醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第一章課件

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)張紹軍分子生物學(xué)館110室22283650@第一章函數(shù)極限連續(xù)§1.1函數(shù)因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域一、函數(shù)的概念自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.兩函數(shù)等同,當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同.1.函數(shù)的單調(diào)性:xyo函數(shù)的特性xyo2.函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x3．函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.M-Myxoy=f(x)X有界無(wú)界M-MyxoX4．函數(shù)的有界性:二、函數(shù)的表示方法

解析法列表法圖象法三、幾種特殊的函數(shù)類(lèi)1.分段函數(shù)例如,是定義在上的一個(gè)函數(shù).xyo在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為分段函數(shù).又如,是確定在上的一個(gè)函數(shù).5211.對(duì)分段函數(shù)必須搞清每一個(gè)解析式所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍;2.分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).注意12xoy例1.解故(1)符號(hào)函數(shù)1-1xyo(2)取整函數(shù)

12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線y=[x][x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)（Dirichlet）(4)取最值函數(shù)yxoyxo2.復(fù)合函數(shù)定義:注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.3.復(fù)合函數(shù)不能交換次序3.反函數(shù)DWDW

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)榧蟈，值域Y，并且對(duì)于每個(gè)y

Y，都有唯

一的一個(gè)逆象x

X與之對(duì)應(yīng)，這樣就可得到一個(gè)新的函數(shù)，Y為定義域，X為值域y為自變量，x為因變量。稱(chēng)為函數(shù)f的反函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).4.雙曲函數(shù)五、基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5.反三角函數(shù)

常數(shù)函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).六、初等函數(shù)由六類(lèi)基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).初等函數(shù)定義七、小結(jié)函數(shù)的分類(lèi):函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))§1.2極限一、數(shù)列極限二、函數(shù)極限1.數(shù)列極限的定義2.收斂數(shù)列的四則運(yùn)算一、數(shù)列的極限“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒眨ㄒ唬?、概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2.截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”——《莊子·天下》

（二）、數(shù)列的定義

如果按照某一法則,

對(duì)每一nN,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,

則得到一個(gè)序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,

記為{xn},

其中第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).

數(shù)列舉例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

x1x5x4x3x2xn

數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

數(shù)列的幾何意義數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列{xn}可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù):xn=f(n),

nN.

播放（三）、數(shù)列的極限

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,

則常數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列{xn}的極限,或稱(chēng)數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義

如果不存在這樣的常數(shù)a

就說(shuō)數(shù)列{xn}沒(méi)有極限或說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的，習(xí)慣上也說(shuō)不存在.1.割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入1.割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒?一)、概念的引入返回（三)、數(shù)列的極限（三)、數(shù)列的極限（三)、數(shù)列的極限（三)、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限（三）、數(shù)列的極限返回（三）數(shù)列極限的四則運(yùn)算

如果，那么注：使用極限四則運(yùn)算法則的前提是各部分極限必須存在。特別地，如果C是常數(shù)，那么也就是說(shuō)：如果兩個(gè)數(shù)列都有極限，那么由這兩個(gè)數(shù)列的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和、差、積、商組成的數(shù)列的極限，分別等于這兩個(gè)數(shù)列的極限的和、差、積、商（各項(xiàng)作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為0）。二、函數(shù)極限

關(guān)于函數(shù)的極限，根據(jù)自變量的變化過(guò)程，我們主要研究以下兩種情況：一、當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)，二、當(dāng)自變量x無(wú)限地接近于x0時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)（一）、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限播放返回通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:2.另兩種情形:3.幾何解釋:例1(二)、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無(wú)限地接近于1時(shí)，f(x)的值無(wú)限地接近于4，我們稱(chēng)常數(shù)4為f(x)當(dāng)x→1時(shí)f(x)的極限.1xyo41.定義2.幾何解釋:注1.當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)有無(wú)極限與f(x)在x0處的狀態(tài)并無(wú)關(guān)系，我們只關(guān)心f(x)在x0附近的變化趨勢(shì)，即x→x0時(shí)f(x)變化有無(wú)終極目標(biāo)，而不是f(x)在x0這一孤立點(diǎn)的情況。所以約定x→x0但x≠x02.x→x0的方式是任意的3.常數(shù)函數(shù)的極限就是本身，例2例3例4注

在求解函數(shù)極限時(shí)，也可考慮對(duì)函數(shù)進(jìn)行放大，放大的原則與數(shù)列時(shí)的情形完全相同。此外還須注意此時(shí)是在x=x0的附近考察問(wèn)題的，對(duì)于“附近”應(yīng)如何理解，請(qǐng)揣摩一下。3.單側(cè)極限:例如,左極限右極限例5解：左右極限存在但不相等,4.函數(shù)極限運(yùn)算法則均存在，則1)2)（k為常數(shù)）3)當(dāng)時(shí)，注

1.以上結(jié)論均在，limg(x)存在的前提下成

立;2.極限的加、減、乘運(yùn)算法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)情形.3.自變量必須是同一變化過(guò)程例6解解商的法則不能用例7解例8(消去零因子法)例9（a0≠0，b0≠0，m,n>0).解：1）m=n,原式2）m>n,原式3）m<n，原式=∞.(1)三、兩個(gè)重要極限例10解3)設(shè)u=arcsinxx→0時(shí)u→0,例11解例12解(2)四、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小(量).1.無(wú)窮小的定義問(wèn)：無(wú)窮小是否為很小的數(shù)？很小的數(shù)是否為無(wú)窮??？注意（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù).（1）無(wú)窮小是一種變量,不能與很小的數(shù)混淆;

在自變量的同一變化過(guò)程xx0(或x)中函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)-A為無(wú)窮小（或者

f(x)Aa

其中是無(wú)窮?。┒ɡ?2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系意義：將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮小的性質(zhì)（1）在同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.（2）在同一過(guò)程中，有界量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1（在同一過(guò)程中）有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮?。粺o(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的乘積未必是無(wú)窮小.4.無(wú)窮小的比較（階）都是無(wú)窮小引例.可見(jiàn)無(wú)窮小趨于0的速度是多樣的.在x0的過(guò)程中

x20比3x0“快些”反過(guò)來(lái)3x0比x20“慢些”而sinx0與x0“快慢相仿”兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限的各種不同情況的無(wú)窮小趨于零的“快慢”程度

定義：

設(shè)a及b為同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小如果，就說(shuō)b是比a高階的無(wú)窮小，記作b=o(a)

；如果，就說(shuō)b是比a低階的無(wú)窮小

如果，就說(shuō)b與a是同階無(wú)窮小；如果，就說(shuō)b與a是等價(jià)無(wú)窮小，記作a～b

5.無(wú)窮大的定義絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大（量）。注意（2）無(wú)窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆;6.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系在同一過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮?。缓悴粸榱愕臒o(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。小結(jié)1.2.兩個(gè)重要極限3.無(wú)窮小（比較）第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)觀察下列圖形回答：

（1）函數(shù)在點(diǎn)

是否有定義？（2）是否存在？（3）是否與

相等？

圖（1）滿足3條；圖（2）不滿足（1）；圖（3）不滿足條件（2）；圖（4）不滿足條件（3）．

一、函數(shù)連續(xù)性的概念（2）存在（3）（1）函數(shù)在點(diǎn)處有定義；函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：

如果函數(shù)在點(diǎn)處及其附近有定義，而且，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．

定義1注意：

①增量Dx可以是正的,可以是負(fù)的,也可以為零；②記號(hào)Dx并不表示某個(gè)量D與變量x的乘積,而是一個(gè)整體不可分割的記號(hào)。定義2（增量定義）

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)

自變量(x在x0的)增量：Dx=x-x0函數(shù)(y=f(x)在x0的)的增量：Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)=y-y0

例1.證明：右連續(xù)但不左連續(xù),單側(cè)連續(xù)左連續(xù)：右連續(xù)：定理

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)如果區(qū)間包括端點(diǎn)那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義在此前提下如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一

(1)在x0沒(méi)有定義則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)而點(diǎn)x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)

(2)雖然在x0有定義但f(x)不存在

(3)雖然在x0有定義且f(x)存在但

f(x)f(x0)例2

函數(shù)在點(diǎn)x=1沒(méi)有定義,所以函數(shù)在點(diǎn)x=1為不連續(xù).如果補(bǔ)充定義:令x=1時(shí)y=2,則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù).所以x=1稱(chēng)為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn).例3

函數(shù)因?yàn)閒(x)的間斷點(diǎn).因f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象我們稱(chēng)x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)

故極限不存在,所以點(diǎn)x=0是函數(shù)第一類(lèi)間斷點(diǎn)例4正切函數(shù)y=tanx在處沒(méi)有定義,所以點(diǎn)是函數(shù)tanx的間斷點(diǎn).因我們稱(chēng)為函數(shù)tanx的無(wú)窮間斷點(diǎn)。

例5

函數(shù)在點(diǎn)x=0沒(méi)有定義;當(dāng)x→0時(shí),函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次,所以點(diǎn)x=0稱(chēng)為函數(shù)的震蕩間斷點(diǎn)。第二類(lèi)間斷點(diǎn)

通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)

㈠第一類(lèi)間斷點(diǎn)(左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在)①可去間斷點(diǎn)(左、右極限相等)②跳躍間斷點(diǎn)(左、右極限不相等)㈡第二類(lèi)間斷點(diǎn)(左、右極限至少有一個(gè)不存在)

無(wú)窮間斷點(diǎn)

振蕩間斷點(diǎn)三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,定理2例如,2.復(fù)合函數(shù)連續(xù)性注例6解在定理的條件下，極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換，即極限號(hào)可以穿過(guò)外層函數(shù)符號(hào)直接取在內(nèi)層，3.初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理3

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理4

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.注意初等函數(shù)求極限的方法代入法.例8

求解它的一個(gè)定義區(qū)間是例9解四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)

如果有x0I

使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

最大值與最小值舉例:

函數(shù)f(x)=1+sinx在區(qū)間[02p]上有最大值2和最小值0說(shuō)明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一點(diǎn)x2[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點(diǎn)x1[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說(shuō)明如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)那么應(yīng)注意的問(wèn)題:

如果函數(shù)僅在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

例如函數(shù)f(x)=x在開(kāi)區(qū)間(a

b)內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[02]內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界

證明設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

根