微波技術(shù)第4章

第4章微波諧振器§4.0引言§4.1諧振腔的基本特性參量§4.2矩形諧振腔§4.3圓柱形諧振腔§4.4同軸型腔及微帶腔§4.5介質(zhì)諧振器§4.6諧振腔的激勵與耦合§4.7諧振腔的等效電路§4.8諧振腔的微擾引言下圖示出了這種演變過程。為了提高工作頻率，必須減小回路的L和C，減小C就必須增加電容極板之間的距離，減小L就必須減少電感線圈的匝數(shù)，減少到一根直導線，然后數(shù)根導線并接，最后在極限情況下得到了封閉的圓柱形諧振腔。這種諧振腔的電能和磁能分布在整個腔內(nèi)，再也分不出哪是電感哪是電容了在結(jié)構(gòu)上它是由一個任意形狀的導電壁所封閉的區(qū)域，在其內(nèi)產(chǎn)生電磁振蕩。微波諧振器還可用以構(gòu)成波長計、倍頻器、頻率預選器、雷達回波箱等。微波諧振器又稱微波諧振腔，其功能相當于低頻LC諧振回路，具有儲能和選頻特性。無線電技術(shù)中，用電感線圈L和電容器C組成集中參數(shù)諧振回路的應用十分廣泛。若頻率升高至分米波波段及其以上時，分布參數(shù)（指線圈導線間的電容，引線電感等）的影響就非常明顯了，使得LC諧振回路難以使用，必須要用諧振腔來代替。實際上，諧振腔就是在克服LC諧振回路在微波波段使用時所出現(xiàn)的問題，由低頻集中參數(shù)電路隨頻率的升高自然過渡而產(chǎn)生的。微波諧振腔一般分為兩類:傳輸線型諧振腔非傳輸線型諧振腔傳輸線型諧振腔是由兩端短路或開路的一段微波傳輸線構(gòu)成，如矩形腔、圓柱形腔、同軸腔、微帶腔和介質(zhì)諧振器等；非傳輸線型通常指具有復雜形狀的諧振器，它在一個或幾個方向上存在不均勻性，如環(huán)形腔、球形腔和孔－槽形磁控管腔等。本章重點分析傳輸線型腔.2.結(jié)構(gòu)堅固、機械制造方便。1.損耗小。這種封閉式諧振腔所具有的優(yōu)點是：由于采用封閉式結(jié)構(gòu)，能量被限制在空腔內(nèi)，避免了能量的輻射，沒有輻射損耗；因此諧振腔具有很高的品質(zhì)因素。空腔增加了電流流過的橫截面積，減少了導體表面引起的熱損耗?？涨豢梢圆惶畛浣橘|(zhì)，介質(zhì)損耗也可避免；引言引言諧振腔實例§4.1諧振腔的基本特性參量集總參數(shù)諧振回路的基本參量是L、R、C，由這三個量可導出其余參量，如諧振頻率f0，品質(zhì)因素Q0等。諧振頻率f0是指諧振腔中該模式的場量發(fā)生諧振時的頻率，也常用諧振波長λ0來表示。求諧振頻率的方法有很多，略述下面三種方法。1）場解法2）電納法3）集中參數(shù)法諧振腔是分布參數(shù)電路，L和C不僅難以直接測量，而且也缺乏確切的物理意義，因此采用諧振頻率f0，固有品質(zhì)因素Q0和等效電導G0作為諧振腔的基本參量。諧振頻率f01、場解法所謂場解法就是對任意形狀的諧振腔，根據(jù)給定邊界條件去求解波動方程的本征值k，由此可知，諧振腔的諧振頻率與其幾何尺寸，工作模式和填充介質(zhì)有關(guān)。由k即可確定諧振腔的諧振頻率。對于用導體所封閉的金屬腔，其腔中的電場和磁場均滿足波動方程(4.1a)假定金屬諧振腔的內(nèi)表面是理想導體，那么電場和磁場所應滿足的邊界條件是(4.2b)當形狀、幾何尺寸和填充介質(zhì)給定后，可以有很多模式使它產(chǎn)生諧振，不同的模式對應著不同的諧振頻率，這就是微波諧振腔的多諧性。這個性質(zhì)是低頻諧振回路所不具備的。諧振腔的基本特性參量諧振頻率f0（i＝1，2，3，…）（4.3）求解滿足邊界條件的波動方程，可以得到一系列的離散的本征值ki

（i＝1,2,3,…），每個k對應一種模式的諧振頻率f0i，可表示為2、電納法計算諧振頻率f0,在重入式腔和磁控管的孔－縫腔中，這種計算具有足夠的準確性。對于某些相對來說電場與磁場分別集中在腔內(nèi)空間不同部位，而諧振腔的幾何尺寸又小于諧振波長λ0，則可以按集中參數(shù)法直接計算L和C，然后根據(jù)公式3、集中參數(shù)法通過對上式的求解可求出諧振頻率f0。(4.5)若采用某種方法得到諧振腔在任一參考面上的等效電路，則在諧振時，此參考面上的總電納應為零，即（4.4）諧振腔的基本特性參量諧振頻率f0品質(zhì)因素是諧振腔中另一個重要參量，它描述了諧振腔選擇性的優(yōu)劣和能量損耗的程度。1、固有品質(zhì)因素諧振腔內(nèi)總的儲能W0為電能時間平均值和磁能時間平均值之和，即諧振時，腔內(nèi)的平均電能與平均磁能相等，故有式中V為腔體體積，為腔內(nèi)各點磁場強度。對于大多數(shù)腔體，介質(zhì)損耗可略去不計，而腔壁熱損耗所引起的損耗功率可表示為其中面積分遍及整個腔內(nèi)壁S，式中Ht為腔體內(nèi)表面的切向磁場，為腔內(nèi)壁的表面電阻，并有，δ為腔壁的趨膚深度。品質(zhì)因素諧振腔的基本特性參量諧振腔固有品質(zhì)因素的定義是：最后得到用場量表示的固有品質(zhì)因素表達式為為了說明Q0值與腔的幾何尺寸的關(guān)系和它的數(shù)量級大小，可假定近似認為這時就可得到因為空腔的線尺寸與工作波長成正比，在數(shù)量級上就應有Q0~λ0/δ，在厘米波波段，由于腔體δ為微米量級，所以Q0值約在104~

105，其值比低頻LC回路高了許多。諧振腔的基本特性參量品質(zhì)因素因此，只要知道了腔中的場分布和腔體所用材料就可算出Q0。其實計算出的Q0比實際測量值高很多，因為諸如腔內(nèi)壁不夠光潔和耦合機制的損耗等因素都沒有考慮在內(nèi)。2、有載品質(zhì)因素固有品質(zhì)因素是對一個孤立的諧振腔而言的，實際的諧振腔總是要與外電路相聯(lián)系的，也就是說，它不論是做為負載，還是做為微波管的振蕩回路，都必須與外電路相耦合。因此在耦合腔系統(tǒng)中，不僅有能量損耗在腔內(nèi)，還有部分能量損耗在腔外，于是耦合腔諧振系統(tǒng)的有載品質(zhì)因素為（4.10）

Qe和QL均為耦合諧振腔的特性參量，反映了腔的耦合程度。但是為了直接和定量地表示腔的耦合程度，定義耦合系數(shù)為β＝Q0/Qe故在Q0固定的條件下，耦合越強，有載品質(zhì)因素越低。（4.11）式中Pe為腔外負載上損耗的功率，PL為腔體本身的損耗功率。上式也可表示為其中Qe稱為外觀品質(zhì)因素。β是腔與負載耦合程度的定量表示，其數(shù)值與耦合裝置的形狀、大小和位置有關(guān)，耦合愈強，β愈大。將β代入（4.11）式中可得（4.12）(4.13)諧振腔的基本特性參量品質(zhì)因素等效電導在實際應用中，為了可以較方便、較形象地描述諧振腔的諧振特性，往往采用等效電路的方法，就是將工作于某一振蕩模式的諧振腔等效為一個集中參數(shù)LC諧振回路，如圖所示。借用LC回路的定義，用等效電導G0來表示諧振腔功率損耗的大小。腔中的損耗功率為其中Vm為等效電路兩端交變電壓的幅值，由此可得等效電導G0為(4.14)微波諧振腔的等效電路諧振腔的基本特性參量在實際應用中，計算G0還是比較復雜的，因G0與場結(jié)構(gòu)有關(guān)，尤其是對具有復雜形狀的腔體來說，由于其場結(jié)的特別復雜使得G0的計算更加困難，因此通常是用實驗的方法來確定。需要指出的是，不同的振蕩模式其諧振頻率和等效電路的參數(shù)是不同的，即諧振腔的三個基本參量都是針對某一模式而言的。對于一個具體的實用諧振腔，通常要求在一定的工作頻率范圍內(nèi)只諧振在一種模式。最后（4.14）可表示為(4.16)（4.15）G0是為了應用中的某些需要而定義的，如微波電子管中常用的環(huán)形腔，通常就選取電子注通過的腔口和路徑來計算Vm，進而計算G0。右圖是速調(diào)管用的環(huán)形腔的結(jié)構(gòu)圖。諧振腔的基本特性參量等效電導將相關(guān)參量代入G0中，其中PL用（4.8）計算，而Vm的值與參考面的選擇有關(guān)，因為諧振腔是分布參數(shù)系統(tǒng)，腔中的電場和磁場與位置有關(guān)，也就是說，Vm與積分路徑及起止點有關(guān)，因Vm是多值的，對應的G0也應是多值的。當選定電壓計算點M，N和積分路徑以后，就可算得電壓為§4.2矩形諧振腔根據(jù)腔的構(gòu)成可以推斷，腔內(nèi)也應存在著TE和TM兩大類波。腔內(nèi)的場應是電磁波在腔的兩端面之間來回反射疊加而形成的，這時在z方向應不再是行波狀態(tài)，而是穩(wěn)定的駐波狀態(tài)，因此腔中的場分布可直接利用矩形波導中場的結(jié)果再加上兩端面的邊界條件而求出。矩形腔中的振蕩模式將長度為l的一段矩形波導兩端用金屬片短路，就構(gòu)成一個矩形諧振腔，如右圖所示。圖中l(wèi)為腔長，a和b為矩形波導橫截面的內(nèi)尺寸。1、TE波由于腔兩端面的反射，腔中同時存在著沿＋z和－z兩個方向傳輸?shù)牟?，腔中的合成波應是兩波的疊加。下面首先給出Hz分量，式中暫時省去了ejωt因子。將兩端面的邊界條件當z＝l時，Hz=0，代入（4.18）式有sinβl＝0分別代入：當z＝0時，Hz=0，可得A=-A’，代入（4,17）式中得（4.18）于是（4.18）可寫成這就要求

βl=pπ，β=pπ/l（p=1，2，3，…）（4.19）矩形諧振腔矩形腔中的振蕩模式（4.20）將（2.40）式中的其余各場分量也仿上寫成向＋z和－z方向傳輸?shù)男胁ǖ寞B加，然后分別代入A=-A’,β=pπ/l，就可得到矩形諧振腔中TE模式的場分量表示式，它們?yōu)椋浩渲芯匦沃C振腔矩形腔中的振蕩模式（4.21a）用與上面完全相同的方法，可求得矩形諧振腔中TM模式場分量的表達式如下：2、TM波kc與TE波相同。矩形諧振腔矩形腔中的振蕩模式

由此可見，矩形諧振腔中可能存在無窮多個TE和TM型振蕩模式，通常用TEmnp和TMmnp來表示。m、n、p三個下標是指電場和磁場沿著x、y，z三個方向變化的半駐波個數(shù)，不同的m、n、p取值代表不同的場分布，因此也稱m、n、p為波型指數(shù)。對于矩形諧振腔來說m、n、p三個指數(shù)只有一個可以為零，TEmnp中因m、n可有一個為零，因此p不能為零，否則全部場分量為零；而TMmnp中m、n一個都不能為零，所以p可以為零。從場分量表達式還可看出，諧振腔中場的橫向分布規(guī)律與波導一樣，但在縱向上不再是行波而形成駐波了，其特點是：⑴在空間上，橫向電場最大的地方橫向磁場為零，反之亦然。這可從橫向電場沿z方向變化遵從正弦規(guī)律而橫向磁場遵從余弦規(guī)律看出，因此沿z軸不再有功率傳輸。⑵在時間上，電場最強的時候磁場為零，反之亦然。這是因為在場的表示式中電場分量和磁場分量之間相差一個“j”因子，而jejωt=ej(ωt+π/2)，即電場各分量與磁場各分量在時間上有90度相位差。因此，腔中電能最大時磁能為零，磁能最大時電能為零。還可以證明，諧振時，電能最大值＝磁能最大值＝任一時刻腔中電能和磁能的總和。這表明腔中電能和磁能不斷地周期性地相互轉(zhuǎn)換，與低頻LC回路中電磁能的轉(zhuǎn)換類似。矩形諧振腔矩形腔中的振蕩模式由此可見，矩形諧振腔的諧振波長不僅決定于腔體尺寸，而且還與振蕩模式指數(shù)m、n、p的取值有關(guān)。對于一個確定的諧振腔，相應于不同的振蕩模式可以有無窮多個不同的諧振波長與之對應，這就是諧振腔的多諧性，是諧振腔區(qū)別于一般低頻LC諧振回路的重要特性之一。由式（4.20）和（4.21）可知，矩形諧振腔中TEmnp和TMmnp模式的β=pπ/l

，即l=p

λg/2，而諧振波長

將矩形波導截止波長λc值代入即得（4.22b）與此相應的諧振頻率為（4.23）解得（4.22a）矩形諧振腔同樣存在著簡并現(xiàn)象。這是因為矩形腔中TEmnp和TMmnp的諧振波長的表達式是完全一樣的，當兩種波取相同的m、n、p時，雖然場結(jié)構(gòu)完全不同，但諧振波長相同，因此兩波發(fā)生簡并，叫做模式簡并現(xiàn)象。矩形諧振腔（4.25）將m=1，n=0，p=1代入（4.20）式，可得其場分量表示式為矩形諧振腔中的主模－TE101模矩形諧振腔（4.24）對于矩形諧振腔而言，當l>a>b時，TE101模具有最長的諧振波長，它為面積分應遍及矩形腔的六個面，即①在空腔的的兩端面上（z=0，l），|Ht|2＝|Hx|2

②在空腔的的左右兩窄壁上（x=0，a），|Ht|2＝|Hz|2

③在空腔的的上下兩寬壁上（y=0，b），|Ht|2＝|Hx|2+|Hz|2根據(jù)品質(zhì)因素的表達式(4.9)，可計算TE101模的Q0值。其中分子的體積分為其場結(jié)構(gòu)如圖所示，電場只有y分量，它在x=a/2、z=l/2處最強；磁場有Hx,Hz兩個分量，Hx在x=a/2、z=0和z＝l最強，Hz在z=l/2、x=0和x＝a最強。矩形諧振腔矩形諧振腔中的主模－TE101模代入有：對于立方腔，a=b=l,上式退化為又因立方腔中TE101模諧振波長為，所以因此得到（4.26）可見諧振頻率越高，Q0值就越低。Q0值的計算都是比較復雜的，在實際工作中可用實驗的方法進行測量，實際值約為理論值的1/2~1/3倍。矩形諧振腔矩形諧振腔中的主模－TE101模為了得到數(shù)量級的概念，下面舉一個計算實例：一個銅制方腔，腔內(nèi)充以空氣，當諧振波長λ0=10cm時，腔壁導體的趨膚深度δ=1.22×10－4cm，計算得到Q0＝19300；當諧振波長λ0＝3cm時，δ=0.66×10－4cm，計算得到Q0＝10700。其中（4.27）最后得到矩形諧振腔在實用中有著廣泛的應用，如：速調(diào)管或固態(tài)源的諧振回路、微波天線開關(guān)中的諧振放電器、波長計及濾波器等。矩形諧振腔做為微波加熱器應用較多的有兩種，一種是“單模腔”，另一種是消費者熟悉的微波爐所用的“多模腔”。單模腔中由邊界條件決定的場分布是不均勻的，對加熱材料的體積和形狀是有嚴格限制的，如很小、很薄、很細的物體，因為只有在材料體積范圍內(nèi)的場才可近似認為是均勻的，常常用來加工低耗物品。多模腔由于同時存在著多種振蕩模式，在一定程度上改變了電磁場分布的不均勻，使得送入的功率盡可能多地分布在多種模式上，以產(chǎn)生盡可能均勻的加熱圖，這時對加熱的物體完全沒有了體積和形狀的限制，矩形諧振腔矩形諧振腔中的主模－TE101模將TE101模的場分量代入（4.6）式，可計算得到等效電導G0。計算時選取積分路徑為點（a/2,0,l/2）到點（a/2,b,l/2）之間的直線，由場分布可知，這里正是TE101模電場最強之處。于是有§4.3圓柱形諧振腔圓柱形諧振腔的分析方法與矩形腔完全類似，也可以利用圓波導中所求出的場分量表示式考慮到腔體兩端面的短路所形成的反射，使得腔中存在著兩個向著＋z和－z方向傳輸?shù)男胁?，而兩個向著相反方向傳輸?shù)男胁ǖ寞B加即為腔中的駐波場分布，該場分布必須滿足兩端面的邊界條件。諧振模式和諧振波長圓柱形諧振腔具有結(jié)構(gòu)簡單、加工容易、調(diào)諧方便、品質(zhì)因素高等優(yōu)點，因此在實用中備受重視。圓柱形腔是由一段長為l的兩端短路的圓波導構(gòu)成，如圖所示，圖中a為半徑，l為腔長。同樣，與圓波導中TE和TM波相對應，圓柱形諧振腔存在著TEnip和TMnip兩類振蕩模式，下面分別討論。1、TE模式（4.28a）首先分析沿正z和負z方向傳輸?shù)腡E模式的Hz分量的疊加。利用（2.58a）式有再將另一短路面z=l處的邊界條件Hz|z=l=0代入得

βl=pπ，或β=pπ/l（p=1,2,3,…）最后可得腔中TEnip模Hz的表示式為（4.29）圓柱形諧振腔諧振模式和諧振波長（4.28b）根據(jù)邊界條件Hz|z=0=0，有A=-A’,由此可將上式寫為(4.30)有了Hz分量以后，就不難求出TE模式其余各場分量。只要利用橫向場分量與縱向場分量的關(guān)系式，將其中的用代替，于是TE模式的全部場分量為圓柱形諧振腔諧振模式和諧振波長式中kc=μni/a，對于TE模，p同樣不能取零，否則全部場解為零，即不存在TEni0模。(4.31)2、TM模類似地可求得圓柱形腔中TM模式的全部場分量，它們?yōu)閳A柱形諧振腔諧振模式和諧振波長其中kc=vni/a，波型指數(shù)n、i的意義與圓波導一樣，p表示場分布沿軸向的半駐波個數(shù)。當n≠0時，TEnip和TMnip與圓波導一樣同樣存在著極化簡并。3、諧振波長圓波導中，其中，TE波：；TM波：根據(jù)（4.29）式，諧振條件為（4.32）分別代入（4.32）式，解出諧振波長為(4.34)（4.33）比較（4.35）和(4.36)可以看出:當l<2.1a時，TM010模是圓柱形諧振腔中的最低模式，因這時它的諧振波長最長；當l>2.1a時，TE111模為最低模式，因此時它的諧振波長最長。下面分別介紹著三種模式的特性。（4.35）(4.36)(4.37)同樣，一個確定尺寸的諧振腔，隨n，i，p的一組組不同的取值，可有無窮多個諧振波長（頻率）。在圓柱形諧振腔中用的最多的是TE111，TM010，TE011三種模式，三種模式的諧振波長為圓柱形諧振腔諧振模式和諧振波長(4.38d)圓柱腔中的三種常用模式1、TE111模式中μ11＝1.841，為一階貝塞爾函數(shù)的第一個根。其場結(jié)構(gòu)如圖所示。當l>2.1a時，TE111模式是腔中的最低模式，這時可以避免干擾模的影響。下面是其特點：該模式對加工精度要求較高。若腔體呈一定的橢圓度時，就會出現(xiàn)極化方向不同的兩種極化簡并模式，呈現(xiàn)雙峰諧振。該模式其頻寬比可達1.5：1，所以可用作寬頻帶頻率計。但這種模式的Q0值不是很高，只有同波長范圍的TE011模式的一半左右，故僅用作中等精度頻率計。在（4.30）式中，令n=1，i=1，p=1，就可得到TE111模式的場表示式，這里僅取一種極化模式，有（省ejωt子）：圓柱形諧振腔2、TM010模將n=0，i=1，p=0代入（4.31）式中就得到TM010模的場分量表達式（省去ejωt）TM010模圓柱形諧振腔中的場分布極其簡單，其場結(jié)構(gòu)如圖所示。其中v01＝2.405。(4.39b)由于這種腔的場結(jié)構(gòu)簡單穩(wěn)定，具有明顯的電場和磁場的集中區(qū)域，常被用作參量放大器的振蕩腔和介質(zhì)測量的微擾腔。這種腔固有品質(zhì)因素與TE111模式一樣不是很高，在用作頻率計時，僅能做到中等精度。其調(diào)諧的方式是在軸心處引入一個可變的圓棒或金屬銷釘，圓棒插入后，增加了腔體的電容，從而可以降低諧振頻率。這種頻率計的特點是調(diào)諧范圍較寬。電場只有Ez分量，磁場只有Hφ分量，場量沿φ方向均無變化，因此具有軸對稱性。下面是其特點：該模式在中心軸線附近有很強的縱向電場，因此可以有效地與在中心軸線上縱向穿過諧振腔的電子注相互作用。圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式②在r=a，即側(cè)壁上

①在z=0，z=l兩個端面上TE011腔最大的特點是腔壁表面的電流分布，其分布如下：(4.40b)其中μ01＝3.832，場分布如圖所示。3、TE011模圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式將n=0，i=1，p=1代入（4.30）式中可得到TE011模式的場分量表達式（省ejωt）：這種腔的電流只有圓周方向的分量，即為橫向電流，因此損耗很小，品質(zhì)因素很高；因為電流只有φ方向的電流，沒有電流線跨過側(cè)壁和端面的交界線，所以TE011腔的端壁可以做成非接觸式（也不是抗流式）活塞進行調(diào)諧，活塞與腔壁之間的間隙不影響TE011諧振腔的性能。由于n=0，TE011模式不存在極化簡并模式，因此不會因為腔體的微小變形而使極化面偏轉(zhuǎn)，這就表現(xiàn)出了其場結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的優(yōu)點。由于以上特點，TE011腔可用作高精度頻率計、穩(wěn)頻腔（與振蕩器相耦合的高Q腔，其作用在于穩(wěn)定振蕩器頻率）和回波箱（也是一種高Q腔，利用其中的強迫振蕩的暫態(tài)過程所產(chǎn)生的脈沖波來模擬雷達的回波信號，常用來調(diào)諧雷達機）等。但由于TE011模式是高次模式，還有簡并波型TM111存在，使用這種腔的關(guān)鍵問題就是抑制和消除干擾模式。所采取的措施是采用不接觸式活塞、腔內(nèi)刻環(huán)形槽和選擇適當?shù)鸟詈蠙C構(gòu)。有了上述措施以外，還可以利用圓柱腔的“模式圖”精心設計其工作方框。下面就來討論模式圖及其應用。下面是TE011的特點：圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式4、模式圖為便于用圖形來表示圓柱諧振腔中各諧振模式的諧振頻率與腔體尺寸之間的關(guān)系，作如下變換。諧振頻率與諧振波長的關(guān)系為(4.41)圓柱形諧振腔中兩大類波型的諧振波長分別是由（4.33）、(4.34)表示。將λ0代入（4.41）式中，并經(jīng)過整理，可寫出如下表示式：式中D=2a為腔的直徑，v為腔內(nèi)介質(zhì)中的光速，若腔內(nèi)填充的介質(zhì)為空氣，則v=c=3×1010cm/s。若頻率以赫茲為單位，長度以厘米為單位，上式可寫成（4.42b）

TMnip模：（4.42a）

TEnip模：顯然，對于給定的振蕩模式μni，vni，p給定，則(f0D)2與(D/l)2的關(guān)系是線性的，直線的斜率是(p/2)2，截距是(μni/π)2或(vni/π)2，這些不同模式對應的不同直線繪制在一張圖上，就構(gòu)成了模式圖。圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式利用模式圖可以確定圓柱形諧振腔單模工作區(qū),用它設計腔體直觀簡便在實用中，一般來說希望腔體工作在單模式，采用的方法是在模式圖上選定一個“工作方框”：在模式圖上以選定的模式所對應的直線為對角線，由腔長(D/l)2和相應的頻率(f0D)2的變化范圍所組成的方框。

如圖中以TE011模為例畫出的實線方框。由圖可見，方框中只有一條直線通過，這就是該模式的單模工作方框，橫坐標給出了最小腔長和最大腔長，縱坐標對應于最低諧振頻率和最高諧振頻率，將諧振腔的調(diào)諧范圍限制在一個小區(qū)域內(nèi)。有時需要擴大諧振腔的工作范圍，例如當腔用作頻率計時，通常希望在能夠克服干擾模式的條件下，力求把工作方框擴大，像圖中虛線所示的較大方框。凡通過方框的干擾模式都應該設法抑制，這可以通過對其分布特點的了解采取適當?shù)拇胧┘右越鉀Q。圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式(4.43)(4.44)(4.45)圓柱形諧振腔各振蕩模式的品質(zhì)因素及等效電導亦可由（4.9）和（4.16）式求得，這時只需將相應模式的場分量代入兩式，就可求得該模式的固有品質(zhì)因素和等效電導。下面給出三個常用模式的固有品質(zhì)因素表示式：圓柱形諧振腔圓柱腔中的三種常用模式§4.4同軸型腔及微帶腔在示意圖上任選一參考面T，從參考面向兩邊看過去的導納為純電納和，應用電納法其諧振條件應為同軸型諧振腔和微帶諧振腔的工作模式分別為TEM模和準TEM模，這些模式的優(yōu)點是場結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定、無色散、工作頻帶寬。下面分別加以討論。同軸型諧振腔1、λ/2同軸諧振腔將一段長度為l的同軸線兩端用導體短路，就構(gòu)成了λ/2同軸諧振腔，右圖就是它的示意圖。這種腔體也是傳輸線型諧振腔，可以用前面矩形腔和圓柱形腔所采用的方法求其場分量的表示式和諧振波長。但是在本節(jié)我們換一種更為簡便的方法，來求解諧振波長或諧振頻率，這個方法就是曾經(jīng)介紹過的電納法。(4.46)或諧振條件可用右圖所示圓圖求出。因為，若兩值對應的電長度分別為l1/λ0,

l2/

λ0。則二者之和應為諧振腔諧振時的腔長是半波長的整數(shù)倍，故該腔被稱為半波長諧振腔?？煽闯霎斍坏拈L度固定時，不同的n將對應著不同的諧振波長；這說明，同軸型腔同樣具有多諧性的特點。（n=1，2，3，…）即2、λ/4同軸諧振腔同樣采用電納法求解諧振波長或諧振頻率。任選一參考面T，從T向兩端看過去的導納為純電納和，諧振條件為n=（0，1，2，…）（4.48）由此可解得同樣可用圓圖表示諧振條件，如上圖(右)所示，從開路點順時針旋轉(zhuǎn)l1/λ0就可得值，從短路點順時針旋轉(zhuǎn)

l2/

λ0可得值。滿足諧振條件的諧振長度為由于諧振長度是λ/4的奇數(shù)倍，故稱為四分之一波長型同軸諧振腔。在實用中，為了減少輻射損耗，常把開路端的外導體延長，延長部分形成了一段工作于TM01模的截止圓波導，使其起著截止衰減器的作用，用以防止腔內(nèi)電磁能量的輻射。但因其有著不大的輸入電容，故內(nèi)導體應比四分之一波長略短。將一段長度為l的同軸線一端開路一端短路就構(gòu)成了λ/4同軸諧振腔，其示意圖如下同軸型腔及微帶腔同軸型諧振腔根據(jù)Q0的定義，可求出同軸型諧振腔的品質(zhì)因數(shù)的表示式，這里給出其結(jié)果。不難證明，當b/a＝3.6時，Q0值最大。對于一般的銅制腔，算得Q0值約為103數(shù)量級，可作中、低精度的波長計用。λ/2同軸諧振腔：（4.49）λ/4同軸諧振腔：（4.50）同軸型腔及微帶腔同軸型諧振腔3、電容加載型同軸諧振腔將一段長為l的同軸線兩端短路，但讓其中一段的內(nèi)導體與端蓋面之間留有一縫隙，其縫隙寬度d<<l。由于縫隙處的電場十分集中，可以看成一個等效集中參數(shù)電容。故整個諧振腔相當于一端短接，另一端接有集中電容的一段傳輸線，通常將這種諧振腔稱為電容加載型同軸諧振腔，右圖為示意圖選取圖中AA截面為參考面，諧振時該參考面上的總電納應為零得諧振條件右圖用圖解法示意了已知l和C求ω0及已知ω0和C求l而由圖b，電容愈大，則在固定頻率下諧振所需要的腔長就愈短，電容C的作用是縮短了腔長，使得其比λ/4腔的長度要短，所以稱C為縮短電容，此腔稱作縮短電容型同軸腔。由圖a，對于一確定長度的諧振腔，有無窮多個諧振頻率，因此同樣具有多諧性的特點。同軸型腔及微帶腔同軸型諧振腔1、條形諧振器微帶條形諧振器與同軸型腔類似，也可由一段兩端短路或兩端開路的微帶線段構(gòu)成λ/2微帶諧振器；或一段一端開路一端短路的微帶線構(gòu)成λ/4微帶諧振器。開路端存在邊緣效應，此邊緣效應可以用長度為△l<λ/4的一段微帶線等效，其近似計算公式為：所以微帶條形諧振器的其諧振條件為（p=1，2…）為帶內(nèi)波長，l為微帶線長度。類似的對于λ/4微帶諧振器應有（p=1，2…）式中W和h分別為中心導帶寬度和介質(zhì)基片厚度,εe為微帶線的有效介電常數(shù).當2<εr<50,w/h>0.2時,上式的誤差小于4％.實用的微帶諧振器有條形諧振器，環(huán)形諧振器和圓形諧振器，其結(jié)構(gòu)如下圖所示同軸型腔及微帶腔微帶型諧振器2、微帶環(huán)形諧振器微帶環(huán)形諧振器，它是把介質(zhì)基片上的導體帶做成圓環(huán)狀。這種諧振器中振蕩模式為TMni0。主模為TM110，它只有Ez,Hr和Hφ分量，輻射損耗很小，Q0值較高。TMm10模的諧振條件為(當環(huán)的平均周長等于微帶線波長的整數(shù)倍時發(fā)生諧振)式中r1,r2分別為微帶環(huán)的內(nèi)、外半徑。因為，所以諧振波長為為了避免產(chǎn)生高次模,環(huán)的尺寸應選為w/R≤0.1,其中R為環(huán)的平均半徑,R=(r1+r2)/2（4.54）3、微帶圓形諧振器圓形諧振腔的導帶制作成圓片形，它是環(huán)形諧振腔在w/R→1時的極限狀況。這種諧振器可以方便地與微帶線耦合，Q0值較高，可用作體效應管或雪崩二極管振蕩器中的諧振回路?？蓪⑵湟暈樯舷碌酌鏋槔硐腚姳冢闹軋A柱側(cè)壁為磁壁，內(nèi)充以介質(zhì)的高度極小的諧振器。振蕩模式也是TMmi0模，主模也是TM110模。在某些特殊應用中還可以將介質(zhì)基片上的導體帶做成橢圓形。同軸型腔及微帶腔微帶型諧振器§4.6諧振腔的激勵與耦合4、電子注耦合。當電子注飛越諧振腔（多為環(huán)形腔）的間隙時，在其中產(chǎn)生感應電流，電子把動能的一部分交給諧振腔中的場。這主要用在超高頻電真空器件中。3、小孔耦合（電磁耦合）。利用腔壁的小孔與相鄰的波導耦合。小孔所取的位置，要使諧振腔的某一被激勵振蕩模式的場分量與波導中傳輸?shù)哪莻€波型的場分量具有共同的方向，讓二者耦合起來，以便使二者中的一個激勵另一個。2、磁耦合（磁場耦合）。利用耦合環(huán)或電感膜片耦合。耦合環(huán)平面垂直于磁場方向放在磁場的最強處，這是通過磁場使諧振腔與外電路相耦合。1、電耦合（電場耦合）。利用探針或電容膜片、微帶的間隙電容耦合，探針沿著電場的方向位于電場的最大值處。這是通過電場使諧振腔與外電路相耦合。在實際應用時,諧振腔不會孤立存在，要與其他電路相聯(lián)結(jié)。外部的電磁能量通過激勵的方式送入諧振腔中，諧振腔向外部負載以耦合的方式送出能量。從本質(zhì)上講，激勵與耦合是同一類問題，常統(tǒng)稱為耦合。諧振腔的耦合激勵的原則與波導相似，其主要方式有以下幾種。當諧振腔與外電路耦合時，由于有一部分能量將會損耗在腔外，這時的品質(zhì)因素就不能只考慮固有品質(zhì)因素Q0，而要引進與外電路損耗能量相關(guān)的有載品質(zhì)因素QL，關(guān)于QL已在§4.1節(jié)給出了定義及其表示式，這里不再贅述。對耦合方式及裝置的選擇，除了與外部傳輸線類型及諧振腔的形狀、振蕩模式有關(guān)外，還需要考慮對所要求的模式激勵最為有效，而抑制不需要的干擾模式等問題。下圖示出了同軸線、波導、微帶線與諧振腔之間的幾種常見的耦合方式。探針激勵環(huán)激勵小孔耦合小孔耦合微帶諧振器縫隙耦合到微帶線介質(zhì)諧振器耦合到微帶線諧振腔的激勵與耦合§4.7諧振腔的等效電路應用場論的方法來計算諧振腔是嚴格的，但有的地方采用等效電路的方法往往較為方便。實際的諧振腔是要與外部電路發(fā)生耦合的。通常可將有耦合的諧振腔分成耦合結(jié)構(gòu)和諧振腔兩部分，分別找出諧振腔的等效電路和耦合結(jié)構(gòu)的等效電路。由于諧振腔的多諧性，耦合腔的特征不能用一個LC諧振回路來等效，但大多數(shù)實用腔一般都是單模工作的，當僅限于研究某一諧振模式的諧振頻率附近的情況時，其它諧振模式嚴重失諧，其場為零（無耗腔），或十分微弱(有耗腔)，可以近似忽略其影響，此時，單模諧振腔可以等效為集中參數(shù)諧振回路。單個諧振腔的等效電路諧振腔等效為并聯(lián)諧振回路還是串聯(lián)回路，這取決于參考面位置的選擇。當參考面選在諧振時電場最大值處時，其等效電路是并聯(lián)形式；當參考面選在諧振時磁場為最大值處時，其等效電路是串聯(lián)形式。這與并聯(lián)GLC回路諧振時電路兩端電壓最大和串聯(lián)LCR回路諧振時電路中流過的電流最大的物理事實相一致。其中實數(shù)部分為電導，是一個常數(shù)；虛數(shù)部分為電納，是隨頻率而變化的，若以B表示虛數(shù)部分，則(4.61)因諧振頻率，并且當工作在諧振頻率附近時，可以認為ω＋ω?！?ω，則有(4.62)顯然在諧振頻率附近有：①回路電導為常數(shù)。②電納B隨頻率ω呈直線率變化，直線的斜率dB/dω>0。③當ω=ω0時，B通過零點。于是在諧振頻率附近，電納B隨ω的變化率為（4.63）右圖為并聯(lián)諧振回路導納頻率特性曲線。諧振頻率附近導納頻率特性曲線對于并聯(lián)諧振回路，如下圖所示諧振腔的GLC并聯(lián)諧振回路(4.60)其回路的導納為下面討論并聯(lián)諧振電路的特性，從而導出“等效準則”諧振腔的等效電路單個諧振腔的等效電路上述諧振回路的頻率特性是諧振腔與集中參數(shù)諧振回路等效的準則。等效回路的參數(shù)可由諧振腔的已知基本參量ω0，Q0，G0來計算，或用實驗方法來測量。(4.64)采用等效電路的方法，可將諧振腔的重要參量－品質(zhì)因素化為等效電路的可測參量表示，以便于實驗中測量它的大小。并聯(lián)諧振回路的品質(zhì)因素（4.65）將（4.63）式代入得由式可見，在諧振頻率附近，回路電納隨頻率的變化率是Q0的量度，因此可以通過測量諧振頻率附近的dB/df而得到諧振腔品質(zhì)因素的大小；G0是在選定參考面時所測得的諧振腔等效電導。(4.66)(4.67)若以GL表示折合到同一參考面的腔負載電導，則可將腔的外部品質(zhì)因素和有載品質(zhì)因素表示如下：諧振腔的等效電路單個諧振腔的等效電路耦合諧振腔的等效電路孤立的諧振腔是沒有意義的，在實際應用中，單個諧振腔必須通過耦合裝置和外電路連接在一起，它與耦合裝置和傳輸系統(tǒng)等組成耦合腔系統(tǒng)。下面以小環(huán)耦合的諧振腔為例討論耦合腔系統(tǒng)的等效電路。右圖示出的是一個通過同軸線末端的小環(huán)與外電路耦合的諧振腔，當選定腔中參考面為MN時，諧振腔等效為并聯(lián)諧振回路，耦合裝置中的自身損耗一般很小，當耦合很弱時,其附加電納亦可忽略由耦合部分引起的電磁能量耦合可用1：n理想變壓器來等效，n的大小反映耦合的強弱。同軸線的特性導納為Yc，其左端接匹配電源(或負載)，故上述耦合系統(tǒng)可由圖(b)來表示。諧振腔的等效電路耦合諧振腔的等效電路在等效圖(b)中，若設理想變壓器的輸入?yún)⒖济鎀0就是失諧短路面。通過變壓器的變比關(guān)系，可以將MN參考面上腔的等效導納Y變到腔外失諧短路面T0上的導納Y’,相互間關(guān)系為

由電路理論知，當回路嚴重失諧時，腔中場極其微弱，腔內(nèi)損耗很小，輸入傳輸系統(tǒng)接近于純駐波狀態(tài)，具有一系列的等效短路面，稱為失諧短路面T0，或一系列的失諧開路面T∞。

（4.68）（4.69）(4.70)Y’是G’L’C’并聯(lián)諧振回路的導納，如等效圖（c）所示，諧振回路其它參量值為不難證明，G’L’C’回路與G0LC回路的諧振頻率ω0和固有品質(zhì)因素Q0是相同的。其諧振頻率和固有品質(zhì)因素也是ω0和Q0G’L’C’并聯(lián)諧振回路就是耦合諧振腔在腔外失諧短路面上的等效電路。由電路理論的知識同樣可以得到耦合諧振腔在腔外失諧開路面T∞上的等效電路，它為G’’L’’C’’串聯(lián)諧振回路。開路面和短路面之間相距λg/4，由傳輸線阻抗變換關(guān)系可得串聯(lián)諧振回路的參量為諧振腔的等效電路耦合諧振腔的等效電路這些點落在導納圓圖上的＝常數(shù)的等電導圓上,諧振時,且在諧振頻率附近如果測得諧振頻率附近的和，就可以根據(jù)公式求得該耦合腔的品質(zhì)因素。由此等效電路可以得到損耗在腔外匹配負載中的功率為嚴格的理論分析和實驗都證明了上述等效電路的正確性而腔內(nèi)總儲能為(4.72)與（4.71）式一起代入耦合系數(shù)β的表示式中，有上式表明,耦合系數(shù)β在數(shù)值上等于失諧短路面上的歸一化諧振電導，因此可以由腔外直接測得。為了導出腔的等效參量與耦合系數(shù)之間的關(guān)系，我們將（a）圖中的負載通過理想變壓器轉(zhuǎn)換到腔內(nèi)參考面MN上，于是就有了（d）圖的腔內(nèi)等效電路。（4.71）于是腔的外部品質(zhì)因素為在上述耦合腔系統(tǒng)中,選擇失諧短路面T0為參考面，可以測得當信號源頻率在該單模腔的諧振頻率附近變化時,T0參考面上的歸一化輸入導納的對應點.諧振腔的等效電路（a）小環(huán)耦合的諧振腔（b）耦合腔系統(tǒng)的等效電路（c）失諧短路面上的等效電路（d）歸算到腔口的等效電路等效的推證過程：諧振腔的等效電路耦合諧振腔的等效電路§4.8諧振腔的微擾在實際應用中，往往會遇到諧振腔中某些物理條件有微小變化的情況。如在諧振腔中插入調(diào)諧螺釘、壓縮腔壁以實現(xiàn)其諧振頻率的微調(diào)；在腔壁上開孔或附加探針、耦合環(huán)等以實現(xiàn)腔的耦合；以及將一個小介質(zhì)樣品插入腔內(nèi)，通過測量諧振頻率的變化來確定介質(zhì)樣品的介質(zhì)參數(shù)等等。所有這些物理條件的改變所引起的腔內(nèi)場的微小擾動，都將導致諧振腔某些參量（如諧振頻率、品質(zhì)因素）相應的微小變化，我們稱這種微小變化為“微擾”。對于這類問題可用“微擾法”求解。微擾法就是借助于未受微擾的已知解來近似地求出微擾后的解，或者說根據(jù)微擾前的原有物理量和微擾后的物理量來計算諧振腔參量的改變量，而不必在新的條件下重新求解。因此微擾法是工程上樂于采用的方法。在大體積中微小的介質(zhì)參數(shù)變化，例如腔中充以一種磁導率待測氣體的情況；在非常小的體積內(nèi)介質(zhì)參數(shù)的大變化，例如為了測固體介質(zhì)的特性，在腔中置入一小塊電介質(zhì)情況。介質(zhì)微擾介質(zhì)微擾有兩種：下面進行討論：它們分別滿足麥克斯韋方程(4.73a)(4.73b)(4.74a)(4.74b)右圖所示為一理想導體構(gòu)成的諧振腔，體積為V，內(nèi)壁表面為S，已知腔中充以空氣時，其電磁場為E0,H0，諧振頻率為ω0，現(xiàn)將介質(zhì)常數(shù)為ε，μ、體積為△V的介質(zhì)引入空腔中，腔中電磁場及諧振頻率變?yōu)镋、H、ω引入小介質(zhì)微擾的空腔其中μ(r)，ε(r)是腔內(nèi)r點的介電常數(shù)，而且微擾前后的場變化均屬微擾試樣附近的小區(qū)域內(nèi)場量變化可能很大，但由于擾動區(qū)很小，所以仍屬微擾諧振腔的微擾(4.75)以E0*點乘式（4.74b）以E點乘式（4.73b）的共軛，然后兩式相加，得以H0*點乘式（4.74a）以H點乘式（4.73a）的共軛，然后兩式相加，得(4.76)以上兩式相減，并對體積V積分。得（4.77）應用矢量恒等式及散度定理，可將（4.77）式的左邊表示成：其中，是腔壁的單位內(nèi)法線矢量，由于腔壁是理想導體，滿足,

于是有介質(zhì)微擾諧振腔的微擾上式經(jīng)整理后得(4.78)式（4.78）是精確的，它是諧振腔介質(zhì)微擾的基本公式