正交試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)方法

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與第二章實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法——方差分析法2023/2/4方差分析所要解決的問(wèn)題：各影響因素對(duì)結(jié)果影響程度的相對(duì)大??；各影響因素間是否存在相互作用；實(shí)驗(yàn)條件如何優(yōu)化。通常稱多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異為變差，變差一般用偏差平方和表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于總偏差平方和，即偏差平方和具有加和性，這是建立方差分析的基礎(chǔ)。2023/2/4本章內(nèi)容：2.1概述2.2單因素方差分析2.3無(wú)重復(fù)兩因素方差分析2023/2/42.1概述2.1.1基本概念（1）因素：表示對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響的各種條件、方式、方法等，如溫度、時(shí)間、酸度等。（2）水平：一種因素的各種不同取值狀態(tài)，如溫度、壓力等的不同取值。（3）指標(biāo)：結(jié)果的標(biāo)志，可體現(xiàn)為收率、產(chǎn)量等。（4）偶然誤差：因未能控制的“偶然因素”所引起的誤差叫“實(shí)驗(yàn)誤差”，即隨機(jī)誤差。（5）系統(tǒng)誤差：由于實(shí)驗(yàn)因素的變異引起實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量差異，也稱為“條件誤差”。2.1.2方法

把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總體平均值的方差分解成幾個(gè)部分，每一部分表示方差的一種來(lái)源，將各種來(lái)源的方差進(jìn)行比較，判斷實(shí)驗(yàn)各有關(guān)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響大小。2023/2/4【例2－1】考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用5種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每種催化劑測(cè)試4次，得收率如下表：因素：催化劑；水平：5種指標(biāo)：收率偶然誤差：每種催化劑下所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差s系統(tǒng)誤差：各催化劑下所得平均值的差異催化劑12345收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.94502023/2/42.2單因素方差分析研究單一因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。此時(shí)，方差分析的目的是考察一個(gè)因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著影響。數(shù)學(xué)模型：xij=μ+ai+rij式中，μ：總體平均值；

ai：i水平（i=1,2,…,ni,ni為水平重復(fù)數(shù)）對(duì)結(jié)果的影響，即i水平下的系統(tǒng)誤差；

rij：隨即誤差（j=1,2,…,m,m為水重復(fù)平數(shù)）。該數(shù)學(xué)模型表示：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果＝總體平均值＋因素作用＋隨即誤差2023/2/42.2.1單因素方差分析基本公式設(shè)有m個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體:各個(gè)總體的方差相等：現(xiàn)從總體中抽取容量為ni的隨機(jī)樣本：設(shè)為從第i個(gè)總體抽取的樣本平均值（組平均值），為總平均值，n為從m個(gè)總體中抽取的樣本總?cè)萘?，則：

2023/2/4樣本對(duì)照表2023/2/42.2.2偏差平方和設(shè)Q為偏差平方和，即所有樣本測(cè)定值與總體平均值之差的平方和，則：式中最后一項(xiàng)為協(xié)方差，由于：所以2023/2/4令：則：Q=Qe+U1單因素方差分析的基本關(guān)系式，說(shuō)明偏差平方和具有加和性，即總偏差平方和可以分解為具有不同來(lái)源的若干項(xiàng)。Qe為組內(nèi)偏差平方和：表示各水平下多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異。由于因素影響完全相同，所以為隨機(jī)波動(dòng)所致，屬于隨機(jī)誤差。U1為組間偏差平方和：反映各樣本平均值間的差異，即在因素不同的水平下實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互間的差異，它說(shuō)明了因素的不同水平對(duì)結(jié)果的影響。2023/2/42.2.3方差分析統(tǒng)計(jì)量（1）自由度令f、fe及f1分別為總自由度、組內(nèi)（隨即誤差）自由度和組間自由度，則：表明自由度具有加和性2023/2/4（2）方差令分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則有：（3）統(tǒng)計(jì)量為構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，先求出Qe、U1的期望值：表明，不論各總體平均值μ1，μ2，…μi，…，μm是否相等，為σ2的無(wú)偏估計(jì)量2023/2/4令則可以推得：可見(jiàn)，只有當(dāng)μ1=μ2=…=μi=…=μm時(shí)，才是σ2的無(wú)偏估計(jì)量，否則它的期望值將大于σ22023/2/4式中，第二項(xiàng)表達(dá)了因素不同水平的影響，為判斷因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是否存在顯著性差異，只需判斷該項(xiàng)是否存在即可。為此，可進(jìn)行F-檢驗(yàn)，用如下統(tǒng)計(jì)量：若因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響不存在顯著性差異，則相當(dāng)于各總體均值相等。則第二項(xiàng)為0，有相同的期望值，皆為σ2。此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量應(yīng)趨于1。若因素的不同水平對(duì)結(jié)果存在顯著性影響，則的期望值不等，此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量將明顯大于1。因此，可以根據(jù)F的大小（與臨界值比較）判斷有關(guān)因素的不同水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著性影響。2023/2/4單因素方差分析的程序：①提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：原假設(shè)為H0:μ1=μ2=…=μi=…=μm備擇假設(shè)H1：各總體均值不等②設(shè)原假設(shè)的前提成立：③由已知條件計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算偏差平方和、自由度及F值④根據(jù)顯著性水平α，查出，若，原假設(shè)成立；若，原假設(shè)不成立，而備擇假設(shè)成立⑤最后，將計(jì)算結(jié)果及結(jié)論整理成方差分析表。2023/2/4單因素方差分析表2023/2/4【例2－2】考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用5種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每種催化劑測(cè)試4次，得收率如下表：請(qǐng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。解：n=20，m=5，ni=4催化劑12345收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.94502023/2/4催化劑12345總和收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.94503.653.353.523.233.7817.443.16982.80893.10502.61173.572615.26802023/2/4（1）偏差平方和所以：Q=Qe+U1=0.06027（2）自由度：fe=n-m=20-5=15

f1=m-1=5-1=4

f=n-1=20-1=19（3）方差2023/2/4（4）F-檢驗(yàn)查F-分布表得：F0.05,(4,15)=3.06<<F（5）結(jié)論：催化劑間有差別，且對(duì)結(jié)果影響較大。（6）方差分析如下表所示誤差來(lái)源偏差平方和自由度均方差F值F臨界值結(jié)論*組間0.0442740.0110610.063.06**組內(nèi)0.01605150.0011總和0.06032190.003175注：用*表示有影響；**表示影響顯著；***表示影響高度顯著；下同2023/2/4【例2－3】某4個(gè)實(shí)驗(yàn)室用典法測(cè)定一種銅合金（HPb60-1）試樣中銅的含量，均測(cè)定5次，結(jié)果如下表所示：實(shí)驗(yàn)室測(cè)定結(jié)果/Cu%A66.3760.8560.5660.9260.22B60.8660.9861.0460.5360.71C60.6360.4760.8260.3960.77D61.4461.2461.6761.0461.15試分析各實(shí)驗(yàn)室的測(cè)定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。2023/2/42.3無(wú)重復(fù)兩因素方差分析單因素方差分析只研究一種因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，當(dāng)可能存在多個(gè)因素對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響時(shí)，雖然可以采用“固定其他因素，研究變化因素”的方法，對(duì)所有影響因素分別研究，但這種方法不僅效率低，而且往往會(huì)遺漏最好的組合。2.3.1無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素A有a個(gè)水平，即：

A1,A2,…,Ai,…,Aa因素B有b個(gè)水平，即：

B1,B2,…,Bj,…,BbAi，Bj作用下的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)為xijk，則有：

xijk=μ+αi+βj+δij+rijk

式中，k為重復(fù)測(cè)定次數(shù)；δij為Ai、Bj的交互作用；rijk為隨機(jī)誤差。有重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型2023/2/4對(duì)于無(wú)重復(fù)兩因素方差分析，δij、rijk無(wú)法分辨，可合為一項(xiàng)，用rij表示，相當(dāng)于隨機(jī)誤差，則：

xij=μ+αi+βj+rij在A、B兩因素的共同作用下，得到ab個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如下表：

無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型平均值平均值2023/2/4無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為：總偏差平方和：反映隨機(jī)誤差的偏差平方和：反映因素A各水平之間的偏差：反映因素B各水平間的偏差：2023/2/4無(wú)重復(fù)兩因素方差分析表偏差來(lái)源偏差平方和自由度方差F值F臨界值顯著性A的影響U1B的影響U2隨機(jī)誤差Qe總和Q顯著性判斷準(zhǔn)則:如FA大于臨界值，HA不成立，即因素A影響顯著；如FB大于臨界值，HB不成立，即因素B影響顯著；2023/2/4【例2－4】為了研究酵解作用，分別從8位健康人體中抽取血液制成血濾液，再將每個(gè)受試者的血濾液分成4份，分別放置0min、45min、90min、135min，測(cè)定其中血糖濃度，得到下表的數(shù)據(jù)：受試者放置時(shí)間t0min45min90min135min1151593215148432625710418171510522181786323221147252317881512100試問(wèn)（1）不同受試者的血糖濃度是否存在顯著性差異？（2）放置不同時(shí)間的血糖濃度的差異是否明顯？2023/2/4受試者放置時(shí)間t0min45min90min135min11515934254021514844150132625710681450418171510609385221817865116163232211499268572523178731507