Part2運(yùn)動(dòng)的守恒和守恒定律

第二章運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律能量轉(zhuǎn)換碰撞（能量、動(dòng)量）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)第二章運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§2-2動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律§2-3功能量動(dòng)能定理§2-4保守力成對(duì)力的功勢(shì)能§2-5質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律§2-6碰撞§2-7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力系統(tǒng)內(nèi)，內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。內(nèi)力（internalforce）外力（externalforce）質(zhì)點(diǎn)系外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所施加的力?！?-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心質(zhì)心（centerofmass）是與質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。視頻:(1)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡(2)Angrybirds

對(duì)于N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：質(zhì)心與重心（centerofgravity）是兩個(gè)不同的概念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點(diǎn)。例求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱性分析可知三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為由牛頓第二定律得對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的內(nèi)力質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：§2-2動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量定理由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：表示力對(duì)時(shí)間的累積量，叫做沖量（impulseofforce)。其中，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。說(shuō)明

(1)沖量的方向是所有元沖量的合矢量的方向。動(dòng)量定理反映了力在時(shí)間上的累積作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。動(dòng)量定理（theoremofmomentum）：(2)

動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：例2：逆風(fēng)行舟的分析例1：延長(zhǎng)碰撞時(shí)間以減少?zèng)_力例3：高空跳下的貓(3)

在

沖擊、

碰撞問(wèn)題中估算平均沖力（implusiveforce）。(4)動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。研究錘對(duì)工件的作用過(guò)程，在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。例

質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖。解：解法一：解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過(guò)程，其動(dòng)量變化為零。重力作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為由動(dòng)量定理：例如：兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員拔河，有的人說(shuō)甲隊(duì)力氣大，乙隊(duì)力氣小，所以甲隊(duì)能獲勝，這種說(shuō)法是否正確?哪邊會(huì)贏？=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：若三、動(dòng)量守恒定律即如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。則(2)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊過(guò)程等）(1)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化,通過(guò)內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。說(shuō)明(3)

分量式(4)

定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。例

如圖所示，一質(zhì)量為m的人站在一個(gè)質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l

的船上，初始時(shí)刻人靜止在船頭，當(dāng)人從船頭走到船尾，求人和船各移動(dòng)了多少距離。MOOxx解：用動(dòng)量守恒定律求解。建立如圖的坐標(biāo)系，因?yàn)槭且痪S運(yùn)動(dòng)，直接使用標(biāo)量進(jìn)行計(jì)算。以人和船為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。設(shè)人和船相對(duì)于地面的速度分別為v

和V。系統(tǒng)水平方向所受合外力為零，所以在該方向上系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，即所以MOOxx人相對(duì)于船的速度設(shè)人在時(shí)間t

內(nèi)走到另一端，根據(jù)題意，有，炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。例

一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開(kāi)，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)一、功的概念物體在力的作用下發(fā)生一無(wú)限小的位移(元位移)時(shí)，此力對(duì)它做的功（work）定義為可以寫(xiě)成兩個(gè)矢量的標(biāo)積（scalarproduct）：功是標(biāo)量，沒(méi)有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率（power）：?jiǎn)挝唬篔/s(W)§2-3功能量動(dòng)能定理（為力與位移的夾角）（1）能量是反映各種運(yùn)動(dòng)形式共性的物理量，各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來(lái)量度。各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。（3）與機(jī)械運(yùn)動(dòng)直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動(dòng)能和勢(shì)能。二、能量（2）能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。三、動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，變力所做的功為：由牛頓第二定律：定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能（kineticenergy）：則有動(dòng)能定理（theoremofkineticenergy）：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

2.功是一個(gè)過(guò)程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量。1.

3.微分形式：例

柔軟均質(zhì)物體以初速v0

送上平臺(tái)，物體前端在平臺(tái)上滑行s距離后停止。設(shè)滑道上無(wú)摩擦，物體與臺(tái)面間的摩擦因數(shù)為，且s＞Ｌ，求初速度v0

。解：由動(dòng)能定理：一、保守力根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和非保守力。保守力（conservativeforce）：如：重力、萬(wàn)有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力（non-conservativeforce）：如：摩擦力。做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力?！?-4保守力成對(duì)力的功勢(shì)能重力的功重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點(diǎn)沿任一曲線移動(dòng)到b點(diǎn)。在元位移中，重力所做的元功為如果物體沿閉合路徑abcda運(yùn)動(dòng)一周，容易計(jì)算重力所做的功為：討論表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或彈性力的功彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點(diǎn)

m，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中：萬(wàn)有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在m'

的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。萬(wàn)有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無(wú)關(guān)，萬(wàn)有引力是保守力！二、成對(duì)力的功設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2，存在一對(duì)相互作用力和。

在dt

時(shí)間內(nèi)分別經(jīng)過(guò)元位移和，這一對(duì)力所做的元功為相對(duì)元位移成對(duì)力的功：討論

(1)成對(duì)作用力和反作用力所做的總功只與作用力及相對(duì)位移有關(guān)，而與每個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。(2)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移和作用力都是不隨參考系而變化的，因此，任何一對(duì)作用力和反作用力所做的總功具有與參考系選擇無(wú)關(guān)的不變性質(zhì)。(3)可以由相對(duì)位移來(lái)分析系統(tǒng)中成對(duì)內(nèi)力的功。三、勢(shì)能勢(shì)能（potentialenergy）

：與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量，常用Ep表示。保守力的功是勢(shì)能變化的量度：物體在保守力場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa、Epb

之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力做的功Aab：

成對(duì)保守內(nèi)力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。保守力的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與參照系無(wú)關(guān)。彈性勢(shì)能重力勢(shì)能引力勢(shì)能如：若選勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能的大小只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能零點(diǎn)而言。勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取。勢(shì)能差有絕對(duì)意義。勢(shì)能是相互作用有保守力的系統(tǒng)的屬性。說(shuō)明已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，可以計(jì)算保守力。由又保守力沿某坐標(biāo)軸的分量等于勢(shì)能對(duì)此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。四、勢(shì)能曲線（1）根據(jù)勢(shì)能曲線的形狀可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。（2）利用勢(shì)能曲線，可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。解：例

已知雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為：

，a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖所示，如果分子的總能量為零。求：(1)雙原子之間的最小距離；(2)雙原子之間平衡位置的距離；(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離；(4)畫(huà)出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。(1)當(dāng)動(dòng)能Ek=0時(shí)，Ep為最大，兩原子之間有最小距離：平衡位置的條件為F=0，最大引力的條件為(2)雙原子之間平衡位置的距離(3)雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離在位置x1處，保守力F為零。在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置x2

處，保守力F有最小值。(4)畫(huà)出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1

和m2組成，對(duì)質(zhì)點(diǎn)1和2分別應(yīng)用動(dòng)能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai§2-5質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。（視頻：撐桿跳高）二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動(dòng)能定理比較，運(yùn)用功能原理時(shí)由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢(shì)能的變化所代替，因此不必再計(jì)算保守內(nèi)的功。例

一汽車(chē)的速度v0=36km/h，駛至一斜率為0.010的斜坡時(shí)，關(guān)閉油門(mén)。設(shè)車(chē)與路面間的摩擦阻力為車(chē)重G的0.05倍，問(wèn)汽車(chē)能沖上斜坡多遠(yuǎn)？解法一：取汽車(chē)為研究對(duì)象。受力分析如圖所示。解：設(shè)汽車(chē)能沖上斜坡的距離為s，此時(shí)汽車(chē)的末速度為0。根據(jù)動(dòng)能定理：解法二：取汽車(chē)和地球這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用系統(tǒng)的功能原理：以下同解法一。物體受力：重力的作用、摩擦力和正壓力。用功能原理進(jìn)行計(jì)算，把物體和地球作為系統(tǒng)。例如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開(kāi)始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過(guò)程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。三、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：則機(jī)械能守恒定律（lawofconservationofmechanicalenergy）：如果系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力與外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。四、能量守恒定律

對(duì)孤立系統(tǒng)：能量守恒定律（lawofconservationofenergy）：一個(gè)孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí)，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)物體傳給另一個(gè)物體。它是自然界最普遍的定律之一。則由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：例

起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)一質(zhì)量為m的物體，以速度v0做勻速下降，如圖所示。當(dāng)起重機(jī)突然剎車(chē)時(shí)，物體因慣性進(jìn)行下降，問(wèn)使鋼絲繩再有多少微小的伸長(zhǎng)？(設(shè)鋼絲繩的勁度系數(shù)為k，鋼絲繩的重力忽略不計(jì)。)這樣突然剎車(chē)后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？研究物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。解：首先討論起重機(jī)突然停止的瞬時(shí)位置處的機(jī)械能，設(shè)物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并以這最低位置作為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，則有設(shè)這時(shí)鋼絲繩的伸長(zhǎng)量為x0，則有再討論物體下降到最低位置時(shí)的機(jī)械能：機(jī)械能守恒：物體做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，鋼絲繩的伸長(zhǎng)量x0滿足最低位置時(shí)相應(yīng)的伸長(zhǎng)量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長(zhǎng)量，所以鋼絲繩所受的最大拉力如果兩個(gè)或幾個(gè)物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間，這些現(xiàn)象就是碰撞（collision）。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過(guò)程即散射（scattering）等?！?-6碰撞兩球的對(duì)心碰撞或稱正碰撞（directimpact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1.碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒：§2-6碰撞2.牛頓的碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)系數(shù)（coefficientofrestitution）：完全非彈性碰撞（perfectinelasticcollision）：

e=0v2=v1非彈性碰撞（inelasticcollision）：

0<e<1

完全彈性碰撞（perfectelasticcollision）：

e=1

v2-v1

=

v10-v20

完全彈性碰撞：機(jī)械能損失：完全彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)的機(jī)械能（動(dòng)能）也守恒。1.當(dāng)m1=m2時(shí)，則

質(zhì)量相等的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在碰撞中交換彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，則

質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很大的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后，調(diào)轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方向，而質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)幾乎保持不動(dòng)。3.若v20=0，且m2<<m1，則

質(zhì)量很大的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量很小的靜止質(zhì)點(diǎn)碰撞后速度幾乎不變，但質(zhì)量很小的質(zhì)點(diǎn)卻以近兩倍的速度運(yùn)動(dòng)起來(lái)。討論非彈性碰撞：碰后兩球的速度為機(jī)械能損失：完全非彈性碰撞：損失的機(jī)械能：如打樁、打鐵時(shí)m1/m2越大，機(jī)械能損失越小。打鐵m1/m2越小，機(jī)械能損失越大；打樁由于動(dòng)量不能描述轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。引入質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量（angularmomentum）：大?。悍较颍河沂致菪▌t確定一、角動(dòng)量（動(dòng)量