大學(xué)物理學(xué)-狹義相對論教案

授課章節(jié)教學(xué)目的第4章狹義相對論1.理解愛因斯坦狹義相對論的兩條基本原理及洛倫茲坐標(biāo)、速度變換式；2.掌握狹義相對論的時空觀：即理解同時的相對性、長度的收縮和時間的膨脹，并能進(jìn)行相關(guān)的計算；3.了解狹義相對論動力學(xué)的幾個結(jié)論及其具體應(yīng)用。1.正確地理解相對論的時空觀；2.掌握洛倫茲變換的物理意義；3.理解長度收縮效應(yīng)只發(fā)生在運(yùn)動方向上；4.理解“時間膨脹”效應(yīng)是指運(yùn)動著的鐘比靜止的鐘慢；教學(xué)重點、難點教學(xué)內(nèi)容5.在相對論動力學(xué)中，動能不能用進(jìn)行計算，只能用進(jìn)行計算；6.在經(jīng)典物理中能量守恒律與質(zhì)量守恒律彼此獨立。而在相對論中通過質(zhì)能關(guān)系式把兩個定律統(tǒng)一起來了。即在相對論中能量守恒與質(zhì)量守恒總是同時成立的。備注第四章狹義相對論相對論研究的內(nèi)容：研究物質(zhì)的運(yùn)動與空間、時間的聯(lián)系。狹義相對論：研究自然定律在所有慣性系中都表示為相同的形式（數(shù)學(xué)）問題。廣義相對論：研究自然定律在所有參照系中都表示為相同的形式（數(shù)學(xué)）問題?！?.1伽利略變換和經(jīng)典力學(xué)時空觀一、伽利略變換經(jīng)典力學(xué)時空觀1、伽利略坐標(biāo)變換方程：如圖，兩個參照系的坐標(biāo)軸互相平行，參照系相對于參照系沿軸的正方向以速度運(yùn)動，時間時、兩坐標(biāo)系的原點和重合。則某一空—時點的坐標(biāo)變換方程為或（1）2、經(jīng)典力學(xué)時空觀伽利略坐標(biāo)變換方程已經(jīng)對時間、空間性質(zhì)作了兩條假設(shè)：（1），即時間間隔與參考系的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)；（2），，即空間長度與參考系的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。（同時測量棒兩端點的坐標(biāo)值），總之，時間和空間是彼此獨立的，互不相關(guān)，并且不受物質(zhì)和運(yùn)動的影響，這就是經(jīng)典力學(xué)的時空觀，也稱絕對時空觀。二、伽利略相對性原理一切彼此作勻速直線運(yùn)動的慣性系，對描述運(yùn)動的力學(xué)規(guī)律來說是完全相同的。把（4-1）對時間求導(dǎo)一次，得（2）這就是伽利略速度變換法則。把（4-2）對時間再求導(dǎo)一次，得（3）上式說明在所有慣性系中，加速度是不變量。由于經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)量和力也是與參考系的選擇無關(guān)的物理量，所以，牛頓第二定律在所有慣性系中都具有相同的數(shù)學(xué)表述：這就是說經(jīng)典力學(xué)滿足伽利略相對性原理?！?.2狹義相對論產(chǎn)生的實驗基礎(chǔ)和歷史條件一、經(jīng)典電磁學(xué)的以太假說（人們過于相信絕對時空概念）以太假說：以太是充滿整個宇宙空間的彈性媒質(zhì)，電磁波靠以太傳播。以太中的帶電粒子振動會引起以太變形，這種變形以彈性波的形式傳播就是電磁波。在相對以太靜止的參照系中，電磁波沿各個方向傳播的速度都等于恒量。在相對以太運(yùn)動的慣性系中電磁波的傳播速度。在相對以太運(yùn)動的慣性系中，按伽利略速度變換，電磁波沿各個方向傳播的速度并不等于恒量。設(shè)系相對于以太靜止，系相對以太的速度為，如圖所示。則在系中，電磁波沿各個方向的速度均等于恒量。在傳播速度為（c-u），沿軸負(fù)向的傳播速度為（c+u）；沿與系中電磁波沿軸正向的軸垂直的和軸的正、負(fù)方向傳播的速度都是。二、邁克爾遜—莫雷實驗因為經(jīng)典電磁學(xué)不滿足伽利略變換：存在一個優(yōu)越的參照系，即相對以太靜止的慣性系（也稱為絕對空間）。所以，人們設(shè)計了許多實驗來尋找以太。邁克爾遜—莫雷實驗的目的就是通過觀察地球相對以太的絕對運(yùn)動來尋找以太。實驗裝置是邁克爾遜干涉儀，其光路原理如下圖所示。1實驗原理：設(shè)以太相對太陽系靜止，地球（包括固定在地球上的干涉儀）相對太陽系的速度為u，則從地球看來、以太風(fēng)的速度為-u，如上圖所示。光源S發(fā)出的光線入射半透鏡R后透射光線1和反射光線2分別射向互相垂直的平面鏡M1和M2，先讓RM1臂與地球運(yùn)動方向平行、則RM2臂與地球運(yùn)動方向垂直，從干涉儀觀察、光線1和光線2的傳播速度不相等（如圖中所標(biāo)），當(dāng)兩臂相等時、進(jìn)入觀察鏡o的光線1和光線2的光程差不為零，可以看到干涉條紋。如果將整個裝置旋轉(zhuǎn)往返的時間，應(yīng)該看到條紋移動。光線1在RM1間，光線2在RM2間往返的時間,時間差為。旋轉(zhuǎn)后時間差為，于是干涉儀轉(zhuǎn)動前后，光通過兩臂時間差的改變量為：。實驗時取驗所取的，則應(yīng)有條紋移動數(shù)目的數(shù)值、預(yù)期，按實，這是可以明顯觀察到的。2實驗結(jié)果：沒有觀察到干涉條紋的任何移動。3對實驗結(jié)果的解釋：以上實驗是在承認(rèn)以太是絕對靜止的參照系，存在地球相對于以太運(yùn)動的前提下，利用伽利略變換來計算光相對于地球（干涉儀）的速度，由此得出應(yīng)該有明顯可觀察到的條紋移動。實驗沒有觀察到干涉條紋的任何移動，結(jié)果只能說明光的傳播速度不滿足伽利略變換，同時不存在地球相對于以太的運(yùn)動；即絕對靜止的參照系“以太”并不存在?！?.3狹義相對論基本原理洛倫茲變換例2狹義相對論的兩條基本原理1相對性原理：所有物理規(guī)律在一切慣性系中都具有相同的形式。2光速不變原理：所有慣性系中測量到的真空中的光速沿各個方向都等于c，與光源的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。二、洛倫茲變換如圖，S系和S/系的關(guān)系如17-1節(jié)所述。則S和S/的變換（正變換）為：，，，。S/與S的變換（逆變換）為：，，，。式中三、洛倫茲變換的推導(dǎo)在上面兩坐標(biāo)系中，對于o點、由S系來觀測，不論什么時間，總是，但是由S/系來觀測，在時刻的坐標(biāo)，即?？梢娡豢臻g點o點，數(shù)值和同時為零。因此，我們可設(shè)在任何時刻、任何點，和之間都有一個比例關(guān)系為，（1）式中為不為零的常數(shù)。用同樣的方法對o/點進(jìn)行討論，可得，（2）根據(jù)相對性原理，兩個慣性系是等價的（u為常數(shù)），所以，（3）。于是為了求出，需要應(yīng)用光速不變原理。設(shè)時，兩坐標(biāo)原點重合，在重合點發(fā)出一光信號沿軸傳播，則在任一時刻（在S系測量為，在S/系測量為）對兩坐標(biāo)系來說信號分別到達(dá)，（4）把（1）（3）相乘，再把（4）式代入，得，，由此求得。則（1）、（3）式可寫成，；由這兩式消去求出，得，同樣，消去，得；另有，洛倫茲變換關(guān)系式得證。四、洛倫茲變換的意義：（1）在相對論中，洛倫茲變換占據(jù)中心地位。相對論物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式在洛倫茲變換下保持不變；（2）洛倫茲變換是同一事件在不同慣性系中兩組時空坐標(biāo)，應(yīng)用時必須確認(rèn)和確實是代表同一事件；（3）各個慣性系中的鐘和尺必須相對該參照系處于靜止?fàn)顟B(tài)；（4）不僅是的函數(shù)，而且是的函數(shù)，即相對論把時間和空間，時間、空間和物質(zhì)的運(yùn)動不可分割地聯(lián)系起來了；（5）因為不能超過光速；不應(yīng)是虛數(shù)，所以、即任何物體的運(yùn)動速度，洛倫茲變換過渡為伽利（6）當(dāng)時，略變換；五、洛倫茲速度變換∵對洛倫茲變換式取微分得用去除它前面的三式，即得洛倫茲速度變換關(guān)系式：其逆變換為通過速度變換，在任何慣性系中物體的運(yùn)動速度都不可能超過光速。當(dāng)和時，，則。這就是伽利略速度變換關(guān)系式。再次表明，伽利略變換是洛倫茲變換的特殊情況（低速）。§4.4狹義相對論的時空觀一、同時的相對性1、“愛因斯坦火車”：如圖，一相對地面（慣性系S）以勻速u行駛的火車（通常稱為“愛因斯坦火車”），取車廂為另一慣性系S/。設(shè)在車廂正中點M/處有一光源，當(dāng)M/與S系中的發(fā)光點M重合時、兩光源同時閃光。根據(jù)光速不變原理，在車廂（S/系）觀測，光信號到達(dá)前門的事件1和光信號到達(dá)后門的事件2為同時事件；而在地面（慣性系S）觀測，由于前門遠(yuǎn)離M點、后門接近M點，所以觀測到光信號到達(dá)前門的事件1和光信號到達(dá)后門的事件2不是同時事件。這個例子說明，在一個慣性系中的兩個同時事件，在另一個慣性系中觀測不是同時事件，這是時空均勻性和光速不變原理的直接結(jié)果。2、同時性的數(shù)學(xué)表達(dá)：車站S上的觀測者測到兩個閃電同時擊中一列以速度u沿S系的x軸方向通過車站的火車的車頭（在S系中的坐標(biāo)為）和車尾（在S系中的坐標(biāo)為），即在S系觀測閃電擊中車頭的事件2的時空坐標(biāo)為（）。設(shè)火車為S/），事件2的時空坐標(biāo)為（）、閃電擊中車尾的事件1的時空坐標(biāo)為（系，在S/系觀測事件1的時空坐標(biāo)為（）。根據(jù)洛倫茲變換于是∵∴∵∴，結(jié)論是：火車上的觀測者測得兩閃電不是同時擊中車頭和車尾。當(dāng)火車向x軸正向行駛時，，即從火車上觀測閃，電先擊中車頭、后擊中車尾；若火車倒退時，即從火車上觀測閃電先擊中車尾、后擊中車頭。3、時間次序和因果律：上例中觀測閃電是先擊中車頭還是先擊中車尾，在S和系中都是可以的。但在有些問題中，時序卻不能顛倒。如火箭返回的時間不能先于它出發(fā)的時間，賽跑運(yùn)動員沖線時間不能先于它起跑的時間…即有因果關(guān)系的事件，時序不能顛倒。證明如下：（反證法）設(shè)時序能顛倒，即在S系中為1在先，2在后；則在系中為2在先，1在后。于是有，而，所以即有*此式不能成立。（證畢）二、長度的相對性如圖，尺相對S/系靜止、在S/系測得尺兩端坐標(biāo)為和，則尺的固有長度。在S系測得尺的長度稱為運(yùn)動長度，但必須注意要在S系同時測量和，即時測量。根據(jù)洛倫茲變換，；兩式相減。因為即，所以。，。說明物體在運(yùn)動方向的長度收縮了。與運(yùn)動垂直的方向上并不發(fā)生長度收縮。另外，這是測量的結(jié)果，不能說成看到了長度收縮。三、時間間隔的相對性設(shè)在S/系中同一地點（亮和滅，時間間隔別為）先后發(fā)生了兩個事件，例如一盞燈的。而在S系測這兩個事件的時空坐標(biāo)分。根據(jù)洛倫茲變換：，；兩式相減。因為即，所以，。因為，所以。相對靜止的慣性系測量到過程的時間間隔數(shù)值最小，稱為固有時間，記作或者說運(yùn)動時鐘變慢了。。則，表示時間膨脹了，例1一火箭的固有長度為L，相對于地面作勻速直線運(yùn)動的速度為V1，火箭上有一個人從火箭的后端向火箭前端上的一個靶子發(fā)射一顆相對于火箭的速度為V2的子彈，在火箭上測得子彈從射出到擊中靶的時間間隔是：（A）（C）；（B）；（D）；。例2有一直尺固定在K’系中，它與OX’軸的夾角，如果K’系以速度u沿OX方向相對于K系運(yùn)動，K系中觀察者測得該尺與OX軸的夾角（A）大于45o;（B）小于45o（C）等于45o（D）當(dāng)K'系沿OX正方向運(yùn)動時大于45o，而當(dāng)K'系沿Ox負(fù)方向運(yùn)動時小于45o。解：因為，所以。例3兩個慣性系中的觀察者o和o'以0.6c(c表示真空中光速)的相對速度互相接近。如果o測得兩者的初始距離是20m，則o'測得兩者經(jīng)過時間Δt'=s后相遇。解：設(shè)o靜止，o'以0.6c向o運(yùn)動,則有(o測得)(o'測得)所以例4觀察者甲和乙分別靜止于兩個慣性系k和k'(k'系相對于k系作平行于x軸的勻速運(yùn)動)中。甲測得在x軸上兩點發(fā)生的兩個事件的空間間隔和時間間隔分別為500m和而乙測得這兩個事件是同時發(fā)生的。問：k'系相對于k系以多大速度運(yùn)動？解：設(shè)k'系相對于k系的運(yùn)動速度為V。則根據(jù)洛侖茲變換公式可得：，乙測得兩事件同時發(fā)生,則由題則例5火箭相對于地面以v=0.6c(c為真空中光速)的勻速度向上飛離地球。在火箭發(fā)射秒鐘后（火箭上的鐘），該火箭向地面發(fā)射一導(dǎo)彈，其速度相對于地面為，問火箭發(fā)射后多長時間，導(dǎo)彈到達(dá)地球？（地球上的鐘）。計算中假設(shè)地面不動。解：按地球的鐘，導(dǎo)彈發(fā)射的時間是在火箭發(fā)射后這段時間火箭在地面上飛行距離：則導(dǎo)彈飛到地球的時間是：那么從火箭發(fā)射后到導(dǎo)彈到達(dá)地面的時間是：§4.5狹義相對論動力學(xué)一、動量、質(zhì)量與速度的關(guān)系1、相對論質(zhì)量：在牛頓力學(xué)中，質(zhì)量被認(rèn)為是與物體運(yùn)動速率無關(guān)的恒量。但在相對論力學(xué)中，質(zhì)量必須被認(rèn)為是與物體運(yùn)動速率有關(guān)的。下面我們來推導(dǎo)質(zhì)量與速率的關(guān)系。設(shè)在S/系中有一粒子，原來靜止于原點o/，在某一時刻此粒子分裂為完全相同的的兩半A和B，分別沿x/軸的負(fù)方向和正方向運(yùn)動。根據(jù)動量守恒定律，這兩半的速率應(yīng)相等，記作u。另一參照系S，以速率u沿-i/方向運(yùn)動。在此參照系中，A是靜止的，B是運(yùn)動的。以者的質(zhì)量。由洛倫茲速度變換可得B的速度和分別表示二（1）方向沿x軸正向。在S系觀察，粒子分裂前的速度即o/點的速度為ui，動量為Mui，M為粒子分裂前的質(zhì)量。分裂后，兩個粒子A和B的總動量為i。根據(jù)動量守恒，應(yīng)有Mui=i（2）可以合理地假設(shè)在S系中粒子在分裂前后質(zhì)量也是守恒的，即M=mA+mB，上式可改寫成（3）如果質(zhì)量與速率無關(guān)，則應(yīng)有，上式就不成立、動量守恒定律也就不成立。為了使動量守恒定律成立并且保持P=mV形式，必須認(rèn)為都是各自速率的函數(shù)。由（3）式可求得（4）由（1）式解出（5）把（5）式代入（4）式得因為A靜止、B運(yùn)動，所以，用代替可記做、表示靜質(zhì)量，可一般地記作，則得相對論的質(zhì)量公式：2、動力學(xué)基