仍需遵守“先括號，然后乘，最后加”的運算順序。

⑵不屬于單個變量上的長非號，在利用反演規(guī)則時應保持不變，而長非號下的變量及·和＋號符號仍按反演規(guī)則處理。德·摩根定理實際上是反演規(guī)則的一個特例。

⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則例：⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則⒊對偶規(guī)則

將邏輯函數(shù)F中的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“０”換成“１”，“１”換成“０”，即可求得F的對偶式F’。若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的對偶式也相等；反之亦然。例：求下列邏輯函數(shù)的對偶式：⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則若證明兩個邏輯式相等，可以通過證明它們的對偶式相等來完成。例：證明A+BC=(A+B)(A+C)證明：先寫出等式兩邊的對偶式等式左邊=A(B+C)

等式右邊=AB+AC根據(jù)分配律A(B+C)=AB+AC知對偶式相等，由對偶規(guī)則知A+BC=(A+B)(A+C)使用對偶規(guī)則時，同樣要注意運算的優(yōu)先級別；正確使用括號；原式中的長非號，短非號均不變。⑶若干常用公式利用基本公式不難證明下列各式也是正確的，直接運用這些公式，可以給化簡帶來很大方便。表1-15若干常用公式⑤添加律②吸收律①合并律⑥=A⊙B③

④⑶若干常用公式證明：

這個公式的含義是當兩個乘積項相加時，若它們分別包含B和兩個因子，而其它因子相同，則兩項定可合并，且能將B和兩個因子消掉。⑶若干常用公式證明：A+AB=AA+A·B=A(1+B)=A·1=A此式表明：兩個乘積項相加，若其中一項以另一項為因子，則該項是多余的。⑶若干常用公式結(jié)果說明：兩個乘積項相加時，如果一項取反后，是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去。

⑶若干常用公式證明：⑶若干常用公式逆證：該式說明：兩個與項相加時，若它們分別包含A和因子，則兩項中的其余因子組成可添加的第三個與項。其逆式也成立，即三個與項相加時，若兩項中分別有和A因子，而這兩項的其余因子組成第三個乘積項時，則第三個乘積項是多余的，可以消去。該公式的推論是：

⑶若干常用公式證明：⑶若干常用公式例：變量x和含有變量x的邏輯函數(shù)相乘時，函數(shù)f中的x用1代替，用0代替，依據(jù)是x·x=x=x·1；x·=0=x·0。F=A[1·B+0·C+(1+D)(0+E)]=A(B+E)⑶若干常用公式例：⒋邏輯函數(shù)及其表示法⑴邏輯函數(shù)數(shù)字電路研究的是輸出變量和輸入變量之間的邏輯關系。圖1-11示出二輸入、一輸出的數(shù)字電路框圖。ABF=f(A,B)圖1-11數(shù)字電路框圖數(shù)字電路當輸入變量A、B取值為邏輯值0或1時，輸出F也只能是0或1。⒋邏輯函數(shù)及其表示法在處理邏輯問題時，可用多種方法來表示邏輯函數(shù)，其常用表示方法有真值表，邏輯表達式，卡諾圖和邏輯圖等。

⑵真值表表示法描述邏輯函數(shù)各個變量取值組合和函數(shù)值對應關系的表格，稱為真值表。由于每一個輸入變量有0、1兩個取值，n個輸入變量有2n個不同的取值組合。將輸入變量的全部取值組合和相應的函數(shù)值一一列舉出來，即可得到真值表。通常輸入變量的全部取值組合按二進制順序進行，以防遺漏，并方便檢查。

⑵真值表表示法

把實際邏輯問題抽象為數(shù)學問題時，使用真值表很方便。當變量較多時，為避免煩瑣可只列出那些使函數(shù)值為1的的輸入變量取值組合。例：三人就某一提議進行表決，試列出表決結(jié)果的真值表。

⑵真值表表示法

解：設輸入變量A、B、C代表三人，F(xiàn)代表表決結(jié)果，兩人以上同意者為1（表示通過），否則為0。A、B、C：同意為1，不同意為0。F：通過為1，不通過為0。則真值表為：

00010111000001010011100101110111FABC表1-16表決邏輯真值表⑶函數(shù)表達式表示法用與、或、非等運算表示函數(shù)中各個變量之間邏輯關系的代數(shù)式子，叫做函數(shù)表達式。由真值表求函數(shù)表達式最方便。方法:(1)找出使函數(shù)值為1的變量取值組合;

(2)變量值為1的寫成原變量，為0的寫成反變量;

(3)函數(shù)值為1的每一個組合寫出一個乘積項;

(4)把乘積項加起來;

---------得到原函數(shù)的標準與或式。把函數(shù)值為0的對應乘積項相加，則得反函數(shù)。⑶函數(shù)表達式表示法例：寫出表決邏輯的原函數(shù)和反函數(shù)的標準與或式。解：00010111000001010011100101110111FABC表1-16表決邏輯真值表⑶函數(shù)表達式表示法優(yōu)點：⑴簡潔方便。能高度抽象而且概括地表示各個變量之間的邏輯關系。⑵便于利用邏輯代數(shù)的公式和定理進行運算、變換。⑶便于利用邏輯圖實現(xiàn)函數(shù)。缺點：難以直接從變量取值看出函數(shù)的值，不如真值表直觀。⑷邏輯圖表示法把函數(shù)表達式所表示的邏輯關系用邏輯符號表示出來而得到的電路圖，稱邏輯圖。邏輯圖只反映電路的邏輯功能。一般可根據(jù)邏輯表達式畫邏輯圖。

方法是把邏輯表達式中相應的運算用門電路的符號來代替。⑷邏輯圖表示法例：將F=AB+BC+CA畫成邏輯圖。如表決邏輯圖所示?！?ABCF表決邏輯邏輯圖&&&⑷卡諾圖表示法卡諾圖（KarnaughMap）是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方法?？ㄖZ圖和真值表一樣可以表示邏輯函數(shù)和輸入變量之間的邏輯關系?？ㄖZ圖是用圖示方法將各種輸入變量取值組合下的輸出函數(shù)值一一表達出來。AB0101ABF00011011圖1-13二變量卡諾圖與相應真值表對應關系⒌邏輯函數(shù)化簡化簡的目的：使邏輯函數(shù)表達式簡單（邏輯圖簡單）以達到所用元件也少,提高可靠性的目的。邏輯函數(shù)表達式不是唯一的。⒌邏輯函數(shù)化簡或-與表達式或-與非表達式與-或-非表達式或非-或表達式與非-與表達式與或表達式或非-或非表達式與非-與非表達式⒌邏輯函數(shù)化簡⑴邏輯函數(shù)的代數(shù)（公式）化簡法

公式化簡法：使用基本公式和常用公式，以求得函數(shù)的最簡式。⒌邏輯函數(shù)化簡①吸收法：根據(jù)公式A+AB=A可將AB項消去。例：化簡解:將A+BC看成一項⒌邏輯函數(shù)化簡②消去法：利用公式。例：⒌邏輯函數(shù)化簡③合并項法利用公式消去一個變量。例：⒌邏輯函數(shù)化簡③合并項法例：⒌邏輯函數(shù)化簡④配項法例：將式中的某一項乘以或加，然后拆成兩項分別與其它項合并，進行化簡。⒌邏輯函數(shù)化簡④配項法例：將式中的某一項乘以或加，然后拆成兩項分別與其它項合并，進行化簡。⒌邏輯函數(shù)化簡⑵邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)是一種簡便直觀、容易掌握、行之有效的方法。在數(shù)字邏輯電路設計中得到廣泛應用。一個邏輯函數(shù)的卡諾圖就是將此函數(shù)最小項表達式中各個最小項相應地填入一個特定的方格圖內(nèi),此方格圖稱為卡諾圖。⒌邏輯函數(shù)化簡①最小項及最小項表達式最小項

在有n個邏輯變量的邏輯函數(shù)中,n個變量(包含所有變量)的乘積項稱為最小項。特點:

n個變量則有2n個最小項;

每個最小項只有n個變量;

每個變量只能出現(xiàn)一次,不是以原變量形式出現(xiàn),就是以反變量的形式出現(xiàn)。⒌邏輯函數(shù)化簡最小項編號

編號方法：

最小項中原變量用1表示，反變量用0表示，變量取值組合就是二進制數(shù)值，而其對應的十進制數(shù)的值，就是該最小項的編號。下表為三變量的最小項及其編號。⒌邏輯函數(shù)化簡表1-17三個變量的最小項及其編號m0m1m2m3m4m5m6m700000101001110010111011101234567最小項編號最小項ABC序號⑵每一個最小項對應了一組變量取值，任意一個最小項，只有對應的那一組取值使其值為1，其它均為0。⑶任意兩個最小項之積恒為0，記作：mi·mj=0（i≠j）⑷所有最小項的邏輯和為1，記作Σmi=1（i=0，1，2，···，2n-1）⑸n個變量邏輯函數(shù)的每一個最小項都有n個相鄰項。相鄰是指邏輯相鄰。⑹兩個最小項相加可以消去互為反變量的因子。

⒌邏輯函數(shù)化簡最小項性質(zhì)

表1-18三變量最小項真值表m7m6m5m4m3m2m1m0編號0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111⑴n個變量的邏輯函數(shù)有2n個最小項。⒌邏輯函數(shù)化簡最小項表達式任何邏輯函數(shù)都可以表示成為最小項之和的形式—標準與或式，并且這種形式是唯一的。就是說，一個邏輯函數(shù)只有一個最小項之和的表達式。⒌邏輯函數(shù)化簡例：寫出F=AB+BC+AC的最小項表達式解：

⒌邏輯函數(shù)化簡②卡諾圖的畫法n變量卡諾圖的畫法：

畫正方形或矩形，圖形中分割出2n個小方格，n為變量的個數(shù)，每個最小項對應一個小方格。變量取值按循環(huán)碼排列（GrayCode），其特點是相鄰兩個編碼只有一位狀態(tài)不同。變量卡諾圖形象地表達了變量各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。⒌邏輯函數(shù)化簡每格標最小項每格標變量取值每格標最小項編號每格標最小項編號的簡寫圖1-13三變量卡諾圖三變量卡諾圖⒌邏輯函數(shù)化簡四變量卡諾圖每格標最小項編號每格標變量取值注意：最小項循環(huán)鄰接的排列順序，蛇形排列。0132675412131514101198⒌邏輯函數(shù)化簡五變量卡諾圖圖1-15五變量卡諾圖⒌邏輯函數(shù)化簡③用卡諾圖來表示邏輯函數(shù)通常邏輯函數(shù)的卡諾圖可由以下三種情況獲得：如果邏輯函數(shù)是最小項表達式,則在相同變量的卡諾圖中,與每個最小項相對應的小方格內(nèi)填1,其余填0。若邏輯函數(shù)是一般式,則先把一般式變?yōu)樽钚№棻磉_式后,再填卡諾圖,或直接按邏輯函數(shù)一般式填卡諾圖亦可。如果已知邏輯函數(shù)真值表,對應于變量取值的每種組合,函數(shù)值為1或為0,則在相同變量卡諾圖的對應小方格內(nèi)填1或填0,就得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。⒌邏輯函數(shù)化簡例：

A000111101001100011BC⒌邏輯函數(shù)化簡例：

⒌邏輯函數(shù)化簡④用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)利用卡諾圖進行化簡，簡捷直觀，靈活方便，且容易確定是否已得到最簡結(jié)果。用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)一般可按以下步驟進行：(a)畫出函數(shù)的卡諾圖(b)畫包圍圈，合并最小項在卡諾圖中，凡是相鄰的最小項均可合并，合并時，可消去有關變量。⒌邏輯函數(shù)化簡兩個相鄰最小項的合并⒍邏輯函數(shù)化簡兩個相鄰最小項的合并⒍邏輯函數(shù)化簡⒌邏輯函數(shù)化簡四相鄰最小項的合并⒌邏輯函數(shù)化簡四相鄰最小項的合并⒌邏輯函數(shù)化簡四相鄰最小項的合并⒌邏輯函數(shù)化簡八相鄰最小項的合并BB⒌邏輯函數(shù)化簡八相鄰最小項的合并CD⒌邏輯函數(shù)化簡(c)選擇乘積項，寫出最簡與或表達式。選擇乘積項時，必須包含全部最小項，選用的乘積項的總數(shù)應該最少，每個乘積項所包含的因子也應該最少。化簡時應注意的幾個問題：⑴圈1得原函數(shù)，圈0得反函數(shù)⑵圈必須覆蓋