高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關(guān)系 模塊綜合評價(二)

模塊綜合評價(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的)1．某校教學(xué)大樓共有6層，每層均有2個樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有()A．25種 B．52種C．12種 D．36種解析：因為每層均有2個樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有25種不同走法．答案：A2．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ＜3)等于()\f(1,5) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)解析：由正態(tài)分布的圖象知，x＝μ＝3為該圖象的對稱軸，則P(ξ＜3)＝eq\f(1,2).答案：D3．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y43由其散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up12(^))＝－＋a，則a＝()A． B．C． D．解析：eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝，eq\o(b,\s\up12(^))＝，所以eq\o(a,\s\up12(^))＝＋×＝.答案：D4．(2023·陜西卷)二項式(x＋1)n(n∈N*)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：二項式的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xr，令r＝2，得x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n)，所以Ceq\o\al(2,n)＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.答案：C5．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，，2)，，3)，，4)，(13，5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，，4)，，3)，，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1解析：畫出散點圖(圖略)，由散點圖可知X與Y是正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)r1＞0，U與V是負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r2＜0，所以r2＜0＜r1.答案：C6．若隨機變量X～B(n，，且E(X)＝3，則P(X＝1)的值是()A．2× B．2×C．3× D．3×解析：因為X～B(n，，所以E(X)＝np＝＝3，所以n＝5，所以P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,5)××＝3×.答案：C7．如圖所示，A，B，C表示3種開關(guān)，若在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別為，，，那么此系統(tǒng)的可靠性為()A． B．C． D．解析：A，B，C三個開關(guān)相互獨立，三個中只要至少有一個正常工作即可，由間接法知P＝1－(1－×(1－(1－＝1－××＝.答案：B8．有三箱粉筆，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，從這三箱粉筆中各抽出一盒，則這三盒中至少有一盒是次品的概率是()A．× B．×C．Ceq\o\al(1,3)× D．1－解析：設(shè)A＝“三盒中至少有一盒是次品”，則eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A))＝“三盒中沒有次品”，又P(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A)))＝，所以P(A)＝1－.答案：D9．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝()A．1 B．－1C．0 D．2解析：令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋eq\r(3))4.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋eq\r(3))4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋eq\r(3))4(－2＋eq\r(3))4＝1.答案：A10．某商場開展促銷抽獎活動，搖獎?chuàng)u出的一組中獎號碼是8，2，5，3，7，1，參加抽獎的每位顧客從0，1，2，…，9這10個號碼中任意抽出6個組成一組，如果顧客抽出6個號碼中至少有5個與中獎號碼相同(不計順序)就可以得獎，那么得獎的概率為()\f(1,7) \f(1,32)\f(4,34) \f(5,42)解析：設(shè)A表示“至少有5個與搖出的號碼相同”，A1表示“恰有5個與搖出的號碼相同”，A2表示“恰有6個與搖出的號碼相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(6,10))＋eq\f(1,Ceq\o\al(6,10))＝eq\f(5,42).答案：D11．(2023·湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ，σ＜X≤μ＋σ)＝6，(P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝4)A．2386 B．2718C．3413 D．4772解析：設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，則P(0＜X＝1)＝eq\f(1,2)P(－1＜X≤1)＝3，故所投點落入陰影部分的概率P＝eq\f(S陰,S正方形)＝eq\f3,1)＝eq\f(n,10000)，得n＝3413.答案：C12．考查正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于()\f(1,75) \f(2,75)\f(3,75) \f(4,75)解析：如題圖所示，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，不同取法共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225(種)，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12對，所以所求概率為P＝eq\f(12,225)＝eq\f(4,75).答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知隨機變量ξ的分布列如下表，則x＝________.ξ012px2xeq\f(1,4)解析：由隨機變量概率分布列的性質(zhì)可知：x2＋x＋eq\f(1,4)＝1且0≤x≤1，解得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為，，和，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利________元．解析：50×＋30×－20×＝37(元)．答案：3715．小明和小勇在五種課外讀物中各自選購兩種，則他們兩人所選購的課外讀物中至少有一種不相同的選法種數(shù)為________．解析：小明和小勇都有Ceq\o\al(2,5)種選購方法，根據(jù)乘法原理，選購方法總數(shù)是Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＝100.選購的兩本讀物都相同的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,5)＝10.故所求的選法種數(shù)為100－10＝90.答案：9016．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；②設(shè)有一個回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；③線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))必過(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))；④曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；⑤在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2＝，則其兩個變量之間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯誤的個數(shù)是________．解析：由方差的性質(zhì)知①正確；由線性回歸方程的特點知③正確；②④⑤均錯誤．答案：3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)兩臺車床加工同一種機械零件如下表：分類合格品次品總計第一臺車床加工的零件數(shù)35540第二臺車床加工的零件數(shù)501060總計8515100從這100個零件中任取一個零件，求：(1)取得合格品的概率；(2)取得零件是第一臺車床加工的合格品的概率．解：(1)記在100個零件中任取一個零件，取得合格品記為A，因為在100個零件中，有85個為合格品，則P(A)＝eq\f(85,100)＝.(2)從100個零件中任取一個零件是第一臺加工的概率為P1＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，第一臺車床加工的合格品的概率為P2＝eq\f(35,40)＝eq\f(7,8)，所以取得零件是第一臺車床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝eq\f(2,5)×eq\f(7,8)＝eq\f(7,20).18．(本小題滿分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))eq\s\up12(n)展開式中第三項的系數(shù)比第二項系數(shù)大162，求：(1)n的值；(2)展開式中含x3的項．解：(1)因為T3＝Ceq\o\al(2,n)(eq\r(x))n－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(2)＝4Ceq\o\al(2,n)xeq\s\up12(\f(n－6,2))，T2＝Ceq\o\al(1,n)(eq\r(x))n－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))＝－2Ceq\o\al(1,n)xeq\s\up12(\f(n－3,2))，依題意得4Ceq\o\al(2,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＝162，所以2Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,n)＝81.所以n2＝81，n＝9.(2)設(shè)第r＋1項含x3項，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(eq\r(x))9－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝(－2)rCr9xeq\s\up12(\f(9－3r,2))，所以eq\f(9－3r,2)＝3，r＝1.所以第二項為含x3的項：T2＝－2Ceq\o\al(1,9)x3＝－18x3.19．(本小題滿分12分)(2023·山東卷)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”是：125，135，145，235，245，345；(2)X的所有取值為－1，0，1.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(11,42)，甲得分X的分布列為：X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)E(X)＝0×eq\f(2,3)＋eq\f(1,14)×(－1)＋eq\f(11,42)×1＝eq\f(4,21).20．(本題滿分12分)設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時)和Y的分布列分別如表1和表2所示：X90010001100PY95010001050P試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解：由期望的定義，得E(X)＝900×＋1000×＋1100×＝1000，E(Y)＝950×＋1000×＋1050×＝1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得D(X)＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，D(Y)＝(950－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1050－1000)2×＝1500.因為D(X)＞D(Y)，所以乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定，即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．21．(本小題滿分12分)某5名學(xué)生的總成績與數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生ABCDE總成績x/分482383421364362數(shù)學(xué)成績y/分7865716461(1)畫出散點圖；(2)求數(shù)學(xué)成績對總成績的回歸方程；(3)如果一個學(xué)生的總成績?yōu)?50分，試預(yù)測這個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績．(參考數(shù)據(jù)：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819794，482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137760)解：(1)散點圖如圖所示：(2)設(shè)回歸方程為≈，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))≈eq\f(339,5)－×eq\f(2012,5)＝2，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋2.(3)當(dāng)x＝450時，eq\o(y,\s\up12(^))＝×450＋2＝2≈74，即數(shù)學(xué)成績大約為74分．22．(本小題滿分12分)在一次物理與化學(xué)兩門功課的聯(lián)考中，備有6道物理題，4道化學(xué)題，共10道題可供選擇．要求學(xué)生從中任意選取5道作答，答對4道或5道即為良好成績．設(shè)隨機變量ξ為所選5道題中化學(xué)題的題數(shù)．(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望與方差；(2)若學(xué)生甲隨機選定了5道題，且答對任意一道題的概率均為，求甲沒有取得良好成績的概率(精確到小數(shù)點后兩位)．解：(1)依題意，得ξ＝0，1，2，3，4.則P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(5,10))＝eq\f