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模塊綜合評價(二)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題意的)1.某校教學(xué)大樓共有6層,每層均有2個樓梯,則由一樓至五樓的不同走法共有()A.25種 B.52種C.12種 D.36種解析:因為每層均有2個樓梯,所以每層有兩種不同的走法,由分步計數(shù)原理可知:從一樓至五樓共有25種不同走法.答案:A2.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),則P(ξ<3)等于()\f(1,5) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)解析:由正態(tài)分布的圖象知,x=μ=3為該圖象的對稱軸,則P(ξ<3)=eq\f(1,2).答案:D3.下表是某廠1~4月份用水量(單位:百噸)的一組數(shù)據(jù):月份x1234用水量y43由其散點圖可知,用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up12(^))=-+a,則a=()A. B.C. D.解析:eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))=,eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))=,eq\o(b,\s\up12(^))=,所以eq\o(a,\s\up12(^))=+×=.答案:D4.(2023·陜西卷)二項式(x+1)n(n∈N*)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=()A.4 B.5C.6 D.7解析:二項式的展開式的通項是Tr+1=Ceq\o\al(r,n)xr,令r=2,得x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,n),所以Ceq\o\al(2,n)=15,即n2-n-30=0,解得n=-5(舍去)或n=6.答案:C5.變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),,2),,3),,4),(13,5);變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),,4),,3),,2),(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則()A.r2<r1<0 B.0<r2<r1C.r2<0<r1 D.r2=r1解析:畫出散點圖(圖略),由散點圖可知X與Y是正相關(guān),則相關(guān)系數(shù)r1>0,U與V是負相關(guān),相關(guān)系數(shù)r2<0,所以r2<0<r1.答案:C6.若隨機變量X~B(n,,且E(X)=3,則P(X=1)的值是()A.2× B.2×C.3× D.3×解析:因為X~B(n,,所以E(X)=np==3,所以n=5,所以P(X=1)=Ceq\o\al(1,5)××=3×.答案:C7.如圖所示,A,B,C表示3種開關(guān),若在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別為,,,那么此系統(tǒng)的可靠性為()A. B.C. D.解析:A,B,C三個開關(guān)相互獨立,三個中只要至少有一個正常工作即可,由間接法知P=1-(1-×(1-(1-=1-××=.答案:B8.有三箱粉筆,每箱中有100盒,其中有一盒是次品,從這三箱粉筆中各抽出一盒,則這三盒中至少有一盒是次品的概率是()A.× B.×C.Ceq\o\al(1,3)× D.1-解析:設(shè)A=“三盒中至少有一盒是次品”,則eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A))=“三盒中沒有次品”,又P(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(A)))=,所以P(A)=1-.答案:D9.若(2x+eq\r(3))4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=()A.1 B.-1C.0 D.2解析:令x=1,得a0+a1+…+a4=(2+eq\r(3))4.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+eq\r(3))4.所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+eq\r(3))4(-2+eq\r(3))4=1.答案:A10.某商場開展促銷抽獎活動,搖獎?chuàng)u出的一組中獎號碼是8,2,5,3,7,1,參加抽獎的每位顧客從0,1,2,…,9這10個號碼中任意抽出6個組成一組,如果顧客抽出6個號碼中至少有5個與中獎號碼相同(不計順序)就可以得獎,那么得獎的概率為()\f(1,7) \f(1,32)\f(4,34) \f(5,42)解析:設(shè)A表示“至少有5個與搖出的號碼相同”,A1表示“恰有5個與搖出的號碼相同”,A2表示“恰有6個與搖出的號碼相同”,得A=A1+A2,且A1,A2互斥,P(A)=P(A1)+P(A2)=eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(6,10))+eq\f(1,Ceq\o\al(6,10))=eq\f(5,42).答案:D11.(2023·湖南卷)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()(附:若X~N(μ,σ2),則P(μ,σ<X≤μ+σ)=6,(P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=4)A.2386 B.2718C.3413 D.4772解析:設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則P(0<X=1)=eq\f(1,2)P(-1<X≤1)=3,故所投點落入陰影部分的概率P=eq\f(S陰,S正方形)=eq\f3,1)=eq\f(n,10000),得n=3413.答案:C12.考查正方體6個面的中心,甲從這6個點中任意選兩個點連成直線,乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線,則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于()\f(1,75) \f(2,75)\f(3,75) \f(4,75)解析:如題圖所示,甲從這6個點中任意選兩個點連成直線,乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線,不同取法共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)=15×15=225(種),其中所得的兩條直線相互平行但不重合有AC∥DB,AD∥CB,AE∥BF,AF∥BE,CE∥FD,CF∥ED,共12對,所以所求概率為P=eq\f(12,225)=eq\f(4,75).答案:D二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13.已知隨機變量ξ的分布列如下表,則x=________.ξ012px2xeq\f(1,4)解析:由隨機變量概率分布列的性質(zhì)可知:x2+x+eq\f(1,4)=1且0≤x≤1,解得x=eq\f(1,2).答案:eq\f(1,2)14.一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品,如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元,生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元,生產(chǎn)出一件次品,要賠20元,已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為,,和,則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利________元.解析:50×+30×-20×=37(元).答案:3715.小明和小勇在五種課外讀物中各自選購兩種,則他們兩人所選購的課外讀物中至少有一種不相同的選法種數(shù)為________.解析:小明和小勇都有Ceq\o\al(2,5)種選購方法,根據(jù)乘法原理,選購方法總數(shù)是Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)=100.選購的兩本讀物都相同的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,5)=10.故所求的選法種數(shù)為100-10=90.答案:9016.下列說法:①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差恒不變;②設(shè)有一個回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))=3-5x,變量x增加一個單位時,y平均增加5個單位;③線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))=eq\o(b,\s\up12(^))x+eq\o(a,\s\up12(^))必過(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x)),eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)));④曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系;⑤在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=,則其兩個變量之間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯誤的個數(shù)是________.解析:由方差的性質(zhì)知①正確;由線性回歸方程的特點知③正確;②④⑤均錯誤.答案:3三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)兩臺車床加工同一種機械零件如下表:分類合格品次品總計第一臺車床加工的零件數(shù)35540第二臺車床加工的零件數(shù)501060總計8515100從這100個零件中任取一個零件,求:(1)取得合格品的概率;(2)取得零件是第一臺車床加工的合格品的概率.解:(1)記在100個零件中任取一個零件,取得合格品記為A,因為在100個零件中,有85個為合格品,則P(A)=eq\f(85,100)=.(2)從100個零件中任取一個零件是第一臺加工的概率為P1=eq\f(40,100)=eq\f(2,5),第一臺車床加工的合格品的概率為P2=eq\f(35,40)=eq\f(7,8),所以取得零件是第一臺車床加工的合格品的概率P=P1·P2=eq\f(2,5)×eq\f(7,8)=eq\f(7,20).18.(本小題滿分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)-\f(2,x)))eq\s\up12(n)展開式中第三項的系數(shù)比第二項系數(shù)大162,求:(1)n的值;(2)展開式中含x3的項.解:(1)因為T3=Ceq\o\al(2,n)(eq\r(x))n-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,x)))eq\s\up12(2)=4Ceq\o\al(2,n)xeq\s\up12(\f(n-6,2)),T2=Ceq\o\al(1,n)(eq\r(x))n-1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,x)))=-2Ceq\o\al(1,n)xeq\s\up12(\f(n-3,2)),依題意得4Ceq\o\al(2,n)+2Ceq\o\al(1,n)=162,所以2Ceq\o\al(2,n)+Ceq\o\al(1,n)=81.所以n2=81,n=9.(2)設(shè)第r+1項含x3項,則Tr+1=Ceq\o\al(r,9)(eq\r(x))9-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,x)))eq\s\up12(r)=(-2)rCr9xeq\s\up12(\f(9-3r,2)),所以eq\f(9-3r,2)=3,r=1.所以第二項為含x3的項:T2=-2Ceq\o\al(1,9)x3=-18x3.19.(本小題滿分12分)(2023·山東卷)若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù),且只能抽取一次,得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解:(1)所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”是:125,135,145,235,245,345;(2)X的所有取值為-1,0,1.P(X=0)=eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,9))=eq\f(2,3),P(X=-1)=eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))=eq\f(1,14),P(X=1)=eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,4)+Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,9))=eq\f(11,42),甲得分X的分布列為:X0-11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)E(X)=0×eq\f(2,3)+eq\f(1,14)×(-1)+eq\f(11,42)×1=eq\f(4,21).20.(本題滿分12分)設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位:小時)和Y的分布列分別如表1和表2所示:X90010001100PY95010001050P試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好?解:由期望的定義,得E(X)=900×+1000×+1100×=1000,E(Y)=950×+1000×+1050×=1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等,需進一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定,即比較其方差.由方差的定義,得D(X)=(900-1000)2×+(1000-1000)2×+(1100-1000)2×=2000,D(Y)=(950-1000)2×+(1000-1000)2×+(1050-1000)2×=1500.因為D(X)>D(Y),所以乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定,即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好.21.(本小題滿分12分)某5名學(xué)生的總成績與數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生ABCDE總成績x/分482383421364362數(shù)學(xué)成績y/分7865716461(1)畫出散點圖;(2)求數(shù)學(xué)成績對總成績的回歸方程;(3)如果一個學(xué)生的總成績?yōu)?50分,試預(yù)測這個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.(參考數(shù)據(jù):4822+3832+4212+3642+3622=819794,482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137760)解:(1)散點圖如圖所示:(2)設(shè)回歸方程為≈,eq\o(a,\s\up12(^))=eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))-eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))≈eq\f(339,5)-×eq\f(2012,5)=2,所以回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))=+2.(3)當(dāng)x=450時,eq\o(y,\s\up12(^))=×450+2=2≈74,即數(shù)學(xué)成績大約為74分.22.(本小題滿分12分)在一次物理與化學(xué)兩門功課的聯(lián)考中,備有6道物理題,4道化學(xué)題,共10道題可供選擇.要求學(xué)生從中任意選取5道作答,答對4道或5道即為良好成績.設(shè)隨機變量ξ為所選5道題中化學(xué)題的題數(shù).(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望與方差;(2)若學(xué)生甲隨機選定了5道題,且答對任意一道題的概率均為,求甲沒有取得良好成績的概率(精確到小數(shù)點后兩位).解:(1)依題意,得ξ=0,1,2,3,4.則P(ξ=0)=eq\f(Ceq\o\al(5,6)·Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(5,10))=eq\f
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