高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測試學(xué)業(yè)分層測評5

學(xué)業(yè)分層測評(五)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交【解析】a與c不可能平行，若a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A矛盾，而a與c異面、相交都有可能．【答案】D2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對【解析】∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.【答案】B3．如圖1-4-21所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有()圖1-4-21A．3條 B．4條C．5條 D．6條【解析】由于E、F分別是B1O、C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條：AD、BC、A1D1，所以共有4條．【答案】B4．四面體ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，則EF與BC所成的角為()【導(dǎo)學(xué)號：10690014】A．30° B．45°C．60° D．90°【解析】如圖，取BD中點(diǎn)G，連接EG、FG，則∠EFG為異面直線EF與BC所成角．∵EG＝eq\f(1,2)AD，GF＝eq\f(1,2)BC，AD＝BC，∴EG＝GF.∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，∴EG⊥GF，∴△EGF為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.故選B.【答案】B5．異面直線a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，則直線c與a，b的關(guān)系是()A．c與a，b都相交B．c與a，b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a，b中的一條相交【解析】若c與a、b都不相交，∵c與a在α內(nèi)，∴a∥c.又c與b都在β內(nèi)，∴b∥c.由基本性質(zhì)4，可知a∥b，與已知條件矛盾．如圖，只有以下三種情況．【答案】D二、填空題6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則下列結(jié)論：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是________．【解析】∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.【答案】③7．如圖1-4-22，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是______．圖1-4-22【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PAB是異面直線PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.【答案】90°8．如圖1-4-23，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH，F(xiàn)G間的距離為________．圖1-4-23【解析】在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3)，∴FG＝4cm.在△ABD中，∵點(diǎn)E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．設(shè)EH，F(xiàn)G間的距離為dcm，則eq\f(1,2)×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.【答案】8cm三、解答題9．如圖1-4-24所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大?。畧D1-4-24【解】如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.10．長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)．圖1-4-25(1)求證：D1E∥BF；(2)求證：∠B1BF＝∠A1ED1.【證明】(1)取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))A1B1，∵A1B1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴四邊形EMC1D1為平行四邊形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MBeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF與∠A1ED1的對應(yīng)邊方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.[能力提升]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線中與AD1成60°的有()A．4條 B．6條C．8條 D．10條【解析】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對角線中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對角線與AD1也成60°角．【答案】C2．如圖1-4-26，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()圖1-4-26A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°【解析】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．【答案】C3．一個正方體紙盒展開后如圖1-4-27，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確的是________(填序號)．圖1-4-27【解析】把正方體平面展開圖還原為原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．【答案】①③4．如圖1-4-28所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．圖1-4-28【解】取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△A